Научная Сеть >> Механика твердого тела. Лекции.

Наука >> Физика >> Общая физика >> Механика | Курсы лекций

Посмотреть комментарии[3]

Добавить новое сообщение

См. также

Механика сплошных сред: Лекция 1

Красота физики в уродливом мире.

Антон Дмитриевич Билимович

Колебания и волны: Лекция 1

Виктор Антонович САДОВНИЧИЙ "Математическое образование. Настоящее и будущее.": Московский университет

Механика твердого тела. Лекции.

В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 1997 г.

Содержание

Поступательное движение.

Поступательное движение - это такое движение, при котором любой выделенный в теле отрезок остается параллельным самому себе.

Классическим примером на эту тему является движение кабинок колеса обозрения (рис. 1.4). Этот пример наглядно показывает, что поступательное движение - совсем не обязательно прямолинейное. Очевидно, что число степеней свободы тела в этом случае равно трем, так как достаточно описать движение какой-нибудь одной точки тела (например, точки А на рис. 1.5). Траектории всех остальных точек (например, точки В на рис. 1.5) могут быть получены путем "параллельного" переноса.


Рис. 1.4.	Рис. 1.5.

Допустим, закон движения точки А задан в виде

${\displaystyle \bf r}_{A} = {\displaystyle \bf r}_{A} \left( {\displaystyle t} \right)$

(1.2)

Тогда закон движения точки В будет иметь вид

${\displaystyle \bf r}_{B} = {\displaystyle \bf r}_{A} + {\displaystyle \bf r}_{AB} ,$

(1.3)

где $\bf r}_{AB$ - вектор, проведенный от точки А к точке В.

Скорость точки А

${\displaystyle \bf v}_{A} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf r}_{A} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}},$

(1.4)

скорость точки В

${\displaystyle \bf v}_{B} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf r}_{B} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \bf v}_{A} ,$

(1.5)

так как $\bf r}_{AB$ - вектор, постоянный по величине (абсолютно твердое тело) и направлению (поступательное движение).

Ускорения точек А и В также равны между собой:

${\displaystyle \bf a}_{A} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf v}_{A} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf v}_{B} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \bf a}_{B} .$

(1.6)

Таким образом, кинематика поступательного движения твердого тела в принципе ничем не отличается от кинематики материальной точки.

Вращение вокруг неподвижной оси.

Если при движении твердого тела какие-либо две его точки все время остаются неподвижными, то через эти точки можно провести прямую, являющуюся неподвижной осью вращения. С таким движением мы сталкиваемся ежедневно, открывая и закрывая дверь в комнату. Очевидно, что в этом случае тело обладает лишь одной степенью свободы, связанной с углом его поворота вокруг оси. При этом все точки тела движутся по окружностям, лежащим в плоскостях, которые перпендикулярны оси вращения; центры окружностей лежат на этой оси.

Существенно, что линейные скорости точек, находящихся на разном расстоянии от оси вращения, разные. В этом можно убедиться, касаясь стальной проволокой вращающегося диска точила (рис. 1.6): чем дальше от оси, тем длиннее сноп искр - тем больше скорость соответствующей точки диска. При этом также видно, что искры летят по касательной к окружности, описываемой данной точкой диска.

Рис. 1.6.

Ясно, что угловое перемещение всех точек твердого тела за одно и то же время будет одинаковым. Это обстоятельство позволяет ввести общую кинематическую характеристику - угловую скорость

$\omega = {\displaystyle \mathop {\displaystyle \lim }\limits_{\Delta t \to 0} }{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \Delta \varphi }}{\displaystyle {\displaystyle \Delta t}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\varphi }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}},$

(1.7)

где $\Delta \varphi$ - угол поворота тела за время $\Delta t.$

Можно ввести вектор элементарного углового перемещения $\Delta j,$ направленный вдоль оси вращения в соответствии с правилом правого буравчика: если рукоятку буравчика поворачивать в направлении вращения тела, то поступательное перемещение буравчика даст направление $\Delta j.$ Устремляя интервал времени $\Delta t,$ за которое произошло угловое перемещение $\Delta j,$ к нулю, мы получим вектор угловой скорости

$\omega = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dj}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}},$

(1.8)

который определяет, во-первых, модуль угловой скорости тела, во-вторых, - ориентацию оси вращения в пространстве, а в-третьих, - направление вращения тела. Следует подчеркнуть, что $\omega$ - вектор скользящий в том смысле, что его начало можно совместить с любой точкой, принадлежащей оси вращения.

Например, для Земли, вращающейся вокруг своей оси с запада на восток, вектор $\omega$ имеет направление от южного полюса к северному.

Величина угловой скорости

$\omega _{Земли} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}{\displaystyle {\displaystyle 24 \cdot 3600 \ {\displaystyle n}}}} \approx 7,3 \cdot 10^{ - 5}c^{ - 1}.$

Для сравнения: угловая скорость орбитального движения Земли составляет

$\omega _{орб} \approx {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \omega _{Земли} }}{\displaystyle {\displaystyle 365}}} \approx 2,0 \cdot 10^{ - 7}\ {\displaystyle n}^{- 1}.$

Заметим, что период орбитального вращения не кратен продолжительности суток, что создает известные трудности в построении календаря (необходимо вводить високосные годы и проч.)

Зная $\omega,$ легко определить линейную скорость любой точки твердого тела. Введем радиус-вектор $\bf r}_{A$ некоторой точки А твердого тела, поместив его начало в точку О на оси вращения (рис. 1 .7). $\rho$ - вектор, проведенный в точку А от оси вращения, то есть перпендикулярно оси.

Рис. 1.7.

Вектор скорости $\bf v}_{A$ можно связать с векторами $\bf r}_{A$ и $\omega$ :

$\bf v}_{A} = \omega\times {\displaystyle \bf r}_{A$

(1.9)

(формула Эйлера). При этом величина скорости

$v_{A} = \omega r_{A} \cdot \sin \alpha = \omega \rho$

(1.10)

Ясно, что точку О на оси вращения можно выбрать произвольно - значение $\rho = r_{A} \sin \alpha$ будет одним и тем же.

Ускорение точки А

${\displaystyle \bf a}_{A} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}}\times {\displaystyle \bf r}_{A} + \omega\times {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf r}_{A} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = \varepsilon\times {\displaystyle \bf r}_{A} + \omega\times {\displaystyle \bf v}_{A} .$

(1.11)

Здесь $\varepsilon = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}}$ угловое ускорение тела. Это аксиальный вектор, направленный в ту же сторону, что и $\omega,$ если вращение ускоренное, и противоположно $\omega,$ если вращение замедленное.

Таким образом, ускорение $\bf a}_{A$ является суммой двух величин:

${\displaystyle \bf a}_{A} = {\displaystyle \bf a}_{\tau } + {\displaystyle \bf a}_{n} ,$

(1.12)

(рис. 1.8), причем все три вектора $\bf a}_{A} , {\displaystyle \bf a}_{\tau$ и $\bf a}_{n$ лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения.

$a_{\tau } = \varepsilon\times r_{A} = \varepsilon \rho \tau$

(1.13)

- это тангенциальное ускорение ( $\tau$ - единичный вектор в направлении $\bf v}_{A$ ).

$\bf a}_{n} = \omega\times {\displaystyle \bf v}_{A} = \omega\times \left( {\displaystyle \omega\times {\displaystyle \bf r}_{A} } \right) = \omega ^{2}\rho {\displaystyle \bf n$

(1.14)

- это осестремительное ускорение (n - единичный вектор в направлении к оси вращения). Эти составляющие полного ускорения хорошо известны из кинематики вращательного движения материальной точки.

Рис. 1.8.

Назад| Вперед

Физический факультет МГУ

Посмотреть комментарии[3]