Портал | Содержание | О нас | Авторам | Новости | Первая десятка | Дискуссионный клуб | Научный форум | Отправить открытку

Если бы мы всегда подражали в технологии Западу, Гагарин никогда бы не стал первым.

Города A, B, C, D и E расположены друг за другом по шоссе на расстоянии 5 км друг от друга. Автобус курсирует по шоссе от города A до города E и обратно. Автобус расходует 20 литров бензина на каждые 100 километров. В каком городе кончится бензин у автобуса, если вначале в его баке было 150 литров бензина?

Найдем сначала расстояние, которое проедет автобус. У него в баке 150 литров бензина, расход бензина составляет 20 литров на 100 км, значит, автобус сможет проехать 150 " 100/20 км, то есть 750 км. Проехав 40 км, автобус доезжает от города А до города Е и возвращается обратно в А. Значит, проехав 40, 80, 120, _, 680, 720 км, автобус окажется снова в городе А. Проехав 740 км, он окажется в городе Е, а значит, проехав 750 км, он окажется в городе С, где у него и закончится бензин.

Ответ: в городе С.

ЗАДАЧА 2

Найдите минимальное четырехзначное число, произведение всех цифр которого равно 729. Ответ объясните.

Заметим, что 729 = 9 " 9 " 9 и произведение цифр числа 1999 равно 1 " 9 " 9 " 9 = 729. Докажем, что 1999 - искомое число. Любое четырехзначное число, меньшее или равное 1999, имеет вид 1klm, где каждая из цифр k, l и m не превосходит 9. Значит, произведение его цифр 1 " k " l " m # 1 " 9 " 9 " 9 = 729. Равенство достигается, только если k = 9, l = 9 и m = 9, то есть для числа 1999.

Ответ: 1999.

ЗАДАЧА 3

На параде солдаты выстроены в две шеренги одинаковой длины, причем в первой шеренге расстояние между соседними солдатами на 20% больше, чем во второй (между соседними солдатами в одной шеренге одинаковое расстояние). Сколько солдат в первой шеренге, если во второй шеренге 85 солдат?

Обозначим через x расстояние между соседними солдатами во второй шеренге. Тогда расстояние между соседними солдатами в первой шеренге на 20% больше, то есть 1,2x. Обозначим через N количество солдат в первой шеренге. Тогда в этой шеренге N - 1 промежуток между солдатами. Запишем условие того, что обе шеренги имеют одинаковую длину:

(N - 1) " 1,2x = (85 - 1) " x.

Решая это уравнение, получаем, что

N = 84 " 5/6 + 1 = 5 " 14 + 1 = 71.

Ответ: в первой шеренге 71 солдат.

ЗАДАЧА 4

Про три числа известно, что сумма любых двух из них не меньше удвоенного третьего числа, а сумма всех трех равна 300. Найдите все тройки таких (не обязательно целых) чисел.

Докажем, что все эти числа равны. Предположим обратное, то есть какие-то два из этих чисел различны. Возьмем наибольшее из этих трех чисел. Оно строго больше по крайней мере одного из оставшихся чисел и не меньше другого. Тогда удвоенное наибольшее число больше суммы двух других чисел. А это противоречит условию, что сумма любых двух из этих чисел не меньше удвоенного третьего. Значит, все эти числа равны. Поскольку они в сумме составляют 300, то каждое из чисел равно 100.

Ответ: 100, 100, 100.

ЗАДАЧА 5

Турист набирает два бака воды, используя два шланга. Из первого шланга в минуту вытекает 2,9 литра воды, из второго - 8,7 литра. В тот момент, когда меньший бак наполнился до половины, турист поменял шланги местами, после чего оба бака заполнились одновременно. Какова емкость бЧльшего бака, если емкость меньшего - 12,5 литра?

Заметим, что в условии не сказано, какой шланг, "быстрый" или "медленный", изначально находился в каком баке. Но при любом порядке наполнения баков бЧльший бак наполнялся из каждого шланга столько времени, за сколько в меньший бак втекала вода, объем которой равен половине емкости меньшего бака. Поэтому при любом порядке наполнения получится один и тот же ответ.

Пусть сначала меньший бак наполнялся из первого ("медленного") шланга. Найдем время, которое прошло до того, как турист поменял шланги. Обозначим его t. За это время со скоростью 2,9 литра в минуту в меньший бак влилось 6,25 литра. Значит, t = 6,25/2,9. За это время бЧльший бак наполнился на t " 8,7 = 8,7 i i 6,25/2,9 = 18,75 литра.

Найдем время, которое прошло после того, как турист поменял шланги. Обозначим его k. За это время со скоростью 8,7 литра в минуту в меньший бак влилось 6,25 литра, после чего оба бака наполнились. Значит, k = 6,25/8,7. За это время бЧльший бак наполнился на k " 2,9 = 2,9 " 6,25/8,7 = 6,25/3 литра. Таким образом, емкость бЧльшего бака равна 18,75 + 6,25/3 = литра.

Ответ: л.

ЗАДАЧА 6

Можно ли на плоскости отметить 6 точек и соединить их непересекающимися отрезками (с концами в этих точках) так, чтобы из каждой точки выходило ровно по четыре отрезка?

Такое расположение точек и отрезков возможно. Например, их можно расположить так, как показано на рисунке 1.

Ответ: да, возможно.

ЗАДАЧА 7

Петя написал все натуральные числа от 1 до 1000 и обвел в кружочек те из них, которые представляются в виде разности квадратов двух целых чисел. Каких чисел среди обведенных больше - четных или нечетных?

Среди натуральных чисел от 1 до 1000 одинаковое количество четных и нечетных чисел. Докажем, что Петя обвел все нечетные числа и не обвел некоторые четные.

1. Любое нечетное натуральное число представимо в виде разности квадратов двух целых чисел. Действительно, любое нечетное число можно записать в виде 2n + 1, где n - некоторое целое число. Заметим, что

2n + 1 = (n + 1)2 - n2.

2. Пусть число представимо в виде a2 - b2 = (a - b) i i (a + b). Тогда оно нечетно или же делится на 4, так как числа a + b и a - b имеют одинаковую четность при любых значениях a и b. Значит, числа 2, 6, _, 998 не обведены.

Таким образом, мы доказали, что Петя обвел в кружочек больше нечетных чисел.

Ответ: Петя обвел больше нечетных чисел.

ЗАДАЧА 8

На листе бумаги "в клетку" нарисуйте окружность максимального радиуса, пересекающую линии сетки только в узлах. Ответ объясните.

Найдем все возможные окружности, пересекающие линии сетки только в узлах.

Окружность может вообще не пересекать линии сетки (рис. 1, а).

Очевидно, что окружность не может проходить ровно через один узел сетки. Если же окружность проходит ровно через два узла, то эти узлы - соседние по стороне клетки и, следовательно, возможен только один вариант такого расположения окружности (рис. 1, б).

Пусть окружность проходит через три или более узлов. Рассмотрим произвольный узел A, через который проходит окружность, а также соседний с ним по окружности узел B. Отрезок AB является либо стороной клетки, либо диагональю. Возьмем теперь узел C - другой узел, соседний по окружности с узлом A. Отрезок AC также является либо стороной клетки, либо диагональю. Понятно, что точки A, B и C, через которые проходит окружность, однозначно определяют окружность. Заметим также, что точки A, B и C не могут лежать на одной прямой. Разберем все возможные случаи расположения точек A, B и C.

1. AB - сторона клетки, AC - сторона клетки. Возможен только один вариант (см. рис. 2, а).

2. AB - сторона клетки, AC - диагональ клетки. Возможны два варианта (см. рис. 2, б, в), но окружность на рис. 2, б получается такая же, как и в случае а.

3. AB - диагональ клетки, AC - диагональ клетки. Возможен только один вариант (см. рис. 2, г).

Таким образом, мы рассмотрели все возможные варианты расположения окружности. Из них уже несложно выбрать окружность максимального радиуса.

Ответ: см. рис. 2, в.

ЗАДАЧА 9

Вдоль железной дороги стоят километровые столбы на расстоянии 1 км друг от друга. Один из них покрасили в желтый цвет и шесть - в красный. Сумма расстояний от желтого столба до всех красных равна 14 км. Чему может быть равно максимальное расстояние между красными столбами?

Заметим, что минимальная сумма расстояний от желтого столба до четырех красных равна 6 км и это возможно только в одном случае: и слева, и справа от желтого столба ближайшие два столба подряд - красные. Значит, максимальная сумма расстояний от желтого столба до двух красных не превосходит 14 - 6 = 8 км. Поэтому и максимальное расстояние между красными столбами не превосходим 8 км, причем случай 8 км возможен (см. рис. 1).

Ответ: 8 км.

ЗАДАЧА 10

Островное государство расположено на 100 островах, соединенных мостами, причем некоторые острова соединены мостом и с материком. Известно, что с каждого острова можно проехать на каждый (возможно, через другие острова). В целях повышения безопасности движения на всех мостах было введено одностороннее движение. Оказалось, что с каждого острова можно уехать только по одному мосту и что хотя бы с одного из островов можно уехать на материк. Докажите, что с каждого острова можно доехать до материка, причем по единственному маршруту.

Заметим, что теперь с любого из островов маршрут определен единственным образом. Действительно, с данного острова можно уехать по единственному мосту. Поехав по нему, водитель опять попадает на остров, с которого уходит ровно один мост, и так далее.

Рассмотрим произвольный остров. Обозначим его A1 . Докажем, что с него можно проехать на материк.

По условию хотя бы с одного из островов мост ведет на материк. Обозначим один из этих островов через An .Так как до введения одностороннего движения с каждого острова можно было проехать на каждый, то остров A1 соединен с островом An цепочкой мостов: остров A1 соединен мостом с островом A2 , остров A2 соединен мостом с островом A3 и т.д. Остров An соединен мостом с материком. Найдем, в какую сторону направлено движение на мостах, соединяющих эти острова.

Движение на мосту, соединяющем An с материком, направлено в сторону материка, поэтому на мосту, соединяющем An с An - 1 , движение направлено от An - 1 к An (иначе с An выходило бы два моста). Рассуждая аналогично, получаем, что на остальных мостах движение направлено к материку, а именно, от An - 2 к An - 1 , от An - 3 к An - 2 и т.д., _, от A1 к A2 . Значит, с острова A1 можно проехать на материк.

Следовательно, с каждого из островов можно доехать до материка, причем (мы выяснили это в самом начале) по единственному маршруту.

ЗАДАЧА 1

Может ли число, оканчивающееся на 1999, быть квадратом натурального числа?

Предположим, что число, оканчивающееся на 1999, является квадратом натурального числа А. Пусть А = = 10B + x, где x - последняя цифра числа А. Тогда A 2 = = (10B + x)2 = 100B 2 + 20xB + x2. Поскольку A 2 оканчивается на 9, то и x2 тоже оканчивается на 9, поэтому x = 3 или x = 7, так как только эти цифры в квадрате оканчиваются на 9.

Пусть x = 3. Тогда A 2 = (10B + 3)2 = 100B 2 + 60B + 9 = = 10(10B 2 + 6B ) + 9. Но 10B 2 + 6B - четное число, поэтому оно оканчивается на четную цифру, значит, предпоследняя цифра числа A 2 четная. Таким образом, A 2 не может оканчиваться на 1999.

Пусть x = 7. Тогда A 2 = (10B + 7)2 = 100B 2 + 140B + + 49 = 10(10B 2 + 14B + 4)+ 9. Но 10B 2 + 14B + 4 - четное число, поэтому оно оканчивается на четную цифру, значит, предпоследняя цифра числа A 2 четная. Таким образом, A 2 не может оканчиваться на 1999.

Следовательно, число, оканчивающееся на 1999, не может быть квадратом натурального числа.

Ответ: не может.

ЗАДАЧА 2

Трехголовый Змей Горыныч праздновал свой день рождения. Его головы по очереди лакомились именинными пирогами и за 15 минут съели два одинаковых пирога. Известно, что каждая голова ела столько времени, сколько понадобилось бы двум другим, чтобы вместе съесть один такой же пирог. За сколько минут три головы Змея Горыныча съели бы вместе один пирог?

Найдем, сколько пирогов съедят все три головы вместе за 15 минут. Первая голова ела столько времени, сколько понадобилось бы двум другим головам, чтобы вместе съесть целый пирог. Значит, все три головы вместе съели бы за это время на 1 пирог больше. Аналогично получаем, что за время, в течение которого вторая голова ела пироги, все три головы вместе съели бы на 1 пирог больше. То же самое получается и для третьей головы. Таким образом, за 15 минут все три головы вместе съели бы на 3 пирога больше, чем если бы они ели по очереди, то есть 5 пирогов. Отсюда получаем, что один пирог они вместе съели бы за 3 минуты.

Ответ: за 3 минуты.

ЗАДАЧА 3

Найдите сумму коэффициентов многочлена, полученного после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении:

а) (7x - 6)4 - 1; б) (7х - 6)1999 - 1.

При раскрытии скобок в выражении из условия задачи получится некоторый многочлен. Обозначим его через P(x). Тогда P(x) = anxn + an - 1xn - 1 + _ + a1x1 + a0 . Тогда сумма его коэффициентов равна an + an - 1 + _ _ + a1 + a0 = an1n + an - 11n - 1 + _ + a111 + a0 = P(1).

Найдем значения многочленов из условия задачи при x = 1, это и будут искомые суммы коэффициентов:

а) P(1) = (7 " 1 - 6)4 - 1 = 14 - 1 = 0;

б) P(1) = (7 " 1 - 6)1999 - 1 = 11999 - 1 = 0.

Ответ: а) 0; б) 0.

ЗАДАЧА 4

Генерал хочет расположить семь зенитных установок так, чтобы среди любых трех из них нашлись две установки, расстояние между которыми ровно 10 километров. Помогите генералу решить эту задачу.

Расположим четыре установки (A1 , A2 , A3 и A4) в вершинах ромба со стороной 10 км и диагональю A2A4 , равной 10 км. Построим второй такой же ромб (с вершинами A1 , A5 , A6 и A7), повернутый относительно первого так, чтобы расстояние между A6 и A3 равнялось 10 км. Легко показать, что при этом A2 и A7 не совпадут. На рисунке 1 отрезками показаны расстояния, равные 10 км.

Проведя несложное рассуждение, убеждаемся, что построенное нами расположение удовлетворяет условию.

Замечание: нигде не утверждается единственность приведенного расположения.

Ответ: см. рис. 1.

ЗАДАЧА 5

Гулливер, рост которого равен 999 лилиметров, строит башню из кубиков. Первый кубик имеет высоту 1/2 лиликилометра, второй - 1/4 лиликилометра, третий - 1/8 лиликилометра и т.д. Сколько кубиков будет в башне, когда ее высота превысит рост Гулливера? (1 лиликилометр равен 1000 лилиметров).

Пусть в башне N кубиков. Докажем, что ее высота равна 1 - (1/2)N лиликилометра. Обозначим через S лиликилометров ее высоту. Тогда S = 1/2 + 1/4 + ... _ + (1/2)N, 2S = 1 + 1/2 + 1/4 +... + (1/2)N - 1. Из этих соотношений получаем, что 2S = 1 + S - (1/2)N. Значит, S = 1 - (1/2)N.

Найдем минимальное натуральное N такое, что 1 - - (1/2)N больше, чем 0,999 = 1 - 1/1000. Это равносильно нахождению минимального натурального N такого, что 2N больше 1000. Минимальное такое N = 10, так как 210 = 1024 > 1000, а 29 = 512 < 1000. Значит, N = = 10 - искомое.

Замечание: высоту башни из N кубиков можно найти, заметив, что высоты кубиков образуют геометрическую прогрессию, и воспользовавшись формулой для вычисления суммы первых членов геометрической прогрессии.

Ответ: 10.

ЗАДАЧА 6

Известно, что в любом пятиугольнике можно выбрать три диагонали, из которых можно составить треугольник. Существует ли пятиугольник, в котором такие диагонали можно выбрать единственным способом?

Такой пятиугольник существует. Один из возможных вариантов показан на рисунке 1: в этом пятиугольнике AC = CD = AD = 1, BE = 6, 2,5 < BD < 3, CE = 4. Простым перебором убеждаемся, что единственная тройка диагоналей, из которых можно сложить треугольник, - это диагонали BD, CE и BE.

Ответ: существует.

ЗАДАЧА 7

Известно, что для натуральных чисел a и b выполняется равенство 19a = 99b. Может ли a + b быть простым числом?

1 способ. По условию 19a = 99b, значит, числа a и b имеют одинаковую четность. Поэтому (a + b) - четное число. Убеждаемся, что числа a = 1, b = 1 не удовлетворяют условию, следовательно (a + b) не может равняться 2. Но четное число, не равное 2, не является простым.

2 способ. Рассмотрим число 99(а + b). Так как по условию 19a = 99b, то 99(a + b) = 99a + 99b = 99a + 19a = = 118a. Поэтому число 99(a + b) делится на 118, но так как числа 99 и 118 взаимно просты, то (a + b) делится на 118 и, значит, не может быть простым.

Ответ: нет, не может.

ЗАДАЧА 8

Витя задумал 5 целых чисел и сообщил Ване все их попарные суммы:

0, 1, 5, 7, 11, 12, 18, 24, 25, 29.

Помогите Ване отгадать задуманные числа.

Так как все попарные суммы различны, то среди самих задуманных чисел не может быть равных. Обозначим задуманные числа в порядке возростания x1 < < x2 < x3 < x4 < x5 . Тогда x1 + x2 - наименьшая из сумм, а x1 + x3 - следующая за ней по возрастанию. Аналогично, x4 + x5 - наибольшая из сумм, а x3 + x5 - следующая за ней по убыванию. Получаем следующие уравнения:

x1 + x2 = 0,

x1 + x3 = 1,

x4 + x5 = 29,

x3 + x5 = 25.

Сложив все заданные попарные суммы и разделив результат на 4, получим, что сумма всех задуманных чисел равна 33. Поскольку (x1 + x2) + (x4 + x5) = 0 + 29 = = 29, то x3 = 33 - 29 = 4. Остальные числа теперь легко находим из уравнений: x1 = - 3, x2 = 3, x4 = 8, x5 = 21.

Проверим теперь, что все попарные суммы этих чисел совпадают с числами из условия задачи. Значит, найденные нами числа - решение задачи.

Ответ: - 3, 3, 4, 8, 21.

ЗАДАЧА 9

В квадрате 3 i 3 расставлены числа так, что суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой большой диагонали равны 0. Известно, что сумма квадратов чисел верхней строки равна n. Чему может быть равна сумма квадратов чисел нижней строки?

Обозначим числа в верхней строке через x1 , x2 и x3 , число в центральной клетке через a, а числа в нижней строке через y1 , y2 и y3 :

По условию имеем x1 + а + y3 = 0, x2 + а + y2 = 0, x3 + а + + y1 = 0. Сложив эти равенства, получим 3а + x1 + x2 + + x3 + y1 + y2 + y3 = 0, а поскольку x1 + x2 + x3 = 0, y1 + + y2 + y3 = 0, то 3а = 0. Значит, a = 0 и поэтому x1 = - y3 , x2 = - y2 , x3 = - y1 . Отсюда

Ответ: сумма квадратов чисел нижней строки равна n.

ЗАДАЧА 10

На окружности отмечено N точек. Два игрока играют в такую игру: первый игрок соединяет две из этих точек хордой, из конца которой второй игрок проводит хорду в одну из оставшихся точек так, чтобы не пересечь уже проведенную хорду. Затем такой же "ход" делает первый игрок - проводит из конца второй хорды новую хорду в одну из оставшихся точек так, чтобы она не пересекала ни одну из уже проведенных. Проигрывает тот, кто не может сделать такой "ход". Кто выигрывает при правильной игре? (Хордой называется отрезок, концы которого лежат на данной окружности.)

Докажем, что при четном N при правильной игре выигрывает первый игрок, а при нечетном - второй.

Рассмотрим произвольное четное N. Правильная игра первого игрока состоит в следующем. Первым ходом он выбирает какую-нибудь начальную точку и соединяет ее с какой-нибудь соседней:

Теперь ход делает второй игрок, и он может провести хорду из заданной точки в какую-нибудь из оставшихся N - 2 точек. Хорда разделит окружность на две дуги, на которых в сумме останется N - 3 свободных точек. Число (N - 3) нечетно, значит, на одной из дуг лежит четное число точек, а на другой - нечетное (обозначим это число через K ):

Теперь ход делает первый игрок и он может свести игру к случаю четного числа точек, выбрав дугу с K точками (при этом игра сводится к случаю K + 1 точки, K точек на дуге и одна точка - конец хорды, проведенной вторым игроком). Первый игрок проводит хорду в соседнюю точку на выбранной дуге:

При этом второй игрок оказывается в том же положении, что и при предыдущем ходе: он может провести хорду в какую-нибудь из оставшихся точек, а их - четное число. Первый игрок при своем ходе опять может свести игру к случаю четного (уже меньшего) числа точек и так далее. После нескольких ходов первый игрок сможет свести игру к случаю двух точек, соединить их и выиграть.

В случае нечетного N первый игрок оказывается в положении второго игрока при четном N и, следовательно, проигрывает (при правильной игре второго игрока).

Ответ: первый, если N четно, и второй, если N нечетно.

ЗАДАЧА 1

В телевизионной передаче "Поле чудес" ведущий разыгрывал приз следующим образом. Играющему показывали три шкатулки, в одной из которых находился приз. Играющий указывал на одну из шкатулок, после чего ведущий открывал одну из двух других оставшихся шкатулок, которая оказывалась пустой. После этого играющий мог либо настаивать на первоначальном выборе, либо сменить его и выбрать третью шкатулку. В каком случае его шансы на выигрыш возрастают? (Возможны три варианта ответа: обе шкатулки равноправны, лучше сохранить первоначальный выбор, лучше его изменить. Попытайтесь обосновать свой ответ.)

Лучше изменить свой выбор. При первоначальном выборе вероятность того, что деньги в выбранной шкатулке - 1/3, вероятность того, что деньги в одной из двух других - 2/3. После того как ведущий открыл ту из оставшихся шкатулок, которая была пустой, вероятность нахождения выигрыша в третьей шкатулке становится равной 2/3. (Вероятность выигрыша при сохранении первоначального выбора по-прежнему равна 1/3.)

ЗАДАЧА 2

Найдите наименьшее натуральное n такое, что при всех целых m > n найдутся целые положительные x и y, для которых имеет место равенство

17x + 23y = m.

Докажем сначала, что не существует натуральных решений уравнения 17x + 23y = 391. Действительно, так как 391 = 23 " 17, то из уравнения 17x = 391 - 23y следует, что x делится на 23 (так как 17 и 23 числа простые). Наименьшее положительное x, обладающее таким свойством, равно 23, но тогда y = 0. Следовательно, натуральных решений у данного уравнения нет.

Теперь покажем, что при любом m > 391 уравнение 17x + 23y = m имеет целые положительные решения.

На рисунке 1 все решения данного уравнения - это прямая, пересекающая оси Ox и Oy в точках и соответственно. Заметим, что если (x, y) - точка с целыми координатами на этой прямой, то все точки (x + + 23k, y - 17k) тоже принадлежат данной прямой, тогда так как при m > 391, > 23, а > 17, то хотя бы у одной из точек такого вида координаты будут положительные (хотя бы одна из таких точек попадет в первую четверть).

Ответ: 391.

ЗАДАЧА 3

Найдите x + y, если

Домножим уравнение = 1 на После преобразований получаем Аналогично, домножив исходное уравнение на мы получим Теперь, сложив полученные равенства, мы получим, что x + y = 0.

Ответ: x + y = 0.

ЗАДАЧА 4

На единичном отрезке расположено несколько непересекающихся отрезков красного цвета, общая длина которых больше 0,5. Обязательно ли найдутся две красные точки на расстоянии:

а) Не обязательно. Приведем пример такого расположения отрезков, при котором не найдутся две красные точки на расстоянии Разобьем весь единичный отрезок на 99 частей, нечетные из которых будут окрашены в красный цвет и иметь длину Тогда общая длина красных отрезков Остальные 49 частей (незакрашенные) будут равны между собой по длине. Длина каждой из них равна = = > Таким образом, длина каждого красного отрезка меньше а расстояние между различными красными отрезками больше и, значит, двух красных точек на расстоянии не найдется.

б) Обязательно найдутся. Разобьем единичный отрезок на 50 равных частей. Так как суммарная длина красных отрезков больше 0,5, то хотя бы у одного из получившихся отрезков длиной больше половины будет окрашено в красный цвет. Рассмотрим этот отрезок. Сдвинем первую его половину вперед на так, чтобы она полностью "наложилась" на вторую. Заметим, что при этом сдвиге каждая точка из первой половины отрезка перешла в точку из вто