Распространение возмущений в системе с большим числом степеней свободы.
Скорость распространения. Возбуждение волн. Группа волн и ее скорость.
Волновое уравнение. Волны в сплошном шнуре. Отражение волн. Возбуждение
стоячих волн в шнуре. Моды колебаний. Волны в упругих телах. Поперечные
волны. Энергия, переносимая волной. Вектор Умова. Продольные волны. Скорость
волн в тонком и толстом стержнях. Отражение и прохождение волн на границах
двух сред. Удельное волновое сопротивление.
Рассмотрим колебания масс на резиновом шнуре (рис. 4.1а). Отклоним
несколько масс в середине шнура от положения равновесия (рис 4.1б), и затем
отпустим их в момент времени Как показывает опыт, эта начальная
конфигурация, представляющая собой по форме импульс, с течением времени
трансформируется в два одинаковых импульса, которые побегут в разные стороны
с некоторой конечной скоростью c (рис. 4.1в). Эти импульсы добегут до концов
шнура, изменят свою полярность при отражении и побегут в обратном
направлении (рис. 4.1г). После встречи в середине шнура они отразятся еще
раз, восстановят исходную полярность и спустя время
вновь встретятся в середине, сформировав исходный импульс. Затем этот
процесс с периодом будет повторяться до тех пор, пока импульсы не
затухнут из-за диссипации энергии.
| Рис. 4.1. |
С точки зрения повседневного опыта в этом нет ничего удивительного,
поскольку смещения группы масс ведут к возникновению упругих сил,
стремящихся вернуть эту группу в положение равновесия и одновременно вывести
соседние частицы из положения равновесия.
С точки зрения описания колебаний "на языке мод" также понятно, что
отклонив, а затем отпустив группу частиц, мы возбуждаем много мод. Колебания
всех частиц происходят одновременно на нескольких нормальных частотах
Все эти частоты различны, и сумма нормальных колебаний
представляет собой биения. Поскольку через время, равное периоду биений,
колебания группы частиц в центре шнура восстановятся, то очевидно, что
период биений равен упоминавшемуся несколько ранее времени
Определим скорость с, исходя из представления о биениях, как суперпозиции
нормальных колебаний. Для этого вначале перепишем дисперсионное соотношение
(3.55) в виде
| (4.1) |
Строго говоря, при наличии многих частот в спектре колебаний, даваемых
формулой (4.1), биения не будут периодическими - начальная конфигурация не
повторяется. Визуально это будет проявляться в искажении формы бегущих
импульсов, если длина импульса (импульс
"накрывает" мало частиц), а шнур достаточно длинный. Говорят, что
искажение импульса связано с дисперсией "среды" (шнура с массами), по
которой импульс распространяется.
Это искажение будет ничтожным, если (группа состоит из
большого числа колеблющихся масс). Так обычно и происходит при
распространении возмущений в твердом теле, где
(расстояние между узлами кристаллической решетки, около которых колеблются
атомы).
Если то в спектре колебаний доминируют низшие моды,
которые характеризуются волновыми числами где Частоты этих мод получаются из формулы (4.1):
| (4.2) |
Здесь использовано приближение при Эта
зависимость изображена на рис. 4.2.
| Рис. 4.2. |
Обратим внимание, что низшие частоты располагаются эквидистантно:
Поэтому период биений (см. также формулу (3.14)) получается равным:
| (4.3) |
Если учесть, что длина шнура то скорость
движения импульса в среде без дисперсии равна:
| (4.4) |
Если мы будем увеличивать число масс на шнуре фиксированной длины, тем
самым уменьшая расстояние то мы сделаем предельный переход к непрерывному
распределению масс - т.е. к однородному весомому шнуру, при этом
| (4.5) |
является массой единицы длины однородного шнура (иногда употребляют термин
"плотность единицы длины"). Поэтому окончательно для скорости
распространения импульса произвольной формы по шнуру имеем
| (4.6) |
Например, в случае тонкого резинового шланга с линейной плотностью натянутого с силой скорость движения
импульса получается равной Такая сравнительно небольшая
величина скорости позволяет легко наблюдать распространение и отражение
импульса.
Итак, подведем некоторые итоги.
1. Если пренебречь периодической структурой среды, то скорость
распространения импульса не зависит от его формы, а сам импульс при
распространении не искажается (нет дисперсии).
2. Если ось x направить вдоль шнура и задать начальное возмущение (в момент
) в виде то с течением времени возмущение шнура будет иметь вид:
| (4.7) |
Первое слагаемое описывает возмущение, бегущее со скоростью в
положительном направлении оси х, указанном на рис. 4.1, а второе
соответствует импульсу, распространяющемуся в противоположном направлении.
3. У концов невесомого шнура с массами оба импульса отражаются. Отраженный
импульс имеет противоположную полярность (направление смещения ) по
сравнению с падающим.
Аналогичные граничные условия реализуются для сплошного массивного шнура с
закрепленными концами (рис. 4.3).
| Рис. 4.3. |
4. В области перекрытия бегущих импульсов образуется колебание, называемое
стоячей волной. Так мы приходим к понятиям бегущих и стоячих волн, при этом
стоячая волна может рассматриваться как суперпозиция волн, бегущих в
противоположных направлениях.
Рассмотрим колебания невесомого шнура с грузами, правый
конец которого закреплен, а левый под действием внешней силы в момент
времени начинает смещаться по гармоническому закону:
| (4.8) |
Под действием этой силы грузы, связанные друг с другом отрезками натянутого
шнура, рано или поздно начнут совершать вынужденные гармонические колебания
с частотой Естественно, что систему грузов (по аналогии с
системой с двумя грузами) можно заметно раскачать лишь в случае резонанса,
когда частота совпадает с одной из нормальных частот
Вначале придут в движение грузы вблизи левого подвижного конца шнура, а с
течением времени в колебания будут вовлекаться все новые грузы.
Такие колебания представляют собой волновой процесс (волну),
распространяющийся "слева - направо" с некоторой скоростью На
рис. 4.4 изображены положения колеблющихся масс в некоторый момент времени
Поскольку грузы колеблются "поперек" направления распространения
(оси Oх), то волна называется поперечной. Эта волна добежит до правого
закрепленного конца шнура и отразится. После этого будут существовать две
волны: исходная бегущая (иногда ее называют падающей волной) и отраженная
волна, которая бежит навстречу падающей. Спустя время отраженная волна достигнет левого конца, снова отразится, и
"сформируется" мода колебаний. Конфигурация этой моды задается волновым
числом (см. соотношение (4.1)).
| Рис. 4.4. |
Рассмотрим подробнее падающую волну с этим Пространственный период
изображенный на рис. 4.4 как минимальное расстояние между
массами, колеблющимися в фазе, называется длиной волны. Длина волны связана
с волновым числом соотношением:
| (4.9) |
Если силы вязкого трения, приложенные к каждому из грузов, малы, то
амплитуды колебаний всех грузов будут одинаковы и равны Теперь мы
можем записать уравнение бегущей волны - уравнение, описывающее смещение
любой из масс в произвольный момент времени. Для частоты
волнового числа и амплитуды оно имеет вид:
| (4.10) |
Выражение называется фазой волны.
Уравнение (4.10) отражает тот факт, что все массы колеблются с одинаковой
частотой имеют одинаковую амплитуду однако эти
колебания различаются по фазе
Назад| Вперед
Посмотреть комментарии[2]
|