Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.protein.bio.msu.ru/~akula/Yantra/Yantra.htm
Дата изменения: Thu Sep 25 16:54:44 2014
Дата индексирования: Sat Apr 9 22:40:20 2016
Кодировка: Windows-1251

Поисковые слова: сферическая составляющая галактик
CONAN-m

ШРИ ЯНТРА - ТАЙНЫ ГЕОМЕТРИИ
воспроизведено по публикации:
Indian Journal of History of Science, 19 (3): p:279-292 (1984)
SRIYANTRA AND ITS MATHEMATICAL PROPERTIES
ALEXEY PAVLOVICH KULAICHEV
Biology Faculty of Moscow University, Moscow, USSR
(Received 29 July 1983)

       Аннотация: Шри Янтра или Великая Янтра является древним геометрическим символом, используемом для медитации в различных школах тантризма, и его прослеженные исторические корни уходят за рубеж 1 тысячелетия до н.э. В статье приведены результаты структурного и аналитического исследования центральной звезды Шри Янтры (14-угольник, образованный пересечением девяти треугольников) с типизацией доступных по литературе образцов и анализом их временного и количественного распространения. Установлено, что: а) процесс воспроизведения звезды крайне сложен для ручной реализации даже современными чертежными средствами из-за необходимости точного совмещения многочисленных точек пересечения; б) задача общего математического анализа звезды сопряжена со столь большим объемом вычислений, что остается далеко за пределами возможностей сверхпроизводительных компьютеров. Тем самым происхождение Шри Янтры из Древнего Мира является пока непонятным феноменом. Высказаны предположения о возможности существования в древности сферического прототипа звезды Шри Янтры и неизвестной культурно-исторической альтернативы математическому знанию. В заключение подчеркивается, что дальнейшее изучение этого сложного и малоизвестного феномена требует совместных усилий специалистов из многих областей знания.

Введение

        В древнем мире мы иногда обнаруживаем примеры некоторых культурных достижений, которые на первый взгляд могут показаться опирающимися на высокий уровень математического или технологического знания, превосходящего известные возможности древней цивилизации. Исследование таких феноменов может привести нас к открытию культурных и исторических альтернатив математическому знанию и позволить глубже понять значение и место современного научно-технического прогресса. Одним из таких уникальных объектов является Шри Янтра (SriYantra или Велткая Янтра), происходящая из древней индуистской традиции. Она принадлежит к классу объектов - янтр, используемых для медитации в различных школах тантризма и йоги. Интерпретация Шри Янтры связана с глубокими космогоническими и психофизиологическими концепциями, а ее геометрические свойства оказались неожиданно чрезвычайно сложными для исследования.
        Источники. Западной науке Шри Янтра, по-видимому, стала известна [1] из работ видного английского индолога начала нашего века, сэра Джона Вудроффе (литературный псевдоним - Артур Авальон), обнаружившего и впервые выполнившего переводы ряда тантристских текстов [4,5]. Примерно в это же время Шри Янтра привлекла внимание немецкого индолога Генриха Циммера [2], который привел описание некоторых ритуалов ее использования. Но только в послевоенные годы появляются переводы отдельных тантристких манускриптов, в той или иной мере упоминающих Шри Янтру [3-6]. В последнее же двадцатилетие начинается более внимательное изучение культуры тантры и выходят в свет ряд монографий [7-17], посвященных семантике и прагматике янтр различных типов. К сожалению, эти единичные научные труды, в той или иной степени касающиеся Шри Янтры, имеют большей частью описательный, этнографический характер. В них, как правило, не предпринимается попыток исследования вопросов происхождения, генезиса, распространения и типологии изображений Великой янтры, ее структуры, геометрии и психологии восприятия.
        Исторические корни. Наиболее ранний из известных образцов изображения Шри Янтры, который нам удалось обнаружить по литературным изысканиям, находится в монастыре Шрингари Матха (Srinagari Matha), основанным великим религиозным мыслителем Шанкарой в восьмом веке нашей эры. Шри Янтра также упоминается в надписи, выполненной в буддистской империи Шривиджайя (Srivijaya) на каменной плите в Южной Суматре [11], датируемой 7 веком нашей эры. Тем самым, уже до этого времени Шри Янтра не только проделала длительный путь становления в качестве центрального ритуального объекта на материке, но и распространилась по удаленным регионам индуистского влияния. Действительно, уже в Атхарваведе [12] (датируемой приблизительно XII столетием до н.э.) встречается гимн, посвященный ритуальному изображению (без явного упоминания его наименования), образованному, как и Шри Янтра, из девяти пересекающихся треугольников.
        Композиция. Геометрически Шри Янтра состоит (рис. 1) из центральной 14-угольной звезды, объемлющих ее 8- и 16-лепестковых лотосов, заключенных в 'квадрат защиты' бхупура (bhupura) с четырьмя символическими дверьми на четыре стороны света. Сама звезда образована пересечением девяти больших треугольников, в результате чего образуются 43 малых треугольника, составляющие пять внутренних колец.

Рис. 1. Шри Янтра в одной из традиционных палитр

        Метафизика. Имеется два способа рассмотрения Шри Янтры в процессе медитации: изнутри-вовне и извне-вовнутрь, то есть из центральной точки бинду (bindu) к бхупуре ('квадрат защиты') через концентрические цепи малых треугольников, лепестков лотоса и линий квадрата защиты, или же в обратном направлении. Эти два метода используются в двух тантристких ритуалах правого и левого направлений, соответственно. Направление медитации изнутри-вовне ассоциируются с эволюционным развитием Вселенной от исходного точечного, вневременного и внепространственного состояния (имманентное единство Шивы и Шакти: высшего сознания и высшей энергии, мужского и женского основополагающих принципов) к феноменальному проявлению и к все большей и большей дифференциации и усложнению форм материи. Противоположенное направление рассмотрения Шри Янтры ассоциируется с обратным процессом деструкции Вселенной, заканчивающимся в точечном недифференцированном состоянии.
        Психофизика. В процессе медитации адепт (sadhaka) осуществляет проекцию эволюционно-инволюционного процесса на свое тело, целью которого является пробуждение энергии Шакти, именуемой Кундалини, которая спит в основании позвоночника (в так называемой Муладхара-чакра, ассоциируемой с бхупурой Шри Янтры). Далее, зрительно трассируя Шри Янтру к центру, адепт старается направить эту энергию вверх по позвоночному столбу до слияния с аспектом Шивы, располагающимся в головной чакре (Сахасхара-чакра, ассоциируемая с бинду Шри Янтры). Таким образом как бы проходится путь, обратный развитию вселенной. Поэтому, согласно тантристкой доктрине, в конечной точке этого процесса достигается неописуемое расширение восприятия с полным знанием основ мироздания. Выполняя обратную процедуру, адепт возвращается к своему обычному чувственному (телесному) восприятию.

Математический анализ

        Наше внимание в данной статье будет направлено исключительно  на геометрическую структуру центральной звезды Шри Янтры (более детальные сведения о ритуальном значении Шри Янтры можно найти в наиболее полной в этом плане монографии [13]). Процедура ручного воспроизведения этой звезды (рисование копий, особенно с увеличением размера изображения) оказывается неожиданно сопряженной с крайне серьезными проблемами. Действительно, большинство из ее линий проходят через 3-6 точек пересечения других линий, поэтому требуется огромное число перерисовок всей фигуры, чтобы добиться удовлетворительного совмещения всех этих точек пересечения. Попробуем более детально разобраться в данной проблеме.
        Структурные компоненты. Проведенный предварительный анализ показывает, что геометрически звезда Шри Янтры может быть разложена на четыре последовательных, вложенных структурных компонента (рис. 2). Процесс конструирования каждого компонента включает рисование замкнутой последовательности линий, в завершение чего необходимо провести линию через три точки пересечения ранее нарисованных линий. Иными словами, в процессе построения каким-то образом надо добиться, чтобы эти точки уже лежали на одной прямой.
        Попытаемся проиллюстрировать эту процедуру на примере первого структурного компонента (рис. 2а). Прежде всего, выберем априорно значение yA (которое потом мы вынуждены будем корректировать при построении компонента 4), исходя из которого однозначно начертим два наибольших и симметричных треугольника (тонкие линии на рис. 2а) .
        Примечание. Напомним, что символ из двух скрешенных треугольников в западной ойкумене обычно именуется звездой или щитом Давида (реже - печатью Соломона) и обозначает нисхождение духа в материю. С другой стороны, этот символ является одним из центральных в тантризме и обозначает там единство сознательного (треугольник с вершиной вверх) и энергетического (вниз направленный треугольник) основополагающих принципов развития мироздания. Очевидно, что этот символ имеет не арийское (поскольку он не встречается более нигде по пути движения ариев, в отличие от свастики - символа плодородия, svastika на санскрите дословно означает 'хорошо кушать'), а более древнее - дравидское происхождения, то есть он существовал в Индостане задолго до времен Хараппы и Мохеджо Даро (2.5 тыс. лет до н.э., где уже встречаются печати со свастикой) и тем более  - задолго до времен царств Давида и Соломона (XI-X века до н.э.). Поскольку этот символ не упоминается предшествующими библейскими пророками, не встречается ни в каких более древних сопредельных культурах, а именно в эпоху царя Соломона, после беспрецедентных завоеваний Давида начинаются прямые торговые контакты иудеев с Индией, то становится очевидным, что шестиугольная звезда попала в Палестину в это время и именно из Индостана, в конце концов получив там новую интерпретацию, отличную от космогонии тантры.
 

а) компонент 1: Delta-yD = f(xA') 

б) компонент 2: Delta-yC = f(xA)

в) компонент 3: Delta-xB = f(yB) 

г) компонент 4: Delta-yE = f(yA)
Рис. 2. Четыре структурных компонента центральной звезды Шри Янтры (вспомогательные построения изображены тонкими линиями, а направление стрелок указывает выбранный порядок конструирования; под рисунками приведены функционалы для оценки точности построения компонентов).

        Затем произвольно выберем точку A' на основании вверх направленного треугольника (фактически - выберем значение xA') и проведем прямую через точки 1 и A' до пересечения с вертикальной осью круга, а затем начертим горизонталь через точку 2 до пересечения с окружностью, получая точку D. Теперь, имея три точки 3, A', D, мы должны провести линию через точки 3, A' до пересечения с окружностью и хотели бы, чтобы это пересечение совпало с точкой D. Однако чтобы достичь этого, требуется выполнить целую последовательность перестроений фигуры (итераций или последовательных приближений - в математической терминологии) с некоторым перемещением точки A' и с оценкой на каждом шаге этого процесса степени погрешности несовпадения завершающей точки пересечения с точкой D.
        Конструкция и построение компонента 2 (рис. 2б) почти симметричны компоненту 1 и независимы от него, причем априорно выбираемое значение yB потом надо будет корректировать при построении компонента 3. Когда компоненты 1 и 2 построены с удовлетворительной точностью совмещения точек пересечения, мы имеем все линии, необходимые для рисования компонента 3 (рис. 2в). В этом процессе обнаружится несоответствие точки пересечения завершающей линии с уже имеющейся точкой B, для уменьшения которого придется изменить yB и, следовательно, - снова итерационно перестроить компонент 2. При построении компонента 4 (рис. 2г) возникнет несоответствие основания внутреннего треугольника и вписанной в него окружности, которое можно пытаться нивелировать только изменением значения yA с повторением всех итерационных перестроений трех предшествующих компонентов.
        Итерационные построения. Тем самым, взаимодействие между четырьмя итерационными процедурами построения структурных компонентов включает два уровня вложенности (рис. 3), а именно: на каждом шаге приближения третьего компонента требуется повторение полного цикла итераций по компоненту 2, а на каждом шаге приближения компонента 4 необходимо выполнить три вложенных итерационных процедуры. Если мы обозначим символами a, b, c, d число итерационных шагов, необходимых для построения компонентов 1-4 с некоторой заданной точностью, то общее число перерисовок N звезды Шри Янтры можно выразить формулой:

N=ad+bcd+cd+d                                                        (1)
        Пусть (при небольших размерах Шри Янтры) a=b=c=d=10, тогда по формуле 1 получаем N=1210. Тем самым становится очевидным, что объем необходимой чертежной работы для ручного воспроизведения звезды достаточно велик для обычных человеческих способностей и может очень быстро расти с увеличением требований к точности конструкции (например, с увеличением размеров фигуры, когда ранее незаметные погрешности в совмещении точек пересечения становятся очевидны).
        Здесь следует подчеркнуть, что провозглашение компонента 4, резко усложняющего трудоемкость воспроизведения звезды Шри Янтры, может показаться излишним. Однако он явно присутствует в некоторых образцах, и, кроме того, его наличие коррелирует с символикой внутреннего треугольника [13], а именно: из точки первичного единства Шива-Шакти в первую очередь возникает тройственность первичных принципов космического существования: творение (Авьякта), сила (Махат) и эго (Ахамкара), представленных в углах тремя мужскими ипостасями (Брахма, Вишну и Рудра), а на сторонах треугольников - их женскими партнерами (Бана, Дхану и Анкуша).

Рис.3. Схема итерационных построений звезды Шри Янтры

        Вышерассмотренная вложенная четырехступенчатая процедура представляется единственно возможной техникой, если мы желаем увеличить точность воспроизведения конструкции звезды Шри Янтры. Однако для простого копирования звезды с имеющегося образца в рамках его точности достаточно знания значений четырех параметров, которые определяют геометрию четырех структурных компонентов (в рассмотренном случае это: yA, yB, xA, xA', однако из практических соображений удобнее выбрать уровни четырех горизонталей, например: yA, yB, yC, yD).
        Аналитическое описание. Обратимся теперь к проблеме аналитического описания звезды Шри Янтры. Пользуясь простыми уравнениями прямой и окружности для каждой пары линий в звезде, мы можем в аналитическом виде определить координаты точки их пересечения. Имея полный комплект таких уравнений, посредством последовательной подстановки (суперпозиции) координат точек пересечения из одного уравнения в другое, мы можем попытаться вывести результирующие уравнения, описывающие каждый из четырех структурных компонентов. Так, в простейшем случае компонента 1 мы имеем (см. рис. 2а) следующую систему уравнений для координат точек пересечения (не уменьшая общности, для простоты примем, что радиус внешней окружности = 1):

yD = (yA'-y2)/yA'+y2;
xD = SQRT(1-yD^2);
y2 = -yA'- (y1-yA')/(x1-xA')*xA';
x1 = (1-y4)/(y4+1)*x4;
x4 = SQRT(1-y4^2);
y4 = y3 = y1 = -yA' = yA . 
(2)
        Требование для точного построения компонента 1 выражается равенством y2=yD, которое после последовательной взаимной подстановки уравнений системы 2 преобразуется в полиномиальное уравнение вида:
P8,4(yA, xA')= yA^8-4*yA^7+4*yA^6+4*yA^5-10*yA^4+4*yA^2-4*yA+1-
-4*xA^2+8*yA*xA'^2-20*yA^2*xA'^2+20*yA^4*xA'^2-
-8*yA^5*xA^2+4*yA^6*xA'^2+16*yA'^2*xA'^4 = 0
здесь ^ - операция возведения в степень
(3)
        Если следовать такой процедуре и далее, то в целом звезда Шри Янтры может быть описана системой четырех подобных нелинейных алгебраических уравнений от четырех независимых переменных, которые присутствуют в уравнениях в степени от второй до шестнадцатой:
P[8,4](yA, xA') = 0
Q[14,8,4](yA, xA, yB) = 0
R[16,4,6,6](yA, xA, xA', yB) = 0
S[6,3,2,4](yA, xA, xA', yB) = 0 
(4)
где A[i,j...](x, y,...) - обозначены полиномы i, j,...-степени от переменных x, y,..., которые включают от 16 до 512 членов.

        Корни. Из геометрической природы системы 4 следует, что она обязана иметь не менее одного действительного решения (корня) относительно переменных yA, xA, xA', yB, которое может быть вычислено с заданной точностью посредством некоторого итерационного численного метода (например, метода наикратчайшего спуска). Вычисленное нами решение имеет следующие значения:

yA = 0.279461220858
xA = 0.259039898582
xA' = 0.270779392707
yB = -0.10141046595
(5)

        Общее решение. Но, с другой стороны, известно, что любой полином n-ой степени имеет ровно n решений (корней), из которых некоторые могут быть действительными, а некоторые - мнимыми. Применительно к Шри Янтре мнимые корни не имеют геометрического смысла, и они нас не интересуют. Однако система 4 может иметь и другие действительные решения, кроме найденного комплекта корней 5. Поэтому правомерен и логичен вопрос: есть ли еще другие подобные решения и, если - да, то сколько их? Иными словами, сколько существует различных расположений девяти пересекающихся треугольников в Шри Янтре?
        Современная математическая теория (высшая алгебра) не дает прямого ответа на этот вопрос. Применение же итерационных численных методов для нахождения других корней требует предварительного знания границ их локализации.
        Упрощенно пояснить это можно следующим образом. Геометрически систему уравнений 4 можно представить как некую сложную суперповерхность в пространстве четырех измерений (независимых переменных). Задачу поиска корней системы 4 можно интерпретировать, как нахождение всех минимумов такой поверхности. Однако в связи с высокой степенью системы уравнений 4 большинство таких минимумов (если они вообще существуют) представляют собой резкие провалы крайне малого диаметра, поэтому случайно попасть в такой провал итерационным алгоритмом практически невозможно, если только не запускать работу алгоритма с точки, расположенной непосредственно на отвесном "склоне" каждого такого провала.
        Так вот, рассматриваемая задача предварительной локализации корней математически разрешима только для полинома от одной переменной. Теоретически систему 4 посредством последовательного исключения переменных (подстановка одного уравнения в следующее) можно преобразовать в полином не более чем 12544 степени от одной переменной, после чего локализовать корни и затем уже - вычислить их значения численным методом. Однако оказывается, что для этого уже на первом простейшем шаге преобразований (из трех необходимых) следует выполнить (по предварительной оценке) не менее 1011 элементарных операций, причем объем вычислений на каждом последующем шаге, по крайней мере, в 100 раз больше предыдущего. Более того, исследование полученного результирующего уравнения требует оперирования с числами, представленными с точностью не менее четырех тысяч десятичных значащих цифр. Отсюда ясно, что такая задача далеко превосходит возможности самых мощнейших земных суперкомпьютеров. Это, мягко говоря, немного озадачивает...
        Вопросы. Такой необнадеживающий вывод порождает целую серию вопросов, например: какие инструментальные средства и знания использовались для воспроизведения звезды Шри Янтры на протяжении тысячелетий? или: Как вообще могла возникнуть идея о том, что девять треугольников способны пересекаться в таком многоугольнике с точным совпадением многочисленных точек пересечения? и многие другие. Для предварительного ответа на подобные вопросы, прежде всего, требуется исследование распространенности во времени и по численности различных образцов Шри Янтры. К сожалению, имеющийся в доступности материал для такого исследования более чем скуден.

Типологический анализ

        Сравнивая доступные тантристские образцы Шри Янтры, можно выделить  следующие три геометрические типа (рис. 4, эта классификация не включает ряд образцов с очевидными ошибками типа отсутствия совмещения вершин треугольников с горизонтальными линиями).
        Тип I. Первый и наиболее распространенный тип I (рис. 4a) характеризуется свободным расположением компонентов 1 и 2, поскольку угловые точки C и D треугольников не лежат на внешней окружности. Вследствие этого первые два итерационных цикла перерисовок фигуры здесь не требуется, что резко снижает трудоемкость всего построения до величины: N<=2*c*d+2*d (см. формулу 1). Задача может быть упрощена еще более, если отказаться от соосности внешней и внутренней окружностей. Тогда итерационный цикл по компоненту 4 тоже исключается, и общая трудоемкость построения снижается до вполне приемлемой величины: N=2*d. Это обстоятельство, очевидно, и является главной причиной для широкого распространения образцов типа I.

а) тип I

б) тип II

в) тип III
Рис. 4. Три типа изображения звезды Шри Янтры

Рис. 5. Традиционный метод построения звезды Шри Янтры типа I в порядке деструкции (samhara-krama). Стрелкой указано явное несовпадение точек пересечения.

Рис. 6. Традиционный метод умозрительного построения звезды Шри Янтры типа I в порядке творения (srsti-krama)

        Копирование. Для этого типа изображений известно описание традиционного метода копирования [14], согласно которому (рис. 5) вертикальный диаметр внешнего круга звезды предварительного делится на 48 равных частей, после чего проводятся горизонтальные линии на уровне порядковых делений 6, 12, 17, 20, 23, 27, 30, 36, 42, после чего через полученные точки однозначно дорисовываются остальные линии. Однако этот эвристический метод даже для такого упрощенного типа изображений не обеспечивает (даже в визуальном восприятии и при малом размере фигуры) совпадение некоторых точек пересечения.
        Согласно другой схеме копирования (приведенной впервые Генрихом Циммером [2]) звезда Шри Янтры образуется посредством последовательного удлинения сторон треугольников, начиная с внутреннего (рис. 6). Но возможность достижения приемлемой геометрической точности при использовании данной схемы крайне сомнительна по мнению ряда исследователей [14,15]. Действительно, в этом случае уже на первом шаге рисования число априорно выбираемых значений (координат точек) значительно больше четырех (то есть больше числа независимых параметров звезды), и на каждом последующем шаге это число увеличивается. Более того, погрешности в положении ранее выбранных точек оказывают все увеличивающийся негативный эффект при последующих построениях. Поэтому разумно допустить, что в данном случае речь шла не о практическом методе рисования, а только о ментальной процедуре визуализации в рамках вышеупомянутого правостороннего ритуала.
        Отметим также, что никакие подобные инструкции не позволяют увеличивать точность конструкции в отличие от вышерассмотренного вложенного итерационного процесса.
        Тип II. Второй тип изображений звезды Шри Янтры (рис. 4б) значительно реже встречается по сравнению с первым типом, и он характеризуется тем, что точка C компонента 2 располагается на внешней окружности, в связи с чем трудоемкость его воспроизведения возрастает до величины: N=b*c*d+c*d+2*d, приближаясь вплотную к своему предельному значению (см. формулу 1). Инструкций по рисованию такого типа изображений в литературе не встречается.
        Тип III. Третий тип изображений звезды (рис. 4в) встречается крайне редко и характеризуется фиксацией точек C и D компонентов 1 и 2 на внешней окружности и использованием дуг овалов или эллипсов вместо прямых. Тем самым, можно предположить, что данные образцы представляют собой плоские проекции некоторого сферического образа, что подтверждается исполнением некоторых экземпляров таких изображений на отчетливо выпуклых поверхностях (такие образцы приведены в [13]).
        Сферическое решение. Сферическое изображение представляется логичным реконструировать следующим образом (рис. 7). Внешняя окружность звезды формируется в виде бокового сечения несущей сферы, и ее положение может быть задано углом aльфа по отношению к оси Z, перпендикулярной к упомянутому сечению. Стороны треугольников звезды представляют собой геодезические линии на сфере (формируются центральными сечениями сферы). При aльфа->0 сферический образ приближается к своему линейному пределу, который обозначим IIIL (III-линейный, точное построение которого мы, собственно, и рассмотрели на рис.2). Знаменательно, что некоторые реальные образцы Шри Янтры типа II приближаются (вследствие близости точки D к внешней окружности) к этому линейному пределу сферического образа (рис. 8, этот образец взят из [16]. Из-за единичности подобного примера мы не выделили III-L в самостоятельный исторический тип изображений. Его минимальная представимость в доступной выборке образцов может быть объяснена предельной сложностью воспроизведения, поскольку для кажущегося более сложным сферического типа III легче скрыть погрешности построения заменой эллипсов на более простые, подобные им кривые, например, овалы) .


Рис. 7. Принцип сферической конструкции звезды Шри Янтры

        Свойства. Образцы типа III и II-IL описываются полными системами из четырех уравнений от четырех неизвестных (аналогично системе 4). Поэтому их решения могут включать конечное (дискретное) множество действительных корней и, следовательно, эти образцы являются жесткими. Так, если представить звезды этого типа изготовленными из металлических, подвижно сочлененных стержней, то их нельзя деформировать, изменяя положение какого-либо стержня, поскольку переход из одного в другое из допустимых состояний возможен только скачком. С другой стороны, образцы типа I и II описываются неполными системами уравнений (два или три уравнения от четырех переменных из системы 4), поэтому они допускают непрерывное множество решений, и в упомянутой стержневой аналогии их можно непрерывно деформировать, потянув звезду за какой-нибудь стержень.
        Прототип. Таким образом, с математич