Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.protein.bio.msu.ru/~akula/Yantra/Yantra.htm
Дата изменения: Thu Sep 25 16:54:44 2014 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:40:20 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: сферическая составляющая галактик |
Введение
Метафизика.
Имеется два способа рассмотрения Шри Янтры в процессе медитации: изнутри-вовне
и извне-вовнутрь, то есть из центральной точки бинду (bindu) к бхупуре
('квадрат защиты') через концентрические цепи малых треугольников, лепестков
лотоса и линий квадрата защиты, или же в обратном направлении. Эти два
метода используются в двух тантристких ритуалах правого и левого направлений,
соответственно. Направление медитации изнутри-вовне ассоциируются с эволюционным
развитием Вселенной от исходного точечного, вневременного и внепространственного
состояния (имманентное единство Шивы и Шакти: высшего сознания и высшей
энергии, мужского и женского основополагающих принципов) к феноменальному
проявлению и к все большей и большей дифференциации и усложнению форм материи.
Противоположенное направление рассмотрения Шри Янтры ассоциируется с обратным
процессом деструкции Вселенной, заканчивающимся в точечном недифференцированном
состоянии.
Психофизика. В процессе медитации адепт (sadhaka) осуществляет проекцию
эволюционно-инволюционного процесса на свое тело, целью которого является
пробуждение энергии Шакти, именуемой Кундалини, которая спит в основании
позвоночника (в так называемой Муладхара-чакра, ассоциируемой с бхупурой
Шри Янтры). Далее, зрительно трассируя Шри Янтру к центру, адепт старается
направить эту энергию вверх по позвоночному столбу до слияния с аспектом
Шивы, располагающимся в головной чакре (Сахасхара-чакра, ассоциируемая
с бинду Шри Янтры). Таким образом как бы проходится путь, обратный развитию
вселенной. Поэтому, согласно тантристкой доктрине, в конечной точке этого
процесса достигается неописуемое расширение восприятия с полным знанием
основ мироздания. Выполняя обратную процедуру, адепт возвращается к своему
обычному чувственному (телесному) восприятию.
Математический анализ
а) компонент 1: Delta-yD = f(xA') |
б) компонент 2: Delta-yC = f(xA) |
в) компонент 3: Delta-xB = f(yB) |
г) компонент 4: Delta-yE = f(yA) |
Затем произвольно выберем
точку A' на основании вверх направленного треугольника (фактически - выберем
значение xA') и проведем прямую через точки 1 и A' до пересечения с вертикальной
осью круга, а затем начертим горизонталь через точку 2 до пересечения с
окружностью, получая точку D. Теперь, имея три точки 3, A', D, мы должны
провести линию через точки 3, A' до пересечения с окружностью и хотели
бы, чтобы это пересечение совпало с точкой D. Однако чтобы достичь этого,
требуется выполнить целую последовательность перестроений фигуры (итераций
или последовательных приближений - в математической терминологии) с некоторым
перемещением точки A' и с оценкой на каждом шаге этого процесса степени
погрешности несовпадения завершающей точки пересечения с точкой D.
Конструкция и построение
компонента 2 (рис. 2б) почти симметричны компоненту 1 и независимы от него,
причем априорно выбираемое значение yB потом надо будет корректировать
при построении компонента 3. Когда компоненты 1 и 2 построены с удовлетворительной
точностью совмещения точек пересечения, мы имеем все линии, необходимые
для рисования компонента 3 (рис. 2в). В этом процессе обнаружится несоответствие
точки пересечения завершающей линии с уже имеющейся точкой B, для уменьшения
которого придется изменить yB и, следовательно, - снова итерационно перестроить
компонент 2. При построении компонента 4 (рис. 2г) возникнет несоответствие
основания внутреннего треугольника и вписанной в него окружности, которое
можно пытаться нивелировать только изменением значения yA с повторением
всех итерационных перестроений трех предшествующих компонентов.
Итерационные
построения. Тем самым, взаимодействие между четырьмя итерационными
процедурами построения структурных компонентов включает два уровня вложенности
(рис. 3), а именно: на каждом шаге приближения третьего компонента требуется
повторение полного цикла итераций по компоненту 2, а на каждом шаге приближения
компонента 4 необходимо выполнить три вложенных итерационных процедуры.
Если мы обозначим символами a, b, c, d число итерационных шагов, необходимых
для построения компонентов 1-4 с некоторой заданной точностью, то общее
число перерисовок N звезды Шри Янтры можно выразить формулой:
Рис.3. Схема итерационных построений звезды Шри Янтры
Вышерассмотренная вложенная
четырехступенчатая процедура представляется единственно возможной техникой,
если мы желаем увеличить точность воспроизведения конструкции звезды Шри
Янтры. Однако для простого копирования звезды с имеющегося образца в рамках
его точности достаточно знания значений четырех параметров, которые определяют
геометрию четырех структурных компонентов (в рассмотренном случае это:
yA, yB, xA, xA', однако из практических соображений удобнее выбрать уровни
четырех горизонталей, например: yA, yB, yC, yD).
Аналитическое
описание. Обратимся теперь к проблеме аналитического описания звезды
Шри Янтры. Пользуясь простыми уравнениями прямой и окружности для каждой
пары линий в звезде, мы можем в аналитическом виде определить координаты
точки их пересечения. Имея полный комплект таких уравнений, посредством
последовательной подстановки (суперпозиции) координат точек пересечения
из одного уравнения в другое, мы можем попытаться вывести результирующие
уравнения, описывающие каждый из четырех структурных компонентов. Так,
в простейшем случае компонента 1 мы имеем (см. рис. 2а) следующую систему
уравнений для координат точек пересечения (не уменьшая общности, для простоты
примем, что радиус внешней окружности = 1):
yD = (yA'-y2)/yA'+y2;
xD = SQRT(1-yD^2); y2 = -yA'- (y1-yA')/(x1-xA')*xA'; x1 = (1-y4)/(y4+1)*x4; x4 = SQRT(1-y4^2); y4 = y3 = y1 = -yA' = yA . |
(2)
|
P8,4(yA, xA')= yA^8-4*yA^7+4*yA^6+4*yA^5-10*yA^4+4*yA^2-4*yA+1-
-4*xA^2+8*yA*xA'^2-20*yA^2*xA'^2+20*yA^4*xA'^2- -8*yA^5*xA^2+4*yA^6*xA'^2+16*yA'^2*xA'^4 = 0 здесь ^ - операция возведения в степень |
(3)
|
P[8,4](yA, xA') = 0
Q[14,8,4](yA, xA, yB) = 0 R[16,4,6,6](yA, xA, xA', yB) = 0 S[6,3,2,4](yA, xA, xA', yB) = 0 |
(4)
|
Корни. Из геометрической природы системы 4 следует, что она обязана иметь не менее одного действительного решения (корня) относительно переменных yA, xA, xA', yB, которое может быть вычислено с заданной точностью посредством некоторого итерационного численного метода (например, метода наикратчайшего спуска). Вычисленное нами решение имеет следующие значения:
yA = 0.279461220858
xA = 0.259039898582 xA' = 0.270779392707 yB = -0.10141046595 |
(5)
|
Общее
решение. Но, с другой стороны, известно, что любой полином n-ой
степени имеет ровно n решений (корней), из которых некоторые могут быть
действительными, а некоторые - мнимыми. Применительно к Шри Янтре мнимые
корни не имеют геометрического смысла, и они нас не интересуют. Однако
система 4 может иметь и другие действительные решения, кроме найденного
комплекта корней 5. Поэтому правомерен и логичен вопрос: есть ли еще другие
подобные решения и, если - да, то сколько их? Иными словами, сколько существует
различных расположений девяти пересекающихся треугольников в Шри Янтре?
Современная математическая
теория (высшая алгебра) не дает прямого ответа на этот вопрос. Применение
же итерационных численных методов для нахождения других корней требует
предварительного знания границ их локализации.
Упрощенно пояснить это
можно следующим образом. Геометрически систему уравнений 4 можно представить
как некую сложную суперповерхность в пространстве четырех измерений (независимых
переменных). Задачу поиска корней системы 4 можно интерпретировать, как
нахождение всех минимумов такой поверхности. Однако в связи с высокой степенью
системы уравнений 4 большинство таких минимумов (если они вообще существуют)
представляют собой резкие провалы крайне малого диаметра, поэтому случайно
попасть в такой провал итерационным алгоритмом практически невозможно,
если только не запускать работу алгоритма с точки, расположенной непосредственно
на отвесном "склоне" каждого такого провала.
Так вот, рассматриваемая
задача предварительной локализации корней математически разрешима только
для полинома от одной переменной. Теоретически систему 4 посредством последовательного
исключения переменных (подстановка одного уравнения в следующее) можно
преобразовать в полином не более чем 12544 степени от одной переменной,
после чего локализовать корни и затем уже - вычислить их значения численным
методом. Однако оказывается, что для этого уже на первом простейшем шаге
преобразований (из трех необходимых) следует выполнить (по предварительной
оценке) не менее 1011 элементарных операций, причем объем вычислений на
каждом последующем шаге, по крайней мере, в 100 раз больше предыдущего.
Более того, исследование полученного результирующего уравнения требует
оперирования с числами, представленными с точностью не менее четырех тысяч
десятичных значащих цифр. Отсюда ясно, что такая задача далеко превосходит
возможности самых мощнейших земных суперкомпьютеров. Это, мягко говоря,
немного озадачивает...
Вопросы.
Такой необнадеживающий вывод порождает целую серию вопросов, например:
какие инструментальные средства и знания использовались для воспроизведения
звезды Шри Янтры на протяжении тысячелетий? или: Как вообще могла возникнуть
идея о том, что девять треугольников способны пересекаться в таком многоугольнике
с точным совпадением многочисленных точек пересечения? и многие другие.
Для предварительного ответа на подобные вопросы, прежде всего, требуется
исследование распространенности во времени и по численности различных образцов
Шри Янтры. К сожалению, имеющийся в доступности материал для такого исследования
более чем скуден.
Типологический анализ
а) тип I |
б) тип II |
в) тип III |
Рис. 5. Традиционный метод построения звезды Шри Янтры типа I в порядке деструкции (samhara-krama). Стрелкой указано явное несовпадение точек пересечения. |
Рис. 6. Традиционный метод умозрительного построения звезды Шри Янтры типа I в порядке творения (srsti-krama) |
Копирование.
Для этого типа изображений известно описание традиционного метода копирования
[14], согласно которому (рис. 5) вертикальный диаметр внешнего круга звезды
предварительного делится на 48 равных частей, после чего проводятся горизонтальные
линии на уровне порядковых делений 6, 12, 17, 20, 23, 27, 30, 36, 42, после
чего через полученные точки однозначно дорисовываются остальные линии.
Однако этот эвристический метод даже для такого упрощенного типа изображений
не обеспечивает (даже в визуальном восприятии и при малом размере фигуры)
совпадение некоторых точек пересечения.
Согласно другой схеме
копирования (приведенной впервые Генрихом Циммером [2]) звезда Шри Янтры
образуется посредством последовательного удлинения сторон треугольников,
начиная с внутреннего (рис. 6). Но возможность достижения приемлемой геометрической
точности при использовании данной схемы крайне сомнительна по мнению ряда
исследователей [14,15]. Действительно, в этом случае уже на первом шаге
рисования число априорно выбираемых значений (координат точек) значительно
больше четырех (то есть больше числа независимых параметров звезды), и
на каждом последующем шаге это число увеличивается. Более того, погрешности
в положении ранее выбранных точек оказывают все увеличивающийся негативный
эффект при последующих построениях. Поэтому разумно допустить, что в данном
случае речь шла не о практическом методе рисования, а только о ментальной
процедуре визуализации в рамках вышеупомянутого правостороннего ритуала.
Отметим также, что никакие
подобные инструкции не позволяют увеличивать точность конструкции в отличие
от вышерассмотренного вложенного итерационного процесса.
Тип
II. Второй тип изображений звезды Шри Янтры (рис. 4б) значительно
реже встречается по сравнению с первым типом, и он характеризуется тем,
что точка C компонента 2 располагается на внешней окружности, в связи с
чем трудоемкость его воспроизведения возрастает до величины: N=b*c*d+c*d+2*d,
приближаясь вплотную к своему предельному значению (см. формулу 1). Инструкций
по рисованию такого типа изображений в литературе не встречается.
Тип
III. Третий тип изображений звезды (рис. 4в) встречается крайне
редко и характеризуется фиксацией точек C и D компонентов 1 и 2 на внешней
окружности и использованием дуг овалов или эллипсов вместо прямых. Тем
самым, можно предположить, что данные образцы представляют собой плоские
проекции некоторого сферического образа, что подтверждается исполнением
некоторых экземпляров таких изображений на отчетливо выпуклых поверхностях
(такие образцы приведены в [13]).
Сферическое
решение. Сферическое изображение представляется логичным реконструировать
следующим образом (рис. 7). Внешняя окружность звезды формируется в виде
бокового сечения несущей сферы, и ее положение может быть задано углом
aльфа по отношению к оси Z, перпендикулярной к упомянутому сечению. Стороны
треугольников звезды представляют собой геодезические линии на сфере (формируются
центральными сечениями сферы). При aльфа->0 сферический образ приближается
к своему линейному пределу, который обозначим IIIL (III-линейный, точное
построение которого мы, собственно, и рассмотрели на рис.2). Знаменательно,
что некоторые реальные образцы Шри Янтры типа II приближаются (вследствие
близости точки D к внешней окружности) к этому линейному пределу сферического
образа (рис. 8, этот образец взят из [16]. Из-за единичности подобного
примера мы не выделили III-L в самостоятельный исторический тип изображений.
Его минимальная представимость в доступной выборке образцов может быть
объяснена предельной сложностью воспроизведения, поскольку для кажущегося
более сложным сферического типа III легче скрыть погрешности построения
заменой эллипсов на более простые, подобные им кривые, например, овалы)
.
Свойства.
Образцы типа III и II-IL описываются полными системами из четырех уравнений
от четырех неизвестных (аналогично системе 4). Поэтому их решения могут
включать конечное (дискретное) множество действительных корней и, следовательно,
эти образцы являются жесткими. Так, если представить звезды этого типа
изготовленными из металлических, подвижно сочлененных стержней, то их нельзя
деформировать, изменяя положение какого-либо стержня, поскольку переход
из одного в другое из допустимых состояний возможен только скачком. С другой
стороны, образцы типа I и II описываются неполными системами уравнений
(два или три уравнения от четырех переменных из системы 4), поэтому они
допускают непрерывное множество решений, и в упомянутой стержневой аналогии
их можно непрерывно деформировать, потянув звезду за какой-нибудь стержень.
Прототип.
Таким образом, с математич