Если то такие волны
называют волнами глубокой воды. Возмущения сосредоточены в
приповерхностном слое толщиной и не "чувствуют"
присутствия дна. Для таких волн, с учетом приближения дисперсионное соотношение (6.19) примет вид:
| (6.21) |
Таким образом, эти волны обладают сильной дисперсией.
Сделаем некоторые оценки. В океане преобладают волны с периодом колебаний
Согласно (6.21) длина волны а
фазовая скорость Такая скорость является типичной, так как
она совпадает с характерной скоростью ветра вблизи поверхности,
генерирующего волны глубокой воды.
Если проанализировать распределение возмущений давления с глубиной,
описываемое функцией (см. (6.16)), то можно показать, что при Таким образом, приближение глубокой воды
справедливо в тех местах, где глубина
При приближении к берегу глубина уменьшается, и
реализуется условие Хотя частота волны
остается прежней, однако дисперсионное соотношение примет иной вид:
| (6.22) |
из которого следует, что на мелкой воде дисперсия волн отсутствует. Скорость
волн уменьшается с глубиной, и на глубине
скорость а длина волны при равна
В непосредственной близости к берегу, где глубина сравнима с амплитудой
волны волна искажается - появляются крутые гребни, которые
движутся быстрее самой волны и затем опрокидываются. Это происходит потому,
что глубина под гребнем равна и превосходит глубину под
впадиной В результате колебания частиц волны приобретают
сложный характер. По аналогии со звуками музыкальных инструментов,
осциллограммы которых показаны в предыдущей лекции, можно сказать, что
колебания частиц воды являются суперпозицией колебаний многих частот, причем
по мере приближения к берегу ширина частотного спектра увеличивается. С
подобным искажением акустических волн мы встретимся несколько позднее, когда
будем изучать нелинейное распространение волн конечной амплитуды.
Из приведенной выше классификации гравитационных волн следует, что для
океана с глубиной волны глубокой воды должны иметь Согласно (6.21) их период колебаний , а скорость . Для континентального шельфа поэтому волнами глубокой воды будут волны с и
С другой стороны, на глубине H \sim 5 км волны с длинами волн будут волнами мелкой воды. Эти волны имеют период колебаний , а их скорость . Такие волны
двигаются со скоростью реактивного самолета и могут пересечь Атлантический
океан примерно за 7 часов.
Рассчитаем скорости частиц и
как функции координат и времени Это легко сделать из
уравнений (6.6) с учетом (6.3), (6.1) и (6.16):
| (6.23) |
Отсюда
| (6.24) |
На рис. 6.5 показаны векторы скорости частиц на глубине и на поверхности в
фиксированный момент времени. Пунктиром изображено положение волны через
малый промежуток времени. Под гребнем волны частицы имеют составляющую
скорости а под впадиной Скорость некоторой частицы
A направлена вниз, и с течением времени будет изменяться. Легко понять, что
в последующий момент скорость частицы A будет такой, как у частицы B в
настоящий момент, затем - как у частицы C в настоящий момент, и так далее.
Поэтому траектория частицы A будет эллиптической. По мере увеличения
координаты (глубины погружения) эллипсы сплющиваются, и при
частицы жидкости колеблются
практически вдоль оси Ox.
| Рис. 6.5. |
Размер большой полуоси эллипса можно оценить из условия
| (6.25) |
Сравним с длиной волны :
| (6.26) |
Учтем, что -
скорость волн мелкой воды. Тогда
| (6.27) |
Для мелкой воды и
| (6.28) |
Поскольку в этом случае то т.е.
возрастает с ростом амплитуды волны Но так как то
амплитуда горизонтальных колебаний
Частицы на поверхности глубокой жидкости движутся по траекториям, близким к
круговым. По таким же траекториям будет двигаться и плавающее на поверхности
небольшое тело, например, притопленный поплавок.
До сих пор мы предполагали, что профиль волны является синусоидальным, что
возможно только в том случае, если амплитуда волны очень мала по сравнению с
ее длиной. В природе таким профилем реально обладают только приливные волны,
длина которых чрезвычайно велика по сравнению с их высотой. Обычные ветровые
волны имеют более сложный вид. Как показывают расчеты, частицы жидкости в
них движутся по окружностям, радиус которых экспоненциально убывает с
глубиной (см. рис. 6.6). Сплошными линиями на рисунке показаны линии равного
давления, любая из которых может соответствовать поверхности воды при
определенной амплитуде волны. Эти |