КРИВОЛИНЕЙНАЯ ТРАПЕЦИЯ И ЕЕ ПЛОЩАДЬ

          В математике разработаны методы, позволяющие вычислять площади фигур, границы которых состоят из кривых линий, например частей парабол, синусоид и др. (если, конечно, площади этих фигур существуют). Теперь, используя знания о первообразной функции можно научиться находить площади фигур, называемых криволинейными трапециями. На рисунках штриховкой выделены различные криволинейные трапеции.

                                             

Опредпределение.

          Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [а;b] знака функции f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком [а;b].

         Пусть x [a;b]. Площадь криволинейной трапеции, заштрихованной на рисунке, есть функция от х. Обозначим ее через S(х). Ниже будет показано, что S'(х) = f(х). Это равенство означает, что переменная площадь S(х) есть первообразная для функции f(x). Поэтому площадь криволинейной трапеции S может быть вычислена при помощи интегрирования. Из рисунка видно, S(а) = 0, так как заштрихованная фигура при х = а превращается в отрезок, S(b) = S есть площадь рассматриваемой криволинейной трапеции.

          В случае f(х) < 0 вычисление площади криволинейной трапеции будем заменять вычислением площади трапеции, симметричной данной относительно оси абсцисс. Такая криволинейная трапеция ограничена прямыми x=а, x=b, осью абсцисс, графиком функции у =-f(х), принимающей положительные значения на рассматриваемом промежутке.