Вариационное исчисление
- раздел математики, обобщающий элементарную теорию экстремума функций. В вариационном исчислении речь идет об экстремуме
функционалов - величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций
f1, f2, . . . fm, которые играют для функционала F[f1, f2, . . . fm]
роль аргументов. Аналогично тому, как в задаче об
экстремуме функции f(x1, x2, ...., xn) необходимо указать
область G изменения ее аргументов, для функционала
следует задать класс допустимых функциональных аргументов (например, класс функии, непрерывных вместе с
первыми производными в области D и удовлетворяющих некоторым условиям на границе D). Если задача об
экстремуме непрерывной функции всегда имеет решение
(такая функция достигает экстремальных значений внутри
G или на ее границе), то существование экстремума
функционала для данного класса функциональных
аргументов не гарантировано априори и требует каждый
раз особого исследования. Одну из первых задач вариационного исчисления
сформулировал И. Бернулли (J. Bernoulli) в 1696, окончательно вариационное исчисление сформировалось в 18 веке благодаря
работам Л. Эйлера (L. Euler).
Необходимым условием экстремума функции f(x) в точке x(0)=(x10.. . , xn0)
является равенство нулю ее производной по любому направлению a=(a1, .. .an):
т.е.
Малому
смещению аргумента для функционала соответствует
вариация (отсюда название вариационное исчисление) функций:
где - функции из допустимого класса, обращающиеся
в нуль на границе D. Аналогом производной по направлению служит первая вариация функционала:
,
где определяемая последней формулой вариационная, или
функциональная производная , является аналогом
градиента . Необходимое условие экстремума функционала
следует из основной леммы вариационного исчисления: если
для всех функций из допустимого класса,
обращающихся в нуль на границе D,
то непрерывная функция .
На практике функционал F задается в виде интеграла
по области D от некоторой комбинации функций
f1 ... fn,
и их производных; в простейших случаях
Вычисление функциональной производной приводит
к Эйлера-Лагранжа уравнениям - системе дифференциальных
уравнений
, j=1, ...., m
с соответствующими граничными условиями.
Решения этой системы называется экстремалями функционала F. Экстремаль соответствует минимуму F при
выполнении условия Лежандра [обобщающего требование неотрицательности квадратичной формы
, гарантирующего минимум функции f(x)]
Согласно этому условию, всюду на экстремали
должна быть неотрицательна квадратичная форма
с коэффициентом (в простейшем случае одномерной
области D, когда ).
До сих пор шла речь о вариационных задачах, в которых допустимый функциональный аргумент подчинялся лишь
граничным условиям. В более общей постановке задачи требуется найти экстремали функционала F с дополнительными условиями,
налагаемыми на функциональные
аргументы во всей области D их определения. Эти условия могут быть интегральными:
или алгебраическими: . В обоих случаях задача сводится к обычной введением множителей
Лагранжа . В первом случае переходят к новому функционалу
решают уравнения Эйлера-Лагранжа, а множитель находят из условия К=0 на
экстремали. Во втором случае вводят новый функционал
и неизвестную функцию находят из уравнений Эйлера-Лагранжа.
Вариационное исчисление используют в различных областях физики. Фактически все законы, формулируемые обычно в локальном
дифференциальном виде, можно сформулировать на вариационном
языке. Фундаментальным примером является наименьшего действия принцип в классической механике.
Здесь роль переменной х играет время t, меняющееся в заданном интервале [а, b], функциональными аргументами являются
обобщенные координаты qj(t), а называемый действием функционал
задается Лагранжа функцией . Согласно принципу наименьшего действия, движение с заданными граничными
условиями
для qj(a)
и qj(b) осуществляется по экстремали
функционала S. В физике используют также другие вариационные принципы.
В задаче о движении материальной точки во внешнем
поле можно интересоваться только формой траектории
без детального знания временной зависимости q(t).
В этом случае используется принцип минимизации
укороченного действия, или принцип Мопертюи: при задании потенциальной энергии U, полной
энергии
Е, начальных и конечных точек траектории вся траектория определяется минимизацией функционала
где dl - элемент длины траектории, a qi и qf - начальная и конечная ее точки.
Принцип Мопертюи является
следствием принципа наименьшего действия и допускает обобщение на сложные механические системы.
Аналогом принципа Мопертюи в оптике служит принцип наименьшего времени Ферма: в среде с переменным
показателем преломления n траектория луча света
такова, что интеграл минимален. Иначе
говоря, луч света избирает себе траекторию, для прохождения которой требуется минимальное время.
Последний пример - вариационный принцип Ритца
в квантовой механике. Задачу о решении уравнения Шpeдингера
можно сформулировать как
задачу о минимизации функционала при
дополнительном условии (здесь q-набор обобщенных координат). Принцип Ритца - незаменимое орудие расчета сложных атомов
и ядер, когда точное
решение уравнения Шредингера невозможно и задачу
решают минимизацией функционала J на некотором
классе пробных функций.