: :
: : Мое отношение скептическое, причем не только к тому, что предлагаете Вы, но и к тому способу, который я изложил чуть выше, взяв его из традиционного изложения римановой геометрии. На мой взгляд, при традиционном изложении риманова геометрия получается дефективной, причем не имеет значения, почему она дефективна, из-за противоречивости аксиом, их переопределенности, или по какой-нибудь еще причине.
: :
: : Дело в том, что риманова геометрия предполагается выведенной из неких аксиом.
:
: Это какой-то переупрощенный до неадекватности взгляд. Выводится риманова геометрия из обобщения свойств и внутренней геометрии кривых поверхностей. Из аксиом выводятся в конечном счете доказательства конкретных теорем и фактов, но это не всегда удается :-)
:
Вы совершенно правы. Риманова геометрия строится как внутренняя геометрия поверхностей в ЕВКЛИДОВОМ пространстве. При этом вводится понятие кривой, как непрерывного отображения единичного отрезка числовой оси на пространство. Кривая является геометрическим объектом, который может быть выражен в виде предела ломаной с прямолинейными звеньями. Каждое звено ломаной представляет собой отрезок прямой линии. В евклидовой геометрии отрезок прямой линии задается своими концами и выражается через мировую функцию G(P,Q)= S**2(P,Q)/2, где S(P,Q) есть функция расстояния, а ** означает операцию возведения в степень. В евклидовой геометрии отрезок прямой является одномерным множеством, однако возможны такие деформации евклидовой геометрии, при которых отрезок превращается в поверхность. Я называю это свойство многовариантностью геометрии, возникшей в результате деформации. При построении римановой геометрии как внутренней геометрии поверхностей евклидова пространства предполагается, что получающаяся внутренняя геометрия является одновариантной. Это означает, в частности, что все геодезические одномерны. Это является проявлением евклидовой аксиомы: 'прямая не имеет толщины'. Во внутренней геометрии поверхностей эта аксиома трансформируется в утверждение: 'геодезическая не имеет толщины'.
В римановой геометрии (построенной согласно принципу деформации) геодезическая, проведенная через точку P, параллельно вектору PQ, является Q одномерной, потому что мировая функция римановой геометрии удовлетворяет аксиоме треугольника. Однако, прямая (геодезическая), проведенная через точку S (S не равно P и S не равно Q), является, вообще говоря, многовариантной (неодномерной). См. детали в http://rsfq1.physics.sunysb.edu/~rylov/dpppgp6r.ps
или http://rsfq1.physics.sunysb.edu/~rylov/ppgp4r.ps. При традиционном подходе к римановой геометрии подобную многовариантность уничтожают ссылкой на то, что в римановой геометрии не определена параллельность удаленных векторов (отсутствует фернпараллелизм) Разумеется, это прекрасный метод устранения противоречий: не рассматривать случаи, когда они появляются. Однако ведь наперед не знаешь, когда противоречия могут появиться еще. Если противоречие сидит внутри геометрии, то оно может проявиться и в других случаях. (Устанешь устранять возможные противоречия! Лучше избавиться от них сразу, используя более последовательный метод деформации евклидовой геометрии).
: : Иначе говоря, предполагается, что множество всех утверждений римановой геометрии может быть выведено из некоторого подмножества этих утверждений (т.е. риманова геометрия может быть аксиоматизирована.) Это факт совсем не очевидный.
:
: Это, мягко говоря, вообще неверно, по теореме Геделя о неполноте.
:
Я, по правде говоря не вижу, какая тут связь с теоремой Геделя, но мне кажется это не очень важным в свете моего ответа на первый вопрос.
: : Для евклидовой геометрии аксиоматизация возможна, а возможность аксиоматизации для римановой геометрии еще надо доказать. Почему для нас так важна возможность аксиоматизации? Да просто потому, что нам неизвестны другие способы построения геометрии.
:
: Известны - по модели, реализующей теорию. В частности, для римановой геометрии такой моделью является внутренняя геометрия гладких многообразий, вложенных в пространства R^n.
:
На вопрос о римановой геометрии, как внутренней геометрии гладких многообразий, вложенных в пространства R^n, я уже ответил.
: : Евклид вывел свою геометрию из системы аксиом. Мы позаимствовали у Евклида его способ построения геометрии, предполагая, что возможна аксиоматизация любой геометрии. Однако, можно позаимствовать у Евклида не его способ построения геометрии, а саму евклидову геометрию. Евклидова геометрия представляет собой множество всех утверждений о свойствах геометрических объектов. Если это множество известно, то не имеет значения, как мы получили это множество утверждений. Выразим теперь все это множество утверждений евклидовой геометрии через мировую функцию (функцию расстояния), а это возможно. (На сей счет есть теорема). Тогда мы получаем возможность деформировать евклидову геометрию, заменяя во всех утверждениях евклидовой геометрии евклидову мировую функцию на мировоую функцию интересующей нас геометрии. При этом нас совсем не волнует вопрос, можно ли аксиоматизировать вновь полученную геометрию, или нет. (Скорее всего нет, но это зависит от геометрии).
:
: Я не понимаю, почему нет? Вы же только что именно это и сделали: аксиоматизировали вновь полученную геометрию.
:
Мы, по-видимому, по-разному понимаем термин 'аксиоматизация'. Я понимаю его как возможность получения всех утверждений геометрии из некоторого подмножества этих утверждений. Получение всех утверждений Т-геометрии из всех утверждений евклидовой геометрии не есть аксиоматизация. Рассматривать все утверждения геометрии как множество аксиом тоже не имеет смысла, поскольку от этого нет никакого проку.
: : О дефективности римановой геометрии я заключил, когда построил ее двумя способами: (1) традиционным способом, предполагающим возможность аксиоматизации римановой геометрии и (2) методом деформации, не предполагающим возможность аксиоматизации. Поскольку результаты не во всем совпали, то был сделан вывод о дефективности римановой геометрии, построенной традиционным способом, предполагающим возможность аксиоматизации.
:
: О каких конкретно несовпадениях речь?
:
Я имею в виду, что в методе деформации прямая (геодезическая), проведенная через точку S (S не равно P и S не равно Q) геодезическая является, вообще говоря, многовариантной (неодномерной), тогда как в традиционном методе многовариантных геодезических быть не должно (от них избавляются).
Кроме того, если на евклидовой плоскости с дыркой построить обычную евклидову геометрию тем традиционным методом, которым строят риманову геометрию, то плоскость с дыркой не может быть изометрически вложена в евклидову плоскость без дырки. Если же геометрию строить методом деформации, то плоскость с дыркой изометрически вкладывается в целую евклидову плоскость, что вполне естественно. Фокус здесь в том, что при определении расстояний в римановой геометрии необходимо провести множество всех возможных геодезических. Эти множества различны на плоскости с дыркой и на плоскости без дырки.
Других противоречий я не знаю, но подозреваю, что Г.Перельман заметил еще какие-то, существенно влияющие на топологию. Этим я объясняю его странное поведение.
: : : Будьте любезны, продемонстрируйте эту процедуру для, скажем, получения из евклидовой геометрии внутренней геометрии на поверхности тора.
: : :
: : Для этого достаточно задать функцию расстояний на торе в трехмерном евклидовом пространстве, причем из нескольких возможных вариантов функции расстояния берется наименьшее значение. Все топологические особенности геометрии на торе получаются автоматически. Но извините, формул я писать не буду, а то получится целая научная статья.
:
: Вот насчет "автоматически" у меня как раз, извините, большие сомнения. Каким бы образом, например, вы искали минимальное число красок, необходимое для раскраски произвольной карты на торе?
:
Насколько я понимаю это топологичская задача, в которой предполагается, что границы между областями одновариантны (в двумерной геометрии это одна линия (прямая) в случае одновариантной (евклидовой) геометрии, а вобщем случае многовариантной геометрии - это две линии, которые сливаются в случае одновариантной геометрии). Вырождение многовариантной геометрии в одновариантную является специфическим свойством евклидовой геометрии. Другими словами, в многовариантной геометрии задачу о раскраске нужно специально ставить. Простой перенос постановки задачи из евклидовой геометрии в многовариантную геометрию, вообще говоря не возможен. Я не компетентен в задачах топологии и хотел бы уклониться от решения этой задачи, ограничившись лишь сделанным замечанием, которое сильно усложняет постановку вопроса. |
» Общий форум