: : :
: : : Мое отношение скептическое, причем не только к тому, что предлагаете Вы, но и к тому способу, который я изложил чуть выше, взяв его из традиционного изложения римановой геометрии. На мой взгляд, при традиционном изложении риманова геометрия получается дефективной, причем не имеет значения, почему она дефективна, из-за противоречивости аксиом, их переопределенности, или по какой-нибудь еще причине.
: : :
: : : Дело в том, что риманова геометрия предполагается выведенной из неких аксиом.
: :
: : Это какой-то переупрощенный до неадекватности взгляд. Выводится риманова геометрия из обобщения свойств и внутренней геометрии кривых поверхностей. Из аксиом выводятся в конечном счете доказательства конкретных теорем и фактов, но это не всегда удается :-)
: :
:
: Вы совершенно правы. Риманова геометрия строится как внутренняя геометрия поверхностей в ЕВКЛИДОВОМ пространстве.
А потом рассматривается отвлеченно от этого пространства. Что позволяет получать мощные и полезные результаты.
: При этом вводится понятие кривой, как непрерывного отображения единичного отрезка числовой оси на пространство.
Да ну? Уже с окружностью это не так.
: Кривая является геометрическим объектом, который может быть выражен в виде предела ломаной с прямолинейными звеньями.
Это плохой предел. Функцию он приближает, а уже вторую производную - нет.
Простите, но сяо я поскипал.
: В римановой геометрии (построенной согласно принципу деформации) геодезическая, проведенная через точку P, параллельно вектору PQ, является Q одномерной, потому что мировая функция римановой геометрии удовлетворяет аксиоме треугольника. Однако, прямая (геодезическая), проведенная через точку S (S не равно P и S не равно Q), является, вообще говоря, многовариантной (неодномерной). См. детали в http://rsfq1.physics.sunysb.edu/~rylov/dpppgp6r.ps
: или http://rsfq1.physics.sunysb.edu/~rylov/ppgp4r.ps. При традиционном подходе к римановой геометрии подобную многовариантность уничтожают ссылкой на то, что в римановой геометрии не определена параллельность удаленных векторов (отсутствует фернпараллелизм)
Скажите, вы что-нибудь про геометрию путей на многообразии слышали?
: Устанешь устранять возможные противоречия! Лучше избавиться от них сразу, используя более последовательный метод деформации евклидовой геометрии.
Я гляжу, ваш "более последовательный метод" мешает вам решать простые задачи, превращая их в невыполнимые. Так что лучше ли?
: : : Иначе говоря, предполагается, что множество всех утверждений римановой геометрии может быть выведено из некоторого подмножества этих утверждений (т.е. риманова геометрия может быть аксиоматизирована.) Это факт совсем не очевидный.
: :
: : Это, мягко говоря, вообще неверно, по теореме Геделя о неполноте.
: :
: Я, по правде говоря не вижу, какая тут связь с теоремой Геделя, но мне кажется это не очень важным в свете моего ответа на первый вопрос.
Связь очень простая: множество всех утверждений не может быть выведено ни из какой конечной аксиоматики. Следует различать множество всех утверждений и множество всех доказуемых утверждений.
: : : Для евклидовой геометрии аксиоматизация возможна, а возможность аксиоматизации для римановой геометрии еще надо доказать. Почему для нас так важна возможность аксиоматизации? Да просто потому, что нам неизвестны другие способы построения геометрии.
: :
: : Известны - по модели, реализующей теорию. В частности, для римановой геометрии такой моделью является внутренняя геометрия гладких многообразий, вложенных в пространства R^n.
: :
: На вопрос о римановой геометрии, как внутренней геометрии гладких многообразий, вложенных в пространства R^n, я уже ответил.
Что вы ответили? Что вы согласны, что были неправы, что в математике неизвестны другие способы построения геометрии?
: Мы, по-видимому, по-разному понимаем термин 'аксиоматизация'. Я понимаю его как возможность получения всех утверждений геометрии из некоторого подмножества этих утверждений.
При этом вы прискорбно не различаете "получение" в двух очень разных смыслах:
1. Придумать утверждение геометрии.
2. Строго доказать утверждение геометрии как теорему.
Второе из ограниченной аксиоматики недоступно, см. теорему Геделя. А первое вообще всегда процесс творческий, и к аксиомам не имеющий _никакого_ отношения - а основанный на геометрическом мышлении математика.
: : : О дефективности римановой геометрии я заключил, когда построил ее двумя способами: (1) традиционным способом, предполагающим возможность аксиоматизации римановой геометрии и (2) методом деформации, не предполагающим возможность аксиоматизации. Поскольку результаты не во всем совпали, то был сделан вывод о дефективности римановой геометрии, построенной традиционным способом, предполагающим возможность аксиоматизации.
: :
: : О каких конкретно несовпадениях речь?
: :
: Я имею в виду, что в методе деформации прямая (геодезическая), проведенная через точку S (S не равно P и S не равно Q) геодезическая является, вообще говоря, многовариантной (неодномерной), тогда как в традиционном методе многовариантных геодезических быть не должно (от них избавляются).
См. выше.
: Кроме того, если на евклидовой плоскости с дыркой построить обычную евклидову геометрию тем традиционным методом, которым строят риманову геометрию, то плоскость с дыркой не может быть изометрически вложена в евклидову плоскость без дырки. Если же геометрию строить методом деформации, то плоскость с дыркой изометрически вкладывается в целую евклидову плоскость, что вполне естественно. Фокус здесь в том, что при определении расстояний в римановой геометрии необходимо провести множество всех возможных геодезических. Эти множества различны на плоскости с дыркой и на плоскости без дырки.
Это банальный факт гомотопической топологии. Кроме того, вы его формулируете некорректно.
: Я не компетентен в задачах топологии и хотел бы уклониться от решения этой задачи, ограничившись лишь сделанным замечанием, которое сильно усложняет постановку вопроса.
Это означает, что вы простую задачу превращаете в сложную, а решать ни ту ни другую не умеете и не намерены. Где здесь содержательный математический результат? Полезно было бы свести сложную задачу к простой; тем более решить ее. А вы чем занимаетесь? |
» Общий форум