Гармонические колебания (1.7) допускают наглядную
графическую интерпретацию. Ее смысл состоит в том, что каждому
гармоническому колебанию с частотой  можно поставить в
соответствие вращающийся с угловой скоростью вектор, длина
которого равна амплитуде  а его начальное (стартовое) положение
задается углом  совпадающим с начальной фазой (рис. 1.5).
 | | Рис. 1.5. |
Вертикальная проекция вектора  изменяется со временем:
 Мгновенное положение вектора определяется углом  который называется фазой и равен:
 | (1.18) |
При угловой скорости (круговой частоте) вектор совершает  оборотов (циклов) в секунду, а продолжительность
одного оборота (период) равна отношению угла  к угловой скорости
С помощью векторных диаграмм легко осуществить сложение гармонических
колебаний. Так, если необходимо сложить два гармонических колебания с
одинаковыми частотами
то амплитуду  и начальную фазу  суммарного колебания
 с той же частотой можно легко рассчитать из рис. 1.6а,
на котором графически изображена операция сложения векторов  в
момент времени 
Ясно, что вертикальная проекция вектора будет также
изменяться по гармоническому закону с частотой  поскольку
взаимное расположение векторов  и  не изменяется с течением
времени.
 | | Рис. 1.6а. |
Из этой диаграммы наглядно видно, что суммарное колебание опережает по
фазе колебание  и отстает по фазе от колебания 
Полная фаза для каждого из трех колебаний в произвольный момент времени
отличается от их начальных фаз на одну и ту же величину 
которую при построении векторных диаграмм не учитывают. При этом колебание
изображается неподвижным вектором (рис. 1.6б), а частота колебания
предполагается известной.
 | | Рис. 1.6б. |
Рассмотрим колебательную систему, состоящую из точечного груза массы  и четырех связанных с ним
пружин (рис. 1.7) - усложненный вариант рассмотренного выше пружинного маятника.
 | | Рис. 1.7. |
Если масса движется по гладкой горизонтальной поверхности (на рисунке
показан вид сверху), то ее мгновенное расположение описывается двумя
смещениями из положения равновесия - точки О: и
Такая система обладает двумя степенями свободы. Будем считать смещения
малыми, чтобы, во-первых, выполнялся закон Гука, а, во-вторых, при смещении
вдоль направления  деформации пружин с жесткостью  не
приводили к сколько-нибудь заметному вкладу в возвращающую силу  Аналогично, при смещении в перпендикулярном направлении
 возвращающая сила  При таких условиях
колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях происходят независимо
друг от друга:
 | (1.19) |
Здесь собственные частоты гармонических колебаний равны
 | (1.20) |
а амплитуды и начальные фазы определяются начальными условиями.
При возбуждении колебаний в такой системе при произвольном соотношении
собственных частот  и  траектория
колеблющегося груза может быть чрезвычайно сложной. Ее, в принципе, можно
проанализировать, принимая во внимание тот факт, что результирующее движение
груза является суперпозицией двух взаимно-перпендикулярных независимых
колебаний.
Рассмотрим вначале движение груза, если  (жесткости всех пружин одинаковы). Чтобы получить траекторию
движения, исключим из (1.19) текущее время. Для этого перепишем (1.19) в виде:
 | (1.21) |
Умножим первое уравнение (1.21) на  а второе - на
 и вычтем второе уравнение из первого. В результате
получим
 | (1.22а) |
Теперь умножим первое уравнение на  а второе - на
 повторим вычитание и получим
 | (1.22б) |
Наконец, возведем в квадрат каждое из равенств (1.22) и сложим их. В
результате время будет исключено, а уравнение траектории движущегося груза
будет уравнением эллипса:
 | (1.23) |
Таким образом, в общем случае груз будет совершать периодические движения по
эллиптической траектории. Направление движения вдоль траектории и ориентация
эллипса относительно осей Os1 и Os2 зависят от начальной разности
фаз  На рис. 1.8 изображены
траектории движения груза при различных значениях 
 | | Рис. 1.8. |
Все траектории заключены в прямоугольник со сторонами  и  При  и  груз движется по
прямой линии. При  и 
полуоси эллипса совпадают с Os1 и Os2 (при 
эллипс вырождается в окружность). При разности фаз 
груз движется по часовой стрелке, а при  -
против часовой стрелки.
Типичным примером двумерного осциллятора (маятника) является электрон в
атоме, который движется вокруг ядра по эллиптической орбите с периодом
обращения  Можно считать, что такой электрон
одновременно совершает два взаимно-перпендикулярных колебания с частотой
Если частоты двух взаимно-перпендикулярных колебаний не совпадают, но
являются кратными:  где и  - целые
числа, то траектории движения представляют собой замкнутые кривые,
называемые фигурами Лиссажу (рис. 1.9). Отметим, что отношение частот
колебаний равно отношению чисел точек касания фигуры Лиссажу к сторонам
прямоугольника, в который она вписана.
 | | Рис. 1.9. |
Если кратность между частотами отсутствует, то траектории не являются
замкнутыми и постепенно заполняют весь прямоугольник, напоминая нить в
клубке.
Назад| Вперед
Посмотреть комментарии[2]
| 
