зауряд-майор:
'А вы какие понятия считаете интуитивно "и так" понятными? Я, например, как раз точку. Еще отображение. Еще множество. Но на самом деле можно ведь попридираться еще и к этому, даже на данном форуме'.
А я вот хочу 'попридираться' к утверждению - 'окрестность есть множество точек'. Можно ли построить модель не используя это допущение? Иными словами, добавить в Ваш список 'интуитивно понятных' еще один элемент - окрестность? Да в определении топологического пространства фигурирует понятие 'множество носитель'. Однако, в дальнейшем при 'зацеплении за теоремы', нигде (если я ничего не путаю) структура этого самого носителя (ну из чего именно он состоит) не используются . Все крутиться во круг подмножеств (окрестностей). Часто под носителем, опять же интуитивно, понимают именно множество точек (они же индексов), вот и Вы о том же - 'непрерывный индекс'. Но ведь, опять же интуитивно точка - это место нахождения, индекс - это идентификатор конкретного объекта. С какого бока к точки или индексу может быть привязано понятие объема (интуитивное понятие меры)? Я еще понимаю (опять же интуитивно), что можно определить метрику, интуитивно понимаемую как расстояние между различными местами (точками) нахождения, но вот объем?
Фактически речь идет о двух подходах к пониманию континуума. Первый как несчетное множество, второе (возможное), как нечто не сводимое к точкам.
Было бы интересно пофантазировать (благо дело форум подходящий) как будут связаны множества точек(индексов) и множество окрестность. Например, связывать не все мыслимые окрестности, а лишь из подмножества не пересекающихся окрестностей, да еще таких, что их объединение имеет меру равную мере множества носителя, причем мера каждого такой окрестности имеет меру меньше некого малого эпсилон. Эта сложная конструкция потребуется для поддержки важного инструмента исследования - определение предела последовательности. Ну там еще много чего можно. :). |
» Альтернативный форум