Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.nature.web.ru/db/msg.html?mid=1175042&uri=page33.html
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Mon Apr 11 13:54:19 2016
Кодировка: Windows-1251
Поисковые слова: вторая космическая скорость
Научная Сеть >> Колебания и волны
Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Посетите Сервер по Физике Обратите внимание!
 
  Наука >> Физика >> Общая физика >> Колебания и волны | Курсы лекций
 Посмотреть комментарии[2]  Добавить новое сообщение
 См. также

Популярные статьиГигантский магнитоакустический эффект в антиферромагнетике KMnF3: Магнитные колебания и волны: частоты "расталкиваются"

Словарные статьиБесстолкновительные ударные волны

Словарные статьиАкустика

Популярные статьиКогерентный и некогерентный свет: когерентные колебания

НовостиОптические атомные часы

Популярные статьиКонец жизни звезд: вторая космическая скорость

Популярные статьиВо что превращаются звезды в конце жизни: вторая космическая скорость

Словарные статьиАномальное сопротивление плазмы

Словарные статьиАндерсоновская локализация

КнигиЗонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов.: 1.1.3. Фазовая скорость и дисперсия волн де Бройля

Словарные статьиАмплитудная модуляция

Обзорные статьиИнтерференция света: геометрическая разность хода

Популярные статьиГигантский магнитоакустический эффект в антиферромагнетике KMnF3

Календарь событийСинее-синее небо, аргон и абсолютно черное тело

Словарные статьиАкустические течения

КнигиФизические основы строения и эволюции звезд: tex2html637

Популярные заметкиАтомное кино

Научные статьиРадиоактивные газовые зонды в дифузионно-структурном анализе твердых тел и твердофазных процессов: (1)

Популярные заметкиЭффект Казимира

Обзорные статьиИнтерференция света: Интерференция плоских волн

Колебания и волны. Лекции.

В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 2001 г. 		Содержание

Лекция 6

Волны на поверхности жидкости. Гравитационные волны. Капиллярные волны. Цунами. Внутренние волны. Акустические волны большой амплитуды. Линейный и нелинейный режимы распространения. Уединенные волны (солитоны).

Волны на поверхности жидкости. Гравитационные волны.

Многие из нас могут долго любоваться поверхностью моря или реки, по которой перекатываются волны. Рожденные ветром, они распространяются затем за счет силы тяжести. Такие волны называются гравитационными. Частицы воды совершают в них движение по круговым и эллиптическим траекториям ("вверх - вниз" и "вперед - назад" одновременно), поэтому такие волны (как и волны Лява) нельзя отнести ни к продольным, ни к поперечным. Гравитационные волны обладают рядом удивительных свойств, к анализу которых мы и приступим.

Пусть по поверхности водоема глубиной $H$ распространяется вдоль оси Ox поверхностная гармоническая волна

$ s(x,t) = s_{0} \sin (\omega t - kx), $(6.1)

где $s$ - смещение поверхности воды вверх от равновесного горизонтального положения, отмеченного на рис. 6.1 пунктиром. Будем считать, что $| s| \ll H.$

Рис. 6.1.

Предположим, что давление жидкости на глубине $z$ равно:

$ p(z,x,t) = \rho gz + \delta p(z,x,t), $(6.2)

где $\delta p$ - добавка к гидростатическому давлению $\rho gz,$ обусловленная волновым движением поверхности. Сделаем также предположение, что

$ \delta p(z,x,t) = f(z)\rho gs(x,t). $(6.3)

Выражение (6.3) записано в приближении, что возмущение давления вблизи поверхности $(z \to 0)$ определяется дополнительным гидростатическим давлением $\rho gs,$ связанным с изменением уровня жидкости при распространении волны:

$ \delta p(0,x,t) = \rho gs(x,t), $(6.4)

причем с глубиной это возмущение должно убывать. Следовательно, функция $f(z)$ с ростом $z$ также должна убывать, при этом $f(0) = 1.$ Позже мы докажем, что представление возмущения давления в виде (6.3) оправданно.

Для описания волнового движения жидкости нам необходимо, во-первых, для заданной частоты $\omega$ найти $k,$ то есть установить дисперсионную зависимость $\omega = \omega (k)$ и, во-вторых, определить вид функции $f(z).$ Это можно сделать, если с учетом (6.2) записать уравнения Эйлера для движения несжимаемой и невязкой жидкости в плоскости XOZ (см. уравнение (3.30) в лекции по гидродинамике):

$ \begin{array}{l} \rho \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{x} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} + v_{x} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{x} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}} + v_{z} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{x} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial z}}}} \right) = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial \delta p}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}}; \\ \rho \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{z} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} + v_{x} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{z} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}} + v_{z} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{z} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial z}}}} \right) = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial \delta p}}{\displaystyle {\displaystyle \partial z}}}. \\ \end{array} $(6.5)

При записи (6.5) мы предполагаем, что движение частиц по оси Oy отсутствует. Учтем далее, что членами $v_{x} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{x} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}}, v_{z} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{z} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial z}}}, v_{x} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{z} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}}$ и $v_{z} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{z} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial z}}}$ в силу их малости можно пренебречь. Тогда получаем

$ \begin{array}{l} \rho {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{x} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial \delta p}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}}; \\ \rho {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{z} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial \delta p}}{\displaystyle {\displaystyle \partial z}}}. \\ \end{array} $(6.6)

Эти уравнения дополним условием несжимаемости:

$ {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{x} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{z} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial z}}} = 0. $(6.7)

Уравнения (6.6) и (6.7) при заданных граничных условиях дают возможность рассчитать $v_{z}, v_{x}$ и $\delta p$ и, тем самым, получить решение задачи о движении жидкости, включая движение ее поверхности.

Продифференцируем первое из уравнений (6.6) по $х,$ а второе - по $z$:

$ \begin{array}{l} \rho {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{x} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}} = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}\delta p}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x^{2}}}}; \\ \rho {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{z} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial z}}} = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}\delta p}}{\displaystyle {\displaystyle \partial z^{2}}}}. \\ \end{array} $(6.8)

В левых частях этой системы уравнений изменен порядок дифференцирования.

Сложим теперь уравнения (6.8). Тогда с учетом (6.7) можем записать:

$ \rho {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}}\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{x} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial x}}} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{z} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial z}}}} \right) = - \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}\delta p}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x^{2}}}} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}\delta p}}{\displaystyle {\displaystyle \partial z^{2}}}}} \right) = 0. $(6.9)

Уравнение

$ {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}\delta p}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x^{2}}}} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}\delta p}}{\displaystyle {\displaystyle \partial z^{2}}}} = 0 $(6.10)

является знаменитым уравнением Лапласа, используемым во многих разделах физики. Поэтому его решение хорошо известно.

На поверхности водоема при $z = 0$ граничным условием является равенство (6.4), а на дне при $z = H$ должно выполняться условие $v_{z} = 0,$ из которого с учетом второго уравнения (6.6) получаем:

$ {\displaystyle \left. {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial \delta p}}{\displaystyle {\displaystyle \partial z}}}} \right|}_{z = H} = 0. $(6.11)

Подставим далее (6.3) в (6.10) и учтем, что ${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}\delta p}}{\displaystyle {\displaystyle \partial x^{2}}}} = - k^{2}\delta p.$

Тогда (6.10) примет вид:

$ {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d^{2}f}}{\displaystyle {\displaystyle dz^{2}}}} - k^{2}f = 0. $(6.12)

С методом решения таких уравнений мы познакомились в лекциях по колебаниям. Используя подстановку $f(z) = Ae^{\lambda z},$ получаем характеристическое уравнение $\lambda ^{2} - k^{2} = 0,$ откуда $\lambda _{1,2} = \pm k,$ и общее решение (6.12) может быть записано в виде функции:

$ f(z) = Ae^{kz} + Be^{ - kz}, $(6.13)

при этом граничные условия для $f(z)$ следующие:

$ f(0) = 1; {\displaystyle \left. {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle df}}{\displaystyle {\displaystyle dz}}}} \right|}_{z = H} = 0. $(6.14)

Подставляя (6.13) в (6.14), получаем:

$ \begin{array}{l} A + B = 1; \\ Ae^{kH} - Be^{ - kH} = 0. \\ \end{array} $(6.15)

Отсюда

$ f(z) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \rm ch}\;{\displaystyle \left[ {\displaystyle k(z - H)} \right]}}}{\displaystyle {\displaystyle ch(kH)}}}, $(6.16)

где функция ${\displaystyle \rm ch}\;\alpha = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}(e^{\alpha } + e^{ - \alpha })$ -гиперболический косинус.

График функции $f(z)$ изображен на рис. 6.2. Теперь осталось только определить волновое число $k,$ входящее в (6.1) и (6.3). Это можно сделать, если сначала из (6.1) найти вертикальное ускорение частицы на поверхности жидкости. При этом надо учесть, что положительные значения $v_{z}$ соответствуют уменьшению $s$:

$ {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial v_{z} }}{\displaystyle {\displaystyle \partial t}}} = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial ^{2}s}}{\displaystyle {\displaystyle \partial t^{2}}}} = s_{0} \omega ^{2}\sin (\omega t - kx) = \omega ^{2}s(x,t). $(6.17)

Рис. 6.2.

Подставим (6.17) в левую часть второго уравнения (6.6), а правую часть этого уравнения запишем, используя представление (6.3). Тогда получим

$ \rho \omega ^{2}s = - \rho gs{\displaystyle \left. {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle df}}{\displaystyle {\displaystyle dz}}}} \right|}_{z = 0} = \rho gs{\displaystyle \kern 1pt} k{\displaystyle \kern 1pt} {\displaystyle \rm th}\;(kH). $(6.18)

В (6.18) учтено, что $({\displaystyle \rm ch}\;\alpha )' = {\displaystyle \rm sh}\;\alpha,\; {\displaystyle \rm th}\;\alpha = {\displaystyle \rm sh}\;\alpha / {\displaystyle \rm ch}\;\alpha.$ Поэтому дисперсионное соотношение получается в виде:

$ \omega = \sqrt {\displaystyle gH} \cdot k \cdot \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \rm th}\;(kH)}}{\displaystyle {\displaystyle kH}}}} \right)^{1 / 2}. $(6.19)

Обозначим $c_{0} = \sqrt {\displaystyle gH}.$ Тогда

$ \omega = c_{0} \cdot k\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \rm th}\;(kH)}}{\displaystyle {\displaystyle kH}}}} \right)^{1 / 2}. $(6.20)

На рис. 6.3 эта зависимость изображена сплошной линией, а пунктиром показана прямая $\omega = c_{0} k.$ Фазовая скорость волны $c = \omega / k$ как функция волнового числа показана на рис. 6.4.

Рис. 6.3.Рис. 6.4.

Таким образом, поверхностные гравитационные волны подвержены сильной дисперсии. Эффект дисперсии ярко выражен у океанских волн, зарождающихся в удаленных штормовых районах. Поскольку длинные волны (с меньшим $k$) движутся быстрее, чем короткие, то они приходят к берегам раньше коротких на 1-2 дня.

Эффект дисперсии может использоваться при определении места возникновения волн, прошедших до точки наблюдения чрезвычайно большие расстояния. Расстояние от штормового района до места, где волны фиксируют, подсчитывается по разности времен прибытия волн разной длины волны и, следовательно, разной частоты. Преобладающая частота прибывающих волн растет во времени, а длина пройденного пути находится по скорости изменения частоты. Так, по оценке, один из пакетов волн, наблюдавшихся в северной части Тихого океана, прошел половину окружности земного шара от Индийского океана по дуге большого круга, проходящей южнее Австралии.

Реальные волны, как уже говорилось раньше, представляют собой суперпозицию волн, или волновые пакеты, которые движутся с групповой скоростью $u = d\omega / dk.$ Скорость $u$ группы меньше, чем скорости $c = \omega / k$ каждой из волн в группе. Если рассматривать отдельную волну, то можно видеть, что она перемещается быстрее, чем группа. При достижении фронта группы она затухает, а ее место занимают волны, догоняющие группу с тыла.

Фазовая скорость волны c, как следует из (6.20), зависит от параметра $kH = 2\pi H / \lambda.$ Поэтому различают волны глубокой и мелкой воды.

Назад| Вперед
Посмотреть комментарии[2]
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования