Опыт показывает, что если тело, закрепленное на оси
вращения, испытывает удар, то действие удара в общем случае передается и на
ось. При этом величина и направление силы, приложенной к оси, зависят от
того, в какую точку тела нанесен удар.
Рассмотрим сплошной однородный стержень АВ, подвешенный в точке А на
горизонтальной, закрепленной в подшипниках оси OO' (рис. 3.9). Если удар
(короткодействующая сила F ( нанесен близко к оси вращения, то ось
прогибается в направлении действия силы F (рис. 3.9а). Если удар
нанесен по нижнему концу стержня, вблизи точки В, то ось прогибается в
противоположном направлении (рис. 3.9б). Наконец, если удар нанесен в строго
определенную точку стержня, называемую центром удара (рис. 3.9в, точка С),
то ось не испытывает никаких дополнительных нагрузок, связанных с ударом.
Очевидно, в этом случае скорость поступательного движения, приобретаемого
точной А вместе с центром масс O, будет компенсироваться линейной скоростью
вращательного движения вокруг центра масс О (оба эти движения инициируются
силой F и происходят одновременно).
| Рис. 3.9. |
Вычислим, на каком расстоянии от точки подвеса стержня находится
центр удара. Уравнение моментов относительно оси вращения OO' дает
| (3.15) |
Сил реакции со стороны оси, как предполагается, при ударе не возникает,
поэтому на основании теоремы о движении центра масс можно записать
| (3.16) |
где - масса тела, - скорость центра масс. Если - расстояние
от оси до центра масс тела, то
| (3.17) |
и в результате из уравнения моментов и уравнения движения центра масс
находим
| (3.18) |
При этом точка C (центр удара) совпадает с так называемым центром качания
данного физического маятника - точкой, где надо сосредоточить всю массу
твердого тела, чтобы полученный математический маятник имел такой же период
колебаний, как и данный физический.
В случае сплошного однородного стержня длиной имеем:
Замечание. Полученное выражение для (3.18) справедливо и для
произвольного твердого тела. При этом надо только иметь в виду, что точка
подвеса тела А и центр масс О должны лежать на одной вертикали, а ось
вращения должна совпадать с одной из главных осей инерции тела, проходящих
через точку А.
Пример 1. При ударах палкой длиной по препятствию рука "не
чувствует" удара (не испытывает отдачи) в том случае, если удар приходится в
точку, расположенную на расстоянии свободного конца палки.
Пример 2. При горизонтальном ударе кием по бильярдному шару (рис.
3.10) шар начинает качение без проскальзывания в том случае, еcли удар
нанесен в точку, находящуюся на высоте
от поверхности бильярда, то есть на выше центра
шара. Если удар будет нанесен ниже, качение будет сопровождаться скольжением
в направлении движении шара. Если удар нанесен выше, то шар в точке касания
с бильярдным столом будет проскальзывать назад.
| Рис. 3.10. |
Рассмотренные примеры формально не относятся к вращению твердого тела вокруг
неподвижной оси, однако все приведенные выше соображения о центре удара,
очевидно, остаются в силе и в этих случаях.
Напомним, что при плоском движении все точки тела движутся в плоскостях,
параллельных некоторой неподвижной плоскости, поэтому достаточно рассмотреть
движение одного из сечения тела, например, того, в котором лежит центр масс.
При разложении плоского движения на поступательное и вращательное скорость
поступательного движения определена неоднозначно - она зависит от выбора
оси вращения, однако угловая скорость вращательного движения оказывается
одной и той же (см. лекцию 1).
Если в качестве оси вращения выбрать ось, проходящую через центр масс, то
уравнениями движения твердого тела будут:
1. Уравнение движения центра масс
| (3.19) |
2. Уравнение моментов относительно оси, проходящей через центр масс
| (3.20) |
Особенностью плоского движения является то, что ось вращения сохраняет свою
ориентацию в пространстве и остается перпендикулярной плоскости, в которой
движется центр масс. Еще раз подчеркнем, что уравнение моментов (3.20)
записано относительно, в общем случае, ускоренно движущегося центра масс,
однако, как было отмечено в начале лекции, оно имеет такой же вид, как и
уравнение моментов относительно неподвижной точки.
В качестве примера рассмотрим задачу о скатывании цилиндра с наклонное
плоскости. Приведем два способа решения этой задачи с использованием
уравнений динамики твердого тела.
Первый способ. Рассматривается вращение цилиндра относительно оси,
проходящее через центр масс (рис. 3.11).
| Рис. 3.11. |
Система уравнений (3.19 - 3.20) имеет вид:
К этой системе необходимо добавить уравнение кинематической связи
| (3.23) |
Последнее уравнение получается из условия, что цилиндр скатывается без
проскальзывания, то есть скорость точки М цилиндра равна нулю.
Уравнение движения центра масс (3.1) запишем для проекций ускорения и сил на
ось x вдоль наклонной плоскости, а уравнение моментов (3.22) - для проекций
углового ускорения и момента силы трения на ось y , совпадающую с осью
цилиндра. Направления осей x и у выбраны согласованно, в том смысле, что
положительному линейному ускорению оси цилиндра соответствует положительное
же угловое ускорение вращения вокруг этой оси. В итоге получим:
откуда
| (3.27) |
Следует подчеркнуть, что - сила трения сцепления - может
принимать любое значение в интервале от О до (сила трения скольжения) в зависимости от
параметров задачи. Работу эта сила не совершает, но обеспечивает ускоренное
вращение цилиндра при его скатывании с наклонной плоскости. В данном случае
| (3.28) |
Если цилиндр сплошной, то
| (3.29) |
Качение без проскальзывания определяется условием
| (3.30) |
где - коэффициент трения скольжения, - сила реакции
опоры. Это условие сводится к следующему:
| (3.31) |
или
| (3.32) |
Второй способ. Рассматривается вращение цилиндра относительно неподвижной
оси, совпадающей в данный момент времени с мгновенной осью вращения (рис.
3.12).
| Рис. 3.12. |
Мгновенная ось вращения проходит через точку соприкосновения цилиндра и
плоскости (точку М). При таком подходе отпадает необходимость в уравнении
движении центра масс и уравнении кинематической связи. Уравнение моментов
относительно мгновенной оси имеет вид:
| (3.33) |
Здесь
| (3.34) |
В проекции на ось вращения (ось y)
| (3.35) |
Ускорение центра масс выражается через угловое ускорение
| (3.36) |
Назад| Вперед
Посмотреть комментарии[3]
|