: Гауссова кривизна поверхности уникальна тем, что является неизменной при изгибаниях поверхности.
Отнюдь. Все тензоры, завязанные на метрику, таковы.
: Изгибание поверхности оставляет неизменными длины линий на ней, например, стороны треугольника.
: Мы находимся в трехмерном пространстве. Такое пространство (окрестность точки) задается в общем случае тремя взаимно перпендикулярными поверхностями.
Чтобы изгибать, как уже правильно было сказано, Ваше пространство нужно вложить во что-то более высокой размерности. А после этого данная процедура уже будет тривиальной (об этом уже тоже сказали)
: Мне не удалось изогнуть такое пространство так, чтобы гауссова кривизна каждой из этих трех поверхностей осталась неизменной.
:
: Может быть я не прав и кто-нибудь знает способ такого изгибания пространства, т.е. трех этих поверхностей, при котором гауссова кривизна каждой из них остается неизменной?
Как же Вы можете быть неправы? Кому, как не Вам, лучше знать, что Вам удалось, а что нет.
С Гауссовой кривизной не совсем ясно, ибо Гауссовой кривизне 2-мерной поверхности, вложенной в 4-мерное пространство надо вначале дать определение, а если с т.з. метрики, то пожалуйста.
Гнем. Пространство с координатами (x,y,z) вкладываем в пространство с координатами (p,u,v,w).
Исходное положение:
p=x,
u=y,
v=z,
w=0, откуда
dx2+dy2+dz2=dp2+du2+dv2+dw2.
Изогнутое положение:
∫0p√(1+4t2)dt=x,
u=y,
v=z,
w=p2, откуда
dx2+dy2+dz2=(√(1+4p2)dp)2+du2+dv2=
=(dp)2+(2pdp)2+du2+dv2=dp2+du2+dv2+dw2. |
» Альтернативный форум