Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.phys.msu.ru/upload/iblock/c20/2010-00-00-rodchenko.pdf Дата изменения: Mon Mar 22 11:31:49 2010 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:00:17 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: экваториальная система координат

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В. ЛОМОНОСОВА ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

Родченко Егор Дмитриевич

НЕКОТОРЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ФОРМАЛИЗМОМ ЭРНСТА

Специальность 01.04.02 теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук

Москва 2010


Работа выполнена на кафедре квантовой статистики и теории поля Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физикоматематических наук Манько Владимир Семенович

Официальные оппоненты:

доктор физикоматематических наук профессор член-корр. РАН Боголюбов Николай Николаевич (МИРАН им. В.А.Стеклова) доктор физикоматематических наук профессор Кротов Сергей Сергеевич (МГУ имени М.В.Ломоносова)
Ведущая организация:

Лаборатория теоретической физики им. Н.Н.Боголюбова Объединенного института ядерных исследований (г. Дубна)

Защита состоится

22 апреля

2010 г. в

17 час. 00 мин.

на за-

седании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Воробьевы горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, физический факультет, Северная физическая аудитория. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова. Автореферат разослан 12 марта 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.002.10 профессор Ю.В. Грац


ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Формализм Эрнста, позволивший впервые

записать в простом и компактном виде самосогласованную систему уравнений ЭйнштейнаМаксвелла для стационарного осесимметричного электровакуумного случая, сыграл важнейшую роль в последующей разработке различных методов генерирования точных решений полевых уравнений на основе углубленного изучения их внутренних симметрий. Генерационные методы существенно пополнили арсенал физически интересных точных моделей ОТО как в плане описания внешних полей вокруг астрофизически значимых изолированных объектов, например, нейтронных звезд, так и в более широком плане описания многокомпонентных систем. Последние системы привлекают в настоящее время все большее внимание исследователей, поскольку дают возможность изучения нелинейного взаимодействия источников аналитическими методами. Однако уже в случае бинарных конфигураций имеются трудности как получения подходящего точного решения для их описания, так и их последующего физического анализа. Это объясняется тем, что, к примеру, общие точные решения для двух заряженных черных дыр могут быть построены только с помощью интегрального метода, разработанного в 1984 г. профессором МГУ Н.Р. Сибгатуллиным и значительно позднее других методов взятого на вооружение отечественными и зарубежными учеными, а также математическими трудностями получения подходящих физических представлений рассматриваемых моделей. В связи с этим выбор темы диссертации представляется актуальным, поскольку, помимо новых приложений формализма Эрнста и метода Н.Р. Сибгатуллина, в

3


работе существенное внимание уделяется физической интерпретации рассматриваемых решений и поиску их удачных физических представлений.
Целью работы является:

Вывод в рамках формализма Эрнста простой формулы для вектора Пойнтинга и ее применение к анализу эффекта увлечения системы отсчета заряженным массивным магнитным диполем. Получение общих условий на осевые значения потенциалов Эрнста, определяющие подкласс экваториальноантисимметричных пространств расширенного многосолитонного решения. Построение двух новых экваториальноантисимметричных метрик для описания одинаковых противоположно вращающихся заряженных и намагниченных источников, и аналитическое решение задачи равновесия в полученных бинарных моделях. Вывод физического представления решения для двух одинаковых керровских черных дыр с противоположными угловыми моментами. Демонстрация возможности образования черной дыры Керра из двух струнообразных нутовских источников.
Научная новизна результатов состоит в следующем:

Проведена ревизия формализма Эрнста с учетом правильного знака электрической компоненты электромагнитного 4потенциала. Это позволило впервые получить простую формулу для вектора Пойнтинга в случае стационарных осесимметричных электровакуумных полей. Получены условия, определяющие подкласс экваториальноантисимметричных решений расширенного многосолитонного решения

электровакуума. Построены две новые метрики, обладающие эквато-

4


риальной антисимметрией, и для каждой из них в аналитическом виде решена задача равновесия. Впервые найдено физическое представление для простейшей системы, описывающей две черные дыры Керра, рассмотрены ее термодинамические характеристики, а также найден вид решения в предельном случае экстремальных вращающихся источников. На примере точной модели, описывающей нелинейную суперпозицию двух решений НУТ, показана возможность образования черной дыры Керра из пары струнообразных нутовских источников.
Личный вклад автора. Основные результаты диссертации, при-

водимые ниже, получены автором диссертации лично.
Научная и практическая ценность. Работа имеет теорети-

ческий и практический интерес, поскольку полученные в ней точные решения вносят весомый вклад в изучение экваториально

антисимметричных пространств, а полученная формула для вектора Пойнтинга существенно облегчает анализ эффекта увлечения в решениях электровакуума. Рассмотреные решения могут быть также использованы в качестве затравочных полей для изучения более общих физических моделей, например, в дилатонной или многомерной гравитациях.
Научные положения, выносимые на защиту, содержатся в

списке основных результатов, который приводится в заключении диссертационной работы.
Апробация работы. Результаты исследований, представленные в

диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры квантовой статистики и теории поля МГУ им. М.В.Ломоносова,

5


на 7ой Мексиканской школе по гравитации и математической физике (Плайа дель Кармен, Мексика, 2006), Лондонском семинаре по относительности и космологии (Колледж королевы Марии, Англия, 2008), Испанской гравитационной конференции (Саламанка, Испания, 2008), минисимпозиуме Нелинейные процессы: теория и приложения (Толука, Мексика, 2009).
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в пя-

ти статьях, опубликованных в реферируемых журналах. Их список приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения,

трех глав, заключения и списка литературы. Полный объем работы 100 страниц машинописного текста, включая 3 рисунка. Библиография содержит 97 наименований.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор различных методов генерирования точных решений уравнений ЭйнштейнаМаксвелла и некоторых важных результатов, полученных с их помощью, определяется историческое место интегрального метода Сибгатуллина как подхода, основанного на общем преобразовании внутренней симметрии уравнений Эрнста. Формулируются основные цели работы и обосновывается актуальность выбранной темы. Первая глава, состоящая из трех разделов, имеет целью подробную ревизию формализма Эрнста и описание метода Сибгатуллина построения точных решений уравнений Эрнста. В разделе 1.1 дается вывод полной системы уравнений ЭйнштейнаМаксвелла в стационарном осесимметричном электровакуумном случае, описываемом метри-

6


кой Папапетру, причем для электрической компоненты электромагнитного 4потенциала с самого начала выбирается правильный знак. В разделе 1.2 рассмотрен формализм Эрнста сведения четырех уравнений ЭйнштейнаМаксвелла к двум нелинейным дифференциальным уравнениям 2го порядка для пары комплексных потенциалов Эрнста

E

и

,

зависящих только от двух координат



и

z

, а также даны приме-

ры некоторых простейших преобразований симметрии для уравнений Эрнста. Основная схема метода Сибгатуллина построения потенциалов

E

и

,

удовлетворяющих уравнениям Эрнста, по их значениям

на оси симметрии

e(z ) E ( = 0, z ) e(z )

и и

f (z ) ( = 0, z ) f (z )

приведена

в разделе 1.3 для случая, когда

являются рациональны-

ми функциями. Здесь же показано, как найти метрическую функцию



из интегральных формул, а не из дифференциальных уравнений,

связывающих



с потенциалами

E

и

.

Во второй главе на базе расширенного четырехсолитонного электровакуумного решения рассматриваются две бинарные модели, антисимметричные относительно экваториальной плоскости, а также выводятся условия на параметры многосолитонного решения, характеризующие подкласс экваториальноантисимметричных метрик. В разделе 2.1 методом Сибгатуллина строится явный вид потенциалов Эрнста четырехсолитонного решения и полный набор соответствующих метрических функций, входящих в стационарный осесимметричный интервал Папапетру. Определители 5го и 6го порядков, через которые записано четырехсолитонное решение, затем раскрываются с помощью правила Лапласа для дальнейшего использования полученных выражений при разработке конкретных частных случа-

7


ев, что предполагает при проведении расчетов серьезное применение компьютерных программ аналитических вычислений. Раздел 2.2 посвящен установлению вида потенциалов Эрнста на оси симметрии в экваториальносимметричном и антисимметричном случаях расширенного многосолитонного решения, определяемого осевыми выражениями

e(z ) =
где

zN + zN +

N N -l l=1 al z N N -l l=1 bl z

,

f (z ) =

zN +

N N -l l=1 cl z N N -l l=1 bl z

,

(1)

al , bl , c

l

3N

произвольных комплексных параметров. Применяя

теорему ЭрнстаМанькоРуиза к данным (1), показывается в частности, что подкласс экваториальноантисимметричных солитонных решений характеризуется следующими ограничениями на параметры:

al = (-1)l bl ,

cl

(-1)l+1 cl = 0,

l = 1, ..., N .

(2)

В разделе 2.3 рассмотрена модель двух противоположно вращающихся заряженных источников типа КерраНьюменаНУТ, характеризуемая осевыми значениями потенциалов Эрнста вида

e(z ) =

(z - m - i )2 - (k + ia)2 , (z + m + i )2 - (k + ia)2

f (z ) =

2(q + ib)z , (z + m + i )2 - (k + ia)2
(3) и

где шесть действительных параметров

m, a, q , b,

k

связаны со

следующими физическими характеристиками источников: масса, угловой момент на единицу массы, электрический и магнитный заряды, параметр НУТ и расстояние между компонентами бинарной системы. В сравнении с известным решением БретонМанько, данные (3) дополнительно содержат параметр НУТ и магнитный заряд (параметр

b).

Для осевых данных (3) получен вид потенциалов Эрнста во всем

8


пространстве и найдены соответствующие им метрические функции из интервала Папапетру. Для полученной бинарной модели рассмотрена задача равновесия двух источников. Условие отсутствия конических особенностей на участке оси симметрии, разделяющем источники, сводится к требованию

= 0, = 0

на этом участке, и данная система

уравнений может быть решена аналитически, приводя к следующему условию равновесия:

m2 + 2 - q 2 - b2 = 0,
обобщающему условие

(4)

m2 = q

2

, которое определяет равновесие в

известных решениях МаджумдараПапапетру и ПерьешаИзраэля Вильсона. Модель для двух одинаковых противоположно вращающихся намагниченных масс построена и проанализирована в разделе 2.4. Эта модель определяется следующими значениями потенциалов Эрнста на оси симметрии:

(z - m)2 - (k + ia)2 e(z ) = , (z + m)2 - (k + ia)2

f (z ) =

2ib , (z + m)2 - (k + ia)2
и

(5)

где физическое значение параметров (3), а действительная постоянная

m, a

k

такое же, как и в

b

описывает магнитный дипольный

момент системы. Как и в предыдущем случае, по данным (5) найден вид потенциалов Эрнста во всем пространстве и получены выражения всех метрических функций. Задача равновесия для этой модели также может быть решена в аналитическом виде, причем равновесные конфигурации без подпорок оказываются невозможными ни при каких значениях параметров модели. Третья глава состоит из четырех разделов, которые посвящены двум специальным бинарным вакуумным моделям и выводу форму-

9


лы для вектора Пойнтинга с последующим ее применением к эффекту увлечения системы отсчета. Основной целью раздела 3.1 является получение физического представления для простейшего решения, описывающего бинарную систему двух вращающихся черных дыр. Для ее реализации используется частный вакуумный случай метрики БретонМанько, а также один из результатов, полученный в 1998 году Г.Г. Варзугиным для двойного решения Керра. Тогда удается сначала получить репараметризованное значение потенциала Эрнста на оси симметрии в форме

z 2 - 2M z - ( 1 R + M - ia)2 ч 2 e(z ) = 2 , 1 z + 2M z - ( 2 R + M - ia)2 ч
где

ч :=

R - 2M , R + 2M a

(6)

M

комаровская масса каждой черной дыры Керра,

комаров-

ский угловой момент на единицу массы нижней компоненты (угловой момент верхней компоненты при этом равен

-M a

), а затем восста-

новить потенциал Эрнста во всем пространстве и построить соответствующие метрические функции в простом виде, очень удобном для анализа физических свойств полученного решения. В рамках найденного физического представления удалось получить простые формулы для площади горизонта и угловой скорости горизонта каждой отдельной черной дыры, а также для такой важной физической характеристики субэкстремального источника как поверхностная гравитация. В предельном случае двух экстремальных черных дыр Керра с противоположными угловыми моментами вид потенциала Эрнста и всех метрических функций еще больше упрощается, и для каждой компоненты имеет место неравенство

a2 > M

2

, которое заменяет равенство

a2 = M

2

, характеризующее изолированную экстремальную черную

дыру Керра. В разделе 3.2 продемонстрирована возможность образо-

10


вания черной дыры Керра из двух струнообразных источников НУТ. Для этого сначала строится нелинейная суперпозиция двух нутовских источников, а затем указывается конкретный выбор параметров решения, при котором происходит переход к метрике Керра. В разделе 3.3 результаты, полученные в первой главе, используются для вывода простой формулы, которая определяет единственную ненулевую компоненту вектора Пойнтинга в стационарном осесимметричном электровакуумном случае:

S=


f e-2 ? Im(, ,z ). 4

(7)

Формула (7) содержит только производные электромагнитного потенциала Эрнста

,

и в нее не входит метрическая функция

, по-

строение которой всегда сопряжено с наибольшими вычислительными трудностями. Замечательным свойством полученной формулы для является ее инвариантность относительно дуальных вращений

S





exp(i), = const

. В разделе 3.4, завершающем третью главу, с по-

мощью формулы (7) продемонстрирован эффект Боннора увлечения системы отсчета заряженным массивным магнитным диполем на примере двух известных точных решений; при этом, поскольку второе решение записано в вытянутых эллипсоидальных координатах, в этих же координатах дополнительно получен и вид формулы (7). В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации. Они сводятся к следующим: 1. Проведена детальная ревизия формализма Эрнста сведения стационарной аксиальносимметричной задачи электровакуума к двум дифференциальным уравнениям для пары комплексных потенциалов, исходя непосредственно из самосогласованной системы уравне-

11


ний ЭйнштейнаМаксвелла и метрики Папапетру с использованием правильного знака для электрической компоненты электромагнитного 4потенциала. 2. С помощью интегрального метода Сибгатуллина в явном виде построены две новые метрики, обладающие экваториальной антисимметрией и описывающие противоположно вращающиеся заряженные массивные источники. В общем случае многосолитонного решения получены условия на параметры, характризующие подкласс экваториально антисимметричных метрик. 3. В аналитическом виде решена проблема равновесия для построенных пространстввремен. В случае обобщения метрики Бретон Манько получено условие равновесия вида

m2 + 2 = q 2 + b2

, кото-

рое обобщает аналогичное условие равновесия в известных решениях МаджумдараПапапетру и ПерьешаИзраэляВильсона. В другом случае, описывающем две противоположно вращающиеся намагниченные массы, строго показано отсутствие равновесных состояний между компонентами. 4. Получено физическое представление решения для двух противоположно вращающихся черных дыр Керра и продемонстрирована справедливость массовой формулы Смарра для каждой из компонент. Построен предельный случай этого решения, описывающий конфигурацию двух экстремальных керровских источников, и показано, что равенство

a2 = M

2

, имеющее место в случае изолированной экстре-

мальной черной дыры Керра, для неизолированного экстремального керровского источника переходит в неравенство

a2 > M

2

.

5. На основании точного решения, описывающего нелинейную су-

12


перпозицию двух источников НУТ, продемонстрирована возможность образования черной дыры Керра из пары струнообразных объектов. 6. Для случая стационарных осесимметричных пространств получена простая формула для вектора Пойнтинга, которая, благодаря применению формализма Эрнста, не содержит метрическую функцию



.

Эта формула включает только производные электромагнитного потенциала Эрнста вращений янная. 7. Полученная формула для вектора Пойнтинга с успехом применена к двум точным решениям, описывающим внешнее поле статической заряженной и намагниченной массы. Она позволила продемонстрировать аналитически, что эффект Боннора увлечения системы отсчета заряженным магнитным диполем объясняется потоком энергии в азимутальном направлении, описываемым соответствующей компонентой вектора Пойнтинга.



и является инвариантной относительно дуальных где

exp(i),



произвольная действительная посто-

Список опубликованных работ

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах: [1] Manko V.S., Ro dchenko E.D., Sadovnikov B.I., So dHos J. The Poynting vector of axistationary electrovac spacetimes reexamined // Class. Quantum Grav., 23 (2006) 52895395. [2] So dHos J., Ro dchenko E.D. On the prop erties of the Ernst MankoRuiz equatorially antisymmetric solutions // Class. Quantum Grav., 24 (2007) 46174629.

13


[3] Manko

V.S.,

Ro dchenko

E.D.,

Ruiz

E.,

Sadovnikov

B.I.

Exact

solutions for a system of two counterrotating black holes // Phys. Rev. D, 78 (2008) 124014-14. [4] Manko V.S., Ro dchenko E.D., Ruiz E., Sadovnikov B.I. On the simplest binary system of rotating black holes // AIP Conf. Pro c.,
1122 (2009) 332335.

[5] Манько В.С., Родченко Е.Д., Руиз Э., Садовникова М.Б. Возникновение керровской черной дыры из двух струнообразных объектов НУТ // Вестник Моск. Университета, Физика, 4 (2009) 35.

14