Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.pms.ru/content/rus/news_list/1546/FIZ-part2.doc Дата изменения: Fri Jul 16 12:06:25 2010 Дата индексирования: Tue Oct 2 03:06:43 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: гравиметрия

Специализированный учебно-научный центр -
факультет МГУ им. М.В. Ломоносова,
Школа имени А.Н. Колмогорова
Кафедра физики







ПОСОБИЕ
по решению задач по физике

МЕХАНИКА

Кинематика. Динамика материальной точки


Часть II



Т.П.Корнеева







2010 г.





































III. КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА.

Во всех задачах данного раздела при рассмотрении свободного падения тел
считать, что сопротивление воздуха не оказывает влияния на их движение.

Задача 1.
Камень бросили с крутого берега реки вверх под углом ( = 30о к
горизонту со скоростью V = 10 м/с. С какой скоростью он упадет в воду, если
время полета равно t = 2 c?
Выберем прямоугольную систему координат XY так, что ось Y направлена
вверх. Тогда горизонтальная и вертикальная составляющие скорости меняются в
зависимости от времени по следующим законам:
Vx = Vxo = Vcos(;
Vy(t) = Vyo - gt = Vsin(.
При этом величина скорости равна
V(t) = (Vx2 + Vy2)1/2 = [V2 cos2( + (Vsin( - gt)2]1/2.
Подставляя в это выражение значение t = 2 c, получаем
V ( 17 м/с.
Заметим, что при решении данной задачи нет необходимости выяснять, сколько
времени камень поднимался вверх, а сколько падал вниз, поскольку закон
изменения скорости один и тот же для всего времени движения.
Ответ: V ( 17 м/с.

Задача 2.
Мяч брошен с некоторой высоты горизонтально со скоростью Vо = 15 м/с.
Найти центростремительное (нормальное) аn и касательное (тангенциальное) аt
ускорения через время t = 1 c.
Нарисуем траекторию мяча:
[pic]
Поскольку начальная скорость мяча известна, можно найти величину и
направление скорости в любой момент времени:
Vx = Vo,
Vy = gt.
V = (Vo2 + g2t2)1/2
sin( = Vy/V = gt/(Vo2 + g2t2)1/2 ;
cos( = Vx/V = Vo /(Vo2 + g2t2)1/2.
Мяч свободно падает, поэтому его ускорение есть ускорение свободного
падения g. Вследствие этого меняются как величина, так и направление
скорости мяча. Изменению величины скорости соответствует касательное
ускорение, а изменению направления - нормальное. Чтобы найти эти величины,
необходимо вектор ускорения g разложить на составляющие - параллельную и
перпендикулярную скорости:
[pic]
Из рисунка видно, что
аn = g cos( = gVo/(Vo2 + g2t2)1/2;
аt = g sin ( = g2t/(Vo2 + g2t2)1/2.

Из анализа полученных выражений следует, что величина нормального
ускорения максимальна в вершине параболы (аn = g при t = 0) и далее
уменьшается, а величина тангенциального ускорения увеличивается со временем
от нуля (в вершине параболы) до значения g при достаточно долгом движении,
например, падении с высокой башни. Однако в этом случае нельзя не учитывать
сопротивление воздуха, которое полностью изменит характер движения через
достаточно большое время.

Ответ: аn = gVo/(Vo2 + g2t2)1/2 ( 8,3 м/с2;
аt = g2t/(Vo2 + g2t2)1/2 ( 5,5 м/с2.


Задача 3.
| Из точки А свободно |[pic] |
|падает тело. Одновременно из | |
|точки В бросают другое тело | |
|так, чтобы оба тела | |
|столкнулись в воздухе. Под | |
|каким углом следует бросить | |
|второе тело и с какой | |
|скоростью? АС = H, BC = L. | |

Пока оба тела находятся в состоянии свободного падения, друг
относительно друга они движутся равномерно и прямолинейно. Покажем это.
Векторы скоростей тел изменяются со временем следующим образом:
V1(t) = gt.
V2(t) = Vo + gt
При этом относительная скорость движения тел ( например, скорость второго
тела относительно первого)
V21 = V2 - V1 = Vо
постоянна по величине и направлению.
Значит, тела столкнутся, если вектор Vо направлен прямо в точку А, т.е.
( = arctg H/L.
Что же касается величины скорости, то она должна быть достаточно
велика, чтобы брошенное из точки В тело не упало на землю ближе точки С,
т.е. дальность полета второго тела должна соответствовать условию:
S = (Vo2/g) sin2( ( L,
sin2( = 2 sin?•cos? = 2HL/(H2 + L2)
Vo2 ( g(H2 + L2)/2H.
При выполнении этого условия время полета тела, брошенного из точки В,
будет больше времени падения тела из точки А и, следовательно, тела
встретятся в воздухе.

Ответ: ( = arctg H/L; Vo2 ( g(H2 + L2)/2H.


Задача 4.
Из шланга, отверстие которого расположено вблизи поверхности земли,
бьет струя воды с начальной скоростью Vо = 10 м/с под углом ( = 45о к
горизонту. Площадь отверстия шланга S = 5 см2. Определите массу струи,
находящейся в воздухе.

За время (t из шланга вытекает масса воды
(m = (SVo(t, где ( - плотность воды.
Пусть время (t настолько мало, что все части элемента струи (m в любой
момент движутся с одинаковой скоростью как одно целое. Тогда движение этого
элемента происходит так же, как происходило бы движение тела, брошенного
под углом к горизонту.
Время движения элемента до его падения на землю равно
( = (2Vosin()/g.
Все элементы струи движутся независимо по одной и той же траектории одно и
то же время (. Поэтому масса струи - это масса воды, вытекающей из шланга
за время (:
M = (SVo( = (2(SVo2/g)sin(.
Подставив численные значения, получим М = 7 кг.

Ответ: M = (2(SVo2/g)sin( = 7 кг.

Задача 5.
Мальчик бросает мяч к стене, находящейся от него на расстоянии L= 6 м,
под углом ( = 45о к горизонту. После упругого удара о стену мяч падает
точно к ногам мальчика.
Какова начальная скорость мяча, если он был брошен с высоты h = 1,5 м?

Выясним, что представляет собой траектория мяча после упругого удара о
стену. При упругом ударе о вертикальную стену вертикальная составляющая
вектора скорости не меняется, а горизонтальная меняет свое направление на
противоположное. Проще всего представить себе траекторию мяча после
упругого удара о стенку как «зеркальное отражение» того участка траектории,
по которому мяч летел бы, если бы никакой стены не было.
[pic]
Таким образом, задача сводится к нахождению скорости тела, брошенного
с высоты h под углом ( к горизонту, и упавшего на расстоянии 2L от места
бросания.
Запишем уравнения движения мяча в проекциях на оси «х» и «у»:
x(t) = vo(cos()t
y(t) = h + vo(sin()t - gt2/2
В момент падения
x = 2L,
y = 0.
Поскольку нас не интересует время падения мяча, исключим его, выразив из
первого уравнения и подставив во второе:
0 = h + 2L tg( - g(2L)2/2vo2 cos2(
Решим полученное уравнение относительно vo:
vo = (L/cos()[2g/(h + 2L tg()]1/2 ( 10 м/с.

Ответ: vo = (L/cos()[2g/(h + 2L tg()]1/2 ( 10 м/с.


Задача 6.
Под каким углом к горизонту необходимо бросить камень, чтобы он попал в
точку, расположенную на высоте H = 7 м и на расстоянии L = 10 м по
горизонтали от места бросания?
Камень бросают со скоростью vo = 15 м/с.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, описывается теми же
уравнениями движения, которые мы уже применяли при решении предыдущей
задачи:
x(t) = vo(cos()t
y(t) = h + vo(sin()t - gt2/2 (1)
Исключив время из этих уравнений, получим связь между координатами тела во
время движения
y(x) = x tg( - gx2/(2vo2 cos2() (2)
Полученная зависимость y(x) является уравнением траектории и позволяет
найти все множество точек, в которых побывало тело в процессе движения.
Нетрудно увидеть, что уравнение (2) описывает семейство парабол, проходящих
через начало координат (y = 0 при x = 0). Каждая из этих парабол
определяется двумя параметрами - углом ( и начальной скоростью vo.
Поскольку начальная скорость камня определена в условии, остается выяснить,
каким значениям угла ( соответствуют параболы, проходящие через точку с
координатами (L,H). Другими словами, нам нужно решить относительно угла (
следующее уравнение:
H = Ltg( - gL2/(2vo2 cos2() (3)
На первый взгляд, такая задача представляется весьма трудной, но ее можно
значительно упростить, если вспомнить тригонометрическое соотношение
1/cos2( = 1 + tg2(
С учетом этого соотношения уравнение (3) превращается в квадратное
уравнение относительно переменной tg(:
H = Ltg( - (gL2/2vo2)( 1 + tg2() (4)
Корни этого уравнения дают нам значения tg(, а, значит, и значения угла (
(0 ( ( ( (/2) для тех траекторий, которые проходят через точку (L,H):
tg(1,2 = (1/gL){vo2 ( [vo4 - g(gL2 + 2vo2H)(1/2} (5)
tg(1 — 3,6
tg(2 — 0,9
Двум значениям угла ( соответствуют две изображенные на рисунке траектории.
В артиллерии траектория 1 носит название навесная, а траектория 2 -
настильная.
[pic]
Ответ: (1 ( 73о; (2 ( 42о.







Задача 7.
С земли необходимо перебросить мяч через сетку, находящуюся на
расстоянии L от места броска. Верхний край сетки находится на высоте H. При
какой наименьшей начальной скорости мяч перелетит через сетку? Под каким
углом к горизонту необходимо его при этом бросить?

Относительно решения данной задачи существует устойчивое заблуждение,
что край сетки должен соответствовать верхней точке траектории. Покажем,
что это не так.
В этой задаче, как и в предыдущей, необходимо, чтобы траектория мяча
проходила через определенную точку с координатами (L,H).
Обратимся к выражению (5), полученному в предыдущей задаче для tg(, и
определяющему все возможные траектории, проходящие через заданную точку:
tg(1,2 = (1/gL){vo2 ( [vo4 - g(gL2 + 2vo2H)(1/2}
Заметим, что tg( принимает два значения только в том случае, если
подкоренное выражение (или дискриминант уравнения (4)) больше нуля. Это
соответствует ситуации, когда при заданной начальной скорости через данную
точку проходят две траектории.
В случае если дискриминант отрицателен, уравнение не имеет корней, и в
данную точку попасть нельзя. Очевидно, этот случай реализуется, если
начальная скорость тела недостаточно велика.
Если дискриминант равен нулю, через данную точку проходит всего одна
траектория, а начальная скорость принимает минимальное значение, которое
можно найти из условия:
vo4 - g(gL2 + 2vo2H) = 0 (6)
Решив это квадратное уравнение относительно vo2, получим
(vo2)min = g[H + ( H2 + L2 )1/2] (7)

При этом
tg( = (vo2)min/gL = [H + ( H2 + L2 )1/2]/L.

Заметим, что если заданная точка находится на уровне бросания (H = 0),
минимальное значение скорости бросания для попадания в точку на расстоянии
L по горизонтали есть
vo min = [pic],
при этом tg( = 1, ( = 45о. Данный результат соответствует хорошо
известному условию максимальной дальности полета брошенного под углом к
горизонту тела.

Ответ: vo min = [g(H + ( H2 + L2 )1/2]1/2 ;
tg( = H/L + (1 + H2/L2)1/2 .




Задача 8.
Ось вращающегося диска движется поступательно в горизонтальном
направлении со скоростью V. Ось горизонтальна, направление движения
перпендикуляр-но оси. Радиус диска равен R. Найти мгновенные скорости и
ускорения точек B,C,D диска, если известно, что мгновенная скорость точки А
равна V1.Чему равна угловая скорость вращения диска?

[pic]

Поскольку диск вращается, все его точки участвуют в двух движениях:
поступательном со скоростью V и вращательном относительно оси диска.
Т.к. точки A, B, C, D находятся на одинаковом расстоянии от оси диска,
линейная скорость вращения Vвр у них одинакова. Представим эти движения в
векторном виде:
[pic]
Как видно из рисунка, для скорости точки А справедливо соотношение:
V1 = V + Vвр
V1 = V - Vвр, откуда
Vвр = V - V1.
Соответственно,
VС = V + Vвр = 2V - V1
VB = VD = [V2 + (V - V1)2]1/2.
Поскольку ось диска движется с постоянной скоростью, ускорение
различных точек диска связано с изменением вектора скорости вращательного
движения Vвр, причем только по направлению.
Таким образом, при движении оси диска с постоянной скоростью все точки
на ободе диска обладают одинаковым по величине и направленным к т. О
центростремительным ускорением
a = Vвр2/R = (V - V1)2/R.
Угловая скорость вращения диска связана с линейной скоростью вращения:
( = (V - V1)/R.

Ответ: VС = 2V - V1;
VB = VD = [V2 + (V - V1)2]1/2;
a = (V - V1)2/R;
( = (V - V1)/R.
Задача 9.
Диск радиусом R катится без проскальзывания по горизонтальной
поверхности со скоростью V. Найти геометрическое место точек на диске,
которые в данный момент имеют скорость, равную V.
[pic]

Тот факт, что между диском и поверхностью отсутствует проскальзывание,
означает, что мгновенная скорость точки диска, касающейся в данный момент
поверхности, равна нулю.
[pic]

Поскольку VА = V - Vвр, из равенства нулю скорости точки А следует, что
при движении без проскальзывания
Vвр = V.
При этом диск вращается с угловой скоростью
( = V/R.

Для дальнейшего рассмотрения выберем на диске произвольную точку К,
находящуюся на расстоянии r от оси (OK = r).
[pic]
Мгновенная скорость точки К определяется как сумма скоростей
поступательного движения и вращения относительно точки О:
VK = V + U, где U = (r, U ( OK.
Рассмотрим теперь два треугольника: ( АКО и треугольник, составленный
из векторов скоростей V, VK, U.
( АКО: OA = R; OK = r.
В треугольнике скоростей: V = (R; U = (r.
Нетрудно заметить, что
V/U = R/r = OA/OK,
кроме того,
V ( OA, U ( OK.
Значит, треугольник скоростей и ( АКО подобны, а следовательно
VK ( AК и VK = ((AK.
Поскольку точка К была выбрана произвольно, отсюда следует, что
скорость любой точки диска перпендикулярна прямой, соединяющей эту точку с
точкой А, и равна произведению (rA, где rA - расстояние от данной точки до
точки А. Другими словами, движение диска в данный момент времени может быть
представлено как мгновенное вращение с угловой скоростью ( вокруг оси,
проходящей через точку А перпендикулярно плоскости диска. Такая ось
называется мгновенной осью вращения, а точку А называют мгновенным центром
вращения.
Заметим, что для нахождения ускорений данное рассмотрение неприменимо.
Подумайте, почему.
Теперь нетрудно понять, что скоростью V будут обладать все точки диска,
находящиеся на расстоянии R от точки А.
[pic]
Ответ: скоростью V будут обладать все точки диска, находящиеся на
расстоянии R от точки А.

Задача 10.
Цилиндр радиуса R помещен между двумя параллельными рейками. Рейки
движутся со скоростями V1 и V2. Проскальзывания между рейками и цилиндром
нет. С какой скоростью перемещается цилиндр? Какова угловая скорость его
вращения?
[pic]

Способ решения ?1.

Предположим, что V1 ( V2. Тогда цилиндр вращается по часовой стрелке.
Поскольку проскальзывание отсутствует, точки цилиндра В и А имеют ту же
скорость, что и соприкасающиеся с ними рейки. При этом
VB = VO + Vвр = V1
VA = Vвр - VO = V2

Решая систему, находим:
VO = (V1 - V2)/2
Vвр = (V1 + V2)/2 = (R.

Способ решения ?2.

Перейдем в СО, связанную с одной из реек, например, с верхней. Для
этого перехода из векторов скоростей всех точек нужно вычесть вектор V1.
Т.к. цилиндр не проскальзывает, в этой СО:
VBI = 0;
VAI = V2 - V1;
VAI = V2 + V1.
[pic]
В этой СО точка В является мгновенным центром вращения, поэтому
VОI = VAI /2 = (V2 - V1)/2
VОI = VAI /2 = (V2 + V1)/2;
( = (V2 + V1)/2R.
Перейдем теперь снова в лабораторную (связанную с землей) систему
отсчета, для чего ко всем векторам скоростей теперь прибавим вектор V1.
VO = VOI + V1 = (V2 - V1)/2 + V1 = (V2 + V1)/2;
VO = (V1 - V2)/2.


Способ решения ?3.

Поскольку векторы скоростей V1 и V2 параллельны, нетрудно найти
мгновенный центр вращения цилиндра ОI (см. рисунок).
[pic]
Тогда:
ОIВ/ОIА = V1/V2;
ОIВ + ОIА = 2R.
Отсюда следует что
OIA = 2RV2/(V1 + V2),
( = V2/OIA = (V1 + V2)/2R;
VO = ((OOI = ((R - OIA) = (V1 - V2)/2.

Ответ: ( = (V1 + V2)/2R;
VO = (V1 - V2)/2.

Задача 11
Тонкая палочка АВ длиной L движется в плоскости чертежа так, что в
данный момент скорость ее конца А равна V и направлена под углом ( к
палочке, а скорость конца В направлена под углом (. Найти точку на палочке,
скорость которой направлена вдоль палочки и определить величину скорости
этой точки.
[pic]

Поскольку длина палочки неизменна, все ее точки движутся с одинаковыми
скоростями V(( вдоль палочки:
V(( = VA cos( = VB cos(,
откуда скорость точки В равна VB = Vcos( / cos(.
Перейдем теперь в систему отсчета, движущуюся вместе с палочкой со
скоростью V((. В этой системе отсчета все точки палочки движутся со
скоростями, перпендикуляр-ными палочке, и это движение может быть
представлено как вращение вокруг точки О, скорость которой равна нулю
(мгновенный центр вращения).
[pic]
Поскольку при вращении линейная скорость точек прямо пропорциональна их
расстоянию до центра вращения, положение точки О легко найти. Обозначим
расстояние АО = х. Тогда
x/(L - x) = (VA)(/(VB)( = (V sin()/(VB sin() = tg( / tg(,
x = L tg( / ( tg( + tg().
Перейдем теперь обратно в лабораторную систему отсчета. В этой СО скорость
точки О направлена вдоль палочки и равна V(( = V cos(.

Ответ: АО = L tg(/( tg( + tg();
VО = V cos( .














Задача 12.
| Кривошип ОА, вращаясь|[pic] |
|вокруг неподвижной оси О, | |
|приводит в движение колесо | |
|1 радиуса R = 20 см, | |
|катящееся по внутренней | |
|поверхности неподвижного | |
|круга 2. Колесо 1, | |
|соприкасаясь с колесом 3 | |
|радиуса r = 10 см, | |
|заставляет | |
|его вращаться вокруг оси О. (Колесо 3 свободно |
|надето на ось и не связано с кривошипом). Во |
|сколько раз угловая скорость колеса 3 больше |
|угловой скорости кривошипа? Между колесами 1 и 3 |
|и колесом 1 и кругом 2 проскальзывания нет. |

Пусть угловая скорость кривошипа равна ?. Тогда
VA = ?(r + R).
Поскольку в точке С проскальзывания нет, для колеса 1 точка С - мгновенный
центр вращения. Отсюда следует, что скорость колеса 1 в точке В
VВ = 2VA = 2?(r + R).
Но в точке В линейные скорости колес 1 и 3 одинаковы (т.к. между ними нет
проскальзывания). Следовательно, угловая скорость колеса 3 равна:
? = VB/r = 2?(r + R)/r.
В итоге получаем:
?/? = 2(r + R)/r = 6

Ответ: ?/? = 2(r + R)/r = 6







Задачи для самостоятельного решения.

1. С какой скоростью был брошен камень под углом к горизонту, если на
высоте H = 7,5 м его скорость оказалась вдвое меньше скорости в момент
бросания.
Ответ: V0 = 14 м/с

2. Камень брошен под углом 30о к горизонту с начальной скоростью 10 м/с.
Найти, через какое время он будет на высоте 1 м.
Ответ: t1 = 0,28 с; t2 = 0,75 с

3. Теннисный мяч ударяют ракеткой у самой земли, сообщая ему скорость V0
= 20 м/с под углом ( = 45о к горизонту по направлению к вертикальной
стене, находящейся на расстоянии L = 15 м. На каком расстоянии от
места удара мяч упадет на землю после упругого соударения со стеной?
Ответ: X = (V02/g - 2L(= 10 м.

4. Диск радиуса R катится по горизонтальной поверхности с
проскальзыванием. Скорость центра диска равна Vo, скорость нижней
точки относительно поверхности равна V1. Где находится мгновенный
центр вращения? Рассмотреть случаи проскальзывания диска назад и
вперед.
Ответ: OX = RVo/(Vo ( V1)

5. Колесо, имеющее в окружности 1 м, двигаясь равномерно с
проскальзыванием, переместилось на расстояние 2 м, совершив при этом 5
оборотов. На каком расстоянии от центра колеса расположена мгновенная
ось вращения?
Ответ: x = S/2(N — 6,4 см.


IV. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ


Задача 1
Тело массы m находится на горизонтальной поверхности. Коэффициент
трения между поверхностью и телом равен (. На тело действует сила F,
приложенная под углом ( к горизонту. Найти ускорение тела.

На примере решения данной задачи рассмотрим применение общего алгоритма
решения задач по динамике материальной точки.

1. Сделать схематический рисунок по условию задачи:
[pic]

2. Нарисовать векторы сил, действующих на данное тело (или тела системы).
При этом необходимо каждой силе сопоставить физическое тело и
взаимодействие, результатом которого является данная сила.
[pic]
Здесь:
mg - сила тяжести (Земля);
N - сила нормального давления (поверхность);
Fтр - сила трения (поверхность);
F - внешняя сила.


3. Записать II закон Ньютона в векторном виде:

ma = mg + N + Fтр + F

4. Выбрать удобную систему координат.

В данном случае - это взаимно-перпендикулярные оси x и y:
[pic]
5. Записать уравнение II-го закона Ньютона в проекциях на выбранные
направления:

OX: ma = - Fтр + F cos( (1)
OY: 0 = - mg + N + F sin( (2)

6. В полученной системе уравнений подсчитать число неизвестных величин и
дополнить систему.

В нашем случае таких величин три: a, Fтр, и N. Если число неизвестных
больше числа уравнений, полученных из II закона Ньютона, необходимо
записать дополнительно недостающее число уравнений. Такими уравнениями
могут быть явные выражения для сил, или связь между силами, или
кинематические связи (т.е. соотношения между ускорениями различных тел,
входящих в систему).
В данной ситуации существует связь между силой
трения и силой нормального давления:
Fтр ( (N (3)

Соотношение (3) включает в себя два различных случая:
а) тело покоится (v = 0, a = 0), сила трения - это сила трения покоя,
и реализуется условие
Fтр ( (N; (3а)
б) тело движется (v ? 0), сила трения - это сила трения скольжения, и
реализуется условие
Fтр = (N. (3б)

7. Решить полученную систему уравнений.

Решение начнем со случая а), т.к. при наличии трения всегда есть такая
область значений внешней силы
( 0 ( F ( Fкр ),
при которых тело будет оставаться в покое.
Система уравнений имеет вид:
0 = - Fтр + F cos( (1a)
0 = - mg + N + F sin( (2)
Решая совместно (1a) и (2) относительно Fтр и N, получаем неравенство (3а)
в виде:
F cos( ( (( mg - (F sin( )
Итак, тело будет покоиться до тех пор, пока
F ( (mg / ( cos( + ( sin( ). (4)
Рассмотрим теперь ситуацию, когда тело движется.
Тогда система с учетом соотношения (3б) принимает вид:
ma = - (N + F cos( (1б)
0 = - mg + N + F sin( (2),
откуда получаем:
a = F ( cos( + ( sin( )/m - (g.

8. Проанализировать полученный ответ.

Из полученного выражения для ускорения видно, что
а ( 0 при значениях внешней силы
F ( (mg / ( cos( + ( sin( )
При F = (mg/(cos( + ( sin() = Fкр ускорение равно нулю (а = 0), но
при этом тело может двигаться с постоянной скоростью (если его толкнуть).
Если F ( Fкр , то, как мы уже показали (4), тело покоится.

9. Записать полученный ответ полностью.

Ответ: a = F (cos( + ( sin()/m - (g
при F ( (mg/(cos( + ( sin()
a = 0
при F ( (mg/(cos( + ( sin().

Примечание к пунктам 8 и 9:

8. Анализ ответа проводится по следующим критериям:
а) проверить размерность полученного выражения;
б) оценить правдоподобие численного значения величины (т.е. скорость
пули не может быть равна 1 см/с, а масса муравья не может быть равна 1кг и
т.д.)
в) проверить, соответствуют ли физической реальности условия, при
которых полученное выражение может обращаться в нуль, менять знак, или
неограниченно возрастать. (Именно эту часть анализа мы и провели в нашем
решении).

9. Полная запись ответа подразумевает запись полученной величины через
данные задачи в буквенном виде (еще говорят «в общем виде»), а также
численное значение полученного результата с указанием размерности.






Задача 2.
Массивный канат лежит на гладком столе. Масса каната М, длина каната L.
К одному из концов каната приложена горизонтальная сила F. Найти силу
натяжения T(x) в сечении каната, отстоящем от этого конца на расстояние x.

[pic]

Сила, приложенная к концу каната, заставляет двигаться весь канат как
одно целое. Это происходит потому, что соседние участки каната
взаимодействуют друг с другом. Возникают силы упругости, препятствующие
удалению соседних участков друг от друга. Разделим мысленно весь канат на
две части - длиной x и (L - x).

[pic]
Силы Т(х), с которыми взаимодействуют два этих участка каната,
противоположны по направлению и равны по величине. Величина каждой из этих
сил и называется силой натяжения в данном сечении.
Рассмотрим кусок каната длины x. Его масса равна
m(x) = (M/L)х,
и он движется с тем же ускорением, что и весь канат, т.е.
a = F/M.
При этом на него действуют две силы: F и T(x).
m(x)•a = F - T(x),
или
(Mx/L)(F/M) = F - T(x),
откуда
T(x) = F (1 - x/L ) = F (1 - x/L).
Из получившегося выражения видно, что сила натяжения в поперечном
сечении каната убывает линейно от значения T = F (при x = 0) до нуля (при x
= L). Заметим при этом, что поскольку силы натяжения являются упругими
силами, то и деформация каната меняется по его длине, убывая линейно от
максимального значения до нуля.
[pic]
Ответ: T(x) = F (1 - x/L ).

Допущение о невесомости нитей.
Во многих задачах, где фигурируют тела, связанные нитью, делается
допущение о невесомости нити. Выясним смысл этого допущения на простом
примере.
[pic]

Два тела, связанные нитью, движутся под действием внешней силы. Т.к.
длина нити в процессе движения не меняется (нить нерастяжима), то, как оба
тела, так и нить движутся с одинаковым ускорением. Пусть T1 - сила,
действующая на нить со стороны правого тела, а T2 - со стороны левого.
[pic]
Уравнение движения нити имеет вид:
ma = T1 - T2,
где m - масса нити.
Если масса нити равна нулю, силы натяжения справа и слева будут
одинаковы. Таким образом, допущение о «невесомости» нити позволяет считать
силу натяжения нити одинаковой по всей ее длине.



Задача 3.
|В системе, изображенной на |[pic] |
|рисунке, найти ускорения грузов,| |
|силу натяжения нити, силу | |
|давления перегрузка на нижний | |
|груз и силу, действующую на ось | |
|блока. Нить невесома и | |
|нерастяжима, блок невесом (т.е. | |
|его масса значительно меньше | |
|масс грузов), трения в оси нет, | |
|и нить не скользит по блоку. | |

Рассмотрим сначала движение тел. Чтобы не загромождать рисунок, просто
перечислим силы, действующие на тела системы:
Mg, mg - силы тяжести;
T - силы натяжения нити;
N - силы взаимодействия перегрузка и нижнего груза.




|Движение грузов происходит |[pic] |
|вдоль нити и каждый груз не | |
|меняет направления своего | |
|движения. Поэтому для записи | |
|уравнений II закона Ньютона в | |
|проекциях удобно задать для | |
|каждого груза положительное | |
|направление движения так, как | |
|показано на рисунке, т.е. в | |
|сторону движения груза с | |
|перегрузком. | |



Тогда уравнения принимают следующий вид:
для левого груза:
Ma = T - Mg
для правого груза:
Ma = Mg - T + N
для перегрузка:
ma = mg - N
Сложим все уравнения.
Для ускорения грузов сразу получаем
a = mg/(2M + m).
При этом
N = 2mMg/(2M + m),
T = 2M(M + m)g/(2M+ m).

Из получившихся выражений видно, что сила давления перегрузка на нижний
груз меньше силы тяжести перегрузка (N < mg), а сила натяжения нити больше
силы тяжести левого груза (T > Mg). Эти соотношения подтверждают
правильность полученного результата, т.к. перегрузок движется с ускорением
а вниз, а левый груз поднимается с ускорением вверх.
Рассмотрим теперь силы, действующие на блок.
[pic]
Вниз на него действует нить с силой, равной 2Т, а вверх действует ось, и,
поскольку блок не движется поступательно, эти силы равны друг другу.
F = 2T = 4M(M + m)g/(2M+ m).

Заметим, что величина массы блока при этом не имеет значения. Величиной
массы блока мы пренебрегли раньше, когда полагали силы натяжения нити
справа и слева от блока равными друг другу.


Ответ: a = mg/(2M + m).
N = 2mMg/(2M + m),
T = 2M(M + m)g/(2M+ m).
F = 4M(M + m)g/(2M+ m).


Задача 4
| Через блок перекинута веревка,|[pic] |
|с одной стороны которой прикреплен | |
|груз массой m, а на другом конце | |
|находится обезьяна массой M, которая | |
|взбирается вверх по веревке с | |
|ускорением ао относительно веревки. | |
|Найти ускорение обезьяны относительно | |
|земли. | |

На тела системы действуют следующие силы.
На обезьяну: Mg - сила тяжести, вниз;
T - сила натяжения веревки, вверх.
На груз: mg - сила тяжести, вниз;
T- сила натяжения веревки, вверх.
Направим ось «у» вверх и запишем уравнения II-го закона Ньютона для тел
системы в проекциях на эту ось.
MA = T - Mg (1)
ma = T - mg , (2)
где а и А - проекции на ось «у» ускорений груза и обезьяны относительно
земли.
Поскольку веревка вместе с обезьяной движется с тем же по величине
ускорением, что и груз, но в противоположном направлении, ускорение
обезьяны относительно земли может быть записано как
А = ао - а (3)
Заметим, что если груз поднимается то а ( 0, если же он опускается, то
а ( 0.
Решив систему уравнений (1 - 3), находим выражение для А:
A = [ mao - (M - m)g]/(M + m).
Из полученного выражения видно, что А ( 0, т.е. обезьяна доберется до
блока, если
ao > (M/m - 1)g . (4)
Это условие означает, что обезьяна всегда будет двигаться вверх
относительно земли, если ее масса меньше массы груза, в остальных случаях
ее ускорение относительно веревки должно удовлетворять условию (4).

Ответ: A = [ mao - (M - m)g]/(M + m).


Задача 5
Доска массы M лежит на гладкой горизонтальной поверхности. На ней
находится брусок массы m, коэф-фициент трения между доской и бруском равен
(.
К бруску привязана нить, за которую тянут с силой F, направленной
параллельно поверхности. При каком значении силы F брусок начнет скользить
по доске?
[pic]

Рассмотрим сначала ситуацию, когда проскальзывание между доской и
бруском отсутствует. В этом случае оба тела движутся как одно целое с
ускорением, которое можно найти из II закона Ньютона:
( M + m )a = F,
a = F/(M + m) (1)
При этом движение бруска с ускорением а происходит под действием сил F
и Fтр , а движение доски только под действием силы Fтр

[pic]
Запишем уравнение II-го закона Ньютона для бруска:
ma = F - Fтр.
Из этого уравнения находим для величины силы трения:
Fтр = FM/(M + m) (2)
Из полученного соотношения видно, что сила трения между бруском и
доской, обеспечивающая движение этих двух тел как целого, должна расти с
ростом силы F. Однако значения силы трения ограничены соотношением
Fтр ( (N,
или, для данного случая
Fтр ( (mg (3)
Из соотношений (2) и (3) получается, что проскальзывание между телами
отсутствует до тех пор, пока значение силы F не превысит критическое
значение Fкр:
F ( (mg(M + m)/M = Fкр
Таким образом, брусок начнет скользить по доске, когда величина силы F
достигнет значения
Fкр = (mg (1 + m/М )

Ответ: Fкр = (mg(1 + m/М)


Задача 6
| Небольшое тело массы m |[pic] |
|находится на внутренней | |
|поверхности полусферы радиуса | |
|R, вращающейся вокруг | |
|вертикальной оси с угловой | |
|скоростью (. Найти, при каких | |
|значениях коэффициента | |


трения ( тело не соскальзывает вниз. Угол между осью и радиусом,
проведенным в точку нахождения тела, равен (.
Изобразим на чертеже все силы, действующие на тело массы m:
|[pic] | |
| |mg - сила тяжести; |
| |N - сила нормального |
| |давления со стороны |
| |поверхности; |
| |Fтр - [pic] сила трения |
| |между телом и поверхностью. |


Поскольку тело не скользит по поверхности сферы, оно имеет то же
ускорение, что и та точка поверхности сферы, в которой оно находится. Это
ускорение -центростремительное, оно направлено к оси вращения и равно
a = (2 R sin(.
Запишем II закон Ньютона в векторном виде:
ma = mg + N + Fтр

Для записи уравнения в проекциях на оси координат выберем два взаимно
перпендикулярных направления: одно вдоль радиуса к центру сферы, а другое -
по касательной к поверхности сферы в плоскости чертежа, как показано на
рисунке.

[pic]
Обозначим эти направления ( и (. Два этих направления не являются осями
декартовой системы координат, т.к. их положение в пространстве все время
меняется. Однако взаимное расположение векторов сил остается неизменным по
отношению к выбранным нами направлениям. (Заметим, что выбор указанных
направлений не означает, что мы переходим во вращающуюся систему отсчета).
Уравнения II закона Ньютона в проекциях на выбранные направления принимают
вид:
Ось (: ma sin( = N - mg cos( (1)
Ось (: - ma cos( = Fтр - mg sin( (2)
Условие отсутствия скольжения:
Fтр ( ( N (3)
Выразив из первых двух уравнений N и Fтр и подставив их в уравнение (3),
получим:
m(gsin( - (2Rsin( cos() ( (m(g cos( + (2R sin2(),
или
( ( ( g - (2R cos( )sin(/(g cos( + (2R sin2()

При (2R = g/cos( небольшое тело может удерживаться и внутри гладкой сферы (
( = 0).

Ответ: ( ( ( g - (2R cos( )sin(/(g cos( + (2R sin2()


Задача 7
Тело массой m находится на поверхности Земли на широте (. Считая форму
Земли шарообразной, найти полную силу взаимодействия тела с поверхностью
Земли.

Изобразим положение тела в плоскости меридиана, проходящего через точку
нахождения тела.
[pic]
Поскольку тело вместе с точками земной поверхности участвует в суточном
вращении Земли, оно имеет ускорение, направленное к точке О1 на оси
вращения, и равное
aц = (2 R cos(.
Рассмотрим теперь силы, действующие на тело.

[pic]

Со стороны Земли на тело действует гравитационная сила, направленная к
центру Земли:
Fгр = (mMЗ/R2,
где ( - гравитационная постоянная.
Со стороны поверхности Земли на тело действуют две силы -
перпендикулярная поверхности (т.е. направленная по радиусу от центра) N и
параллельная поверхности Q. Если бы сила Q отсутствовала, ускорение тела не
было бы направлено к точке O1, и тело двигалось бы по земной поверхности к
экватору.
Запишем II закон Ньютона для тела, неподвижного относительно
поверхности Земли:
maц = Fгр + N + Q
Для записи уравнений в проекциях выберем два направления: ось (,
направленную к центру Земли, и ось (, направленную вдоль поверхности в
плоскости меридиана.
Тогда уравнения в проекциях принимают вид:
Ось (: ma( = Fгр - N
Ось (: ma( = Q
Запишем проекции ускорения в явном виде:
m(2 R cos( sin( = Q
m(2 R cos2( = Fгр - N
Из уравнений получим:
Q = m(2 R cos( sin(
N = Fгр - m(2 R cos2(
Полная сила взаимодействия тела с поверхностью Земли равна
Р = (N2 + Q2)1/2
и направлена под небольшим углом ( к направлению радиуса:
tg( = Q/N = ((2 R cos( sin()/((MЗ /R2 - (2 R cos2().
[pic]
Если тело подвесить на нити в данной точке земной поверхности, то роль
силы Р будет играть сила натяжения нити. Другими словами, величина силы Р
равна весу тела на данной широте, а ее направление есть направление
вертикали в данной точке земной поверхности, т.к. вертикалью принято
называть направление нити отвеса.
Если мы хотим, чтобы тело покоилось на гладкой подставке, мы должны
расположить подставку перпендикулярно направлению силы Р, т.е.
горизонтально. В этом случае со стороны подставки сила действует только по
нормали к ее поверхности.
Из выражения для tg( видно, что максимальное значение угол ( принимает
на широте ( = 45о, а на экваторе и на полюсе направление вертикали
совпадает с направлением к центру Земли.

Сделаем численные оценки величины угла (. Для этого примем:
( = 2(/Т,
Т = 24 часа = 86 400 с ( 8,6 (104с
R ( 6 400 км = 6,4ћ106м
(MЗ /R2 ( g ( 9,8 м/с2.
Тогда для широты ( = 60о получаем
tg( ( 1,5ћ10-3
( ( tg( ( 1,5ћ10-3 рад ( 5(,
а максимальное значение угла ( на широте ( = 45о равно
(max ( 1,7ћ10-3 рад ( 6( .
Вследствие малости величины угла ( силу Р можно считать примерно
равной силе N , если точность наших вычислений невысока.
N = Fгр - m(2 R cos2( , (*)
где сила гравитационного взаимодействия Fгр = (mMЗ /R2 .
Поскольку, как уже было сказано, нить подвеса действует на висящее тело
с силой Р, при обрыве нити тело будет двигаться с ускорением свободного
падения, величину которого в соответствии с выражением (*) можно записать
как:
g = gгр - (2 R cos2(,
где gгр = (MЗ /R2
При более точных вычислениях ускорения свободного падения необходимо
учитывать не только вращение Земли, но и отклонение формы Земли от
шарообразной, и высоту данной точки над уровнем моря, и плотность пород,
залегающих непосредственно под поверхностью. Учетом всех этих факторов
занимается специальная отрасль науки, именуемая гравиметрия.

Ответ: Р = (N2 + Q2)1/2, где
Q = m(2 R cos( sin(
N = (mMЗ /R2 - m(2 R cos2(

Задача 8
|Тело, подвешенное к потолку на |[pic] |
|пружине, удерживают с помощью | |
|подставки, так что пружина не | |
|деформирована. Затем подставку | |
|начинают опускать вниз с постоянным| |
|ускорением a. Через какое время ( | |
|тело оторвется от подставки? Масса | |
|тела m, жесткость пружины k. | |

Пока тело движется вместе с подставкой, оно имеет ускорение подставки
а, и на него действуют три силы (не будем их изображать в виде векторов,
чтобы не загромождать чертеж):
mg - сила тяжести, вниз;
F - сила упругости со стороны пружины, вверх;
N - сила нормального давления со стороны подставки, вверх.
Запишем уравнение II закона Ньютона в проекциях на ось, направленную
вертикально вниз:
ma = mg - F - N (1)
Сила упругости пружины возрастает по мере растяжения пружины:
F(x) = kx,
где x - растяжение пружины и, в то же время, перемещение тела.
Сила взаимодействия тела с подставкой, напротив, убывает по мере растяжения
пружины, что видно из (1):
N(x) = mg - ma - kx. (2)
Когда величина силы N станет равной нулю, тело перестанет
взаимодействовать с подставкой, и дальше движение тела и подставки будут
происходить независимо друг от друга. В этот момент растяжение пружины (и
перемещение тела) будет равно
xотр = (mg - ma)/k;
Поскольку все это время движение происходило с постоянным ускорением,
время отрыва тела от подставки легко найти из соотношения:
xотр = a(2/2 ,
откуда
( = [ 2m (g - a)/ka]1/2.

Ответ: ( = [ 2m(g - a)/ka]1/2.


Задача 9
Автомобиль со всеми ведущими колесами трогается с места и равномерно
набирает скорость, двигаясь по горизонтальному участку дороги,
представляющему собой дугу окружности ( = 30о радиусом R = 100 м. С какой
максимальной скоростью автомобиль может выехать на прямой участок пути?
Коэффициент трения колес о землю ( = 0,3.

Прежде, чем решать данную задачу, выясним, какую роль играют силы
трения при движении автомобиля. При соприкосновении вращающегося колеса с
поверхностью земли возникает сила трения, препятствующая проскальзыванию
нижней точки колеса относительно земли, т.е. сила трения покоя.
[pic]
Именно эта сила и обеспечивает разгон автомобиля при работающем
двигателе. Эта сила тем больше, чем больше коэффициент трения и чем больше
сила нормального давления со стороны поверхности земли. Автомобилисты
говорят при этом о хорошем или плохом «сцеплении» колес с дорогой. Если
сцепление плохое, колеса начинают скользить и автомобиль идет «юзом», т.е.
теряет управляемость. Все выше перечисленное относилось к силе сухого
трения скольжения. Однако, помимо этого, во время движения на автомобиль
действуют и силы трения, мешающие движению - это сила трения качения и сила
сопротивления движению со стороны воздуха. Когда автомобиль движется с
постоянной скоростью, энергия топлива расходуется на преодоление
сопротивления и переходит в различные виды внутренней энергии.
Будем считать, что в ситуации, описанной в условии, силы сопротивления
не оказывают существенного влияния на движение автомобиля
В нашей задаче речь идет о разгоне автомобиля при движении по
криволинейному участку траектории. При этом сила трения покоя должна
обеспечить автомобилю как касательное, так и центростремительное ускорения.

Представим силу трения покоя Fтр как векторную сумму двух взаимно
перпендикулярных составляющих: F( и Fn - параллельной и перпендикулярной
вектору скорости соответственно (на рисунке изображен «вид сверху»).
[pic]
По мере движения автомобиля по дуге с постоянным ускорением величина
силы F( остается постоянной, а величина силы Fn должна возрастать, чтобы
обеспечить необходимое центростремительное ускорение:
F( = ma(;
Fn = mv2/R.
Из кинематических соотношений следует:
v2 = 2a( L,
где L - длина пути, пройденного автомобилем вдоль дуги, откуда
a( = v2/2L/
При выезде на прямой участок скорость автомобиля достигнет
максимального значения vm , а длина пройден-ного пути будет равна L = ( R.
[pic]
При этом величина силы трения покоя, обеспечившая автомобилю
необходимое ускорение, достигает значения Fmax, определяемого уравнением:
Fmax2 = F( 2 + Fn2 = (mvm2/2(R)2 + (mvm2/R)2
. Однако сила трения покоя не может превышать значения (N , в данном
случае
Fmax ( (mg,
откуда получается ограничение на значение максимальной скорости:
vm2 ( 2((gR/(4(2 + 1)1/2.
Подставляя численные значения величин (( = (/6), получим, что скорость,
с которой автомобиль может выехать на прямой участок дороги, не превышает
значения vm ( 14,7 м/с.
Заметим, что на прямом участке дороги сила трения меняет свое
направление и может обеспечить автомобилю значительно большее значение
ускорения вдоль направления движения.

Ответ: vm ( ( 2((gR/(4(2 + 1)1/2(1/2 ( 14,7 м/с.








Задача 10
Тело массой m находится на наклонной плоскости, угол наклона которой
может меняться от 0 до (/2. Найти силу трения как функцию угла (, если
коэффициент трения равен (.

Будем решать задачу в соответствии с алгоритмом. Нарисуем картинку,
обозначим силы, действующие на тело, и выберем удобную систему координат:
[pic]
Запишем уравнение II закона Ньютона в проекциях на оси xy
Ox: ma = mgsin( - Fтр
Oy: 0 = N - mgcos(.
Дополним систему уравнений соотношением между силой трения и силой
нормального давления:
Fтр ( (N (*)
Соотношение (*) предполагает, что могут реализоваться две ситуации.

I. Тело покоится, а = 0. При этом сила трения - это сила трения покоя.
0 = mgsin( - Fтр
0 = N - mgcos(.
Итак, если тело покоится на наклонной плоскости, для силы трения покоя
справедливо равенство:
Fтр = mgsin(.


Эта ситуация реализуется, если выполняется условие
Fтр ( (N
или mgsin( ( (mgcos(.
Отсюда следует, что при увеличении угла ( тело будет оставаться в покое до
тех пор, пока tg( ( (.
II. Рассмотрим теперь ситуацию, когда тело движется по наклонной
плоскости с ускорением. При этом сила трения - сила трения скольжения,
которая равна
Fтр = (N = (mgcos(.
Очевидно, эта ситуация реализуется, когда
mgsin( ( Fтр,
или mgsin( ( (mgcos(, т.е. при tg( ( (.
При этом ускорение тела равно
а = g(sin( - (cos(),
Окончательно получаем следующий результат.
При ( ( arctg( тело покоится и сила трения покоя равна
Fтр = mgsin(.
При ( ( arctg( тело движется с ускорением и сила трения скольжения равна
Fтр = (mgcos(.
Когда (кр = arctg(, ускорение тела равно нулю (а = 0). При этом тело может
двигаться вниз с постоянной скоростью (если его толкнуть).
Полученный результат может быть представлен и графически:
[pic]

Задачи для самостоятельного решения.

1. Доска массы M лежит на гладкой горизонтальной поверхности. На ней
находится брусок массы m. К доске привязана нить, за которую тянут с
силой F, направленной вдоль поверхности. Коэффициент трения между доской
и бруском равен (. При каких значениях силы F брусок будет скользить по
доске?
Ответ: F ™ ?(m + M)g

|2. По гладкой наклонной |[pic] |
|плоскости, движущейся | |
|вправо с ускорением a, | |
|скользит брусок массой m. | |
|Найти ускорение бруска | |


относительно земли и силу давления бруска на плоскость.
Ответ: ao = sin(((a2 + g2)1/2;
N = m(g cos( + a sin().

. 3. Чтобы удерживать брусок на наклонной плоскости с углом наклона (,
надо приложить силу F1, направленную вверх вдоль наклонной плоскости, а
чтобы втаскивать его вверх с постоянной скоростью, надо приложить силу F2
в том же направлении. Найти коэффициент трения тела о плоскость.
Ответ: ? = [pic]tg?
4. Конический маятник, представляет собой шарик, повешенный к потолку на
нити и движущийся по окружности в горизонтальной плоскости. Масса шарика
m, длина нити L, угол отклонения нити от вертикали (. Найти угловую
скорость вращения шарика по окружности и силу натяжения нити.
Ответ: ? = (g/Lcos?)1/2
T = mg/cos?