Если энергия не подводится извне, то колебания
связанных осцилляторов будут затухать. Поскольку сила вязкого трения
пропорциональна скорости, то уравнения (3.21) с учетом затухания примут вид:
| | (3.34)
Здесь и - коэффициенты затухания для первого и второго осцилляторов. Если
искать решение этой системы в виде нормальных затухающих колебаний:
| | (3.35)
то после подстановки (3.35) в (3.34) можно найти нормальную частоту
, коэффициент затухания и конфигурацию каждой из
двух мод. Опуская промежуточные выкладки, отметим, что при и (слабое затухание) нормальные
частоты и распределение амплитуд в модах будут близки к тем, что и в
отсутствие затухания. Для коэффициента затухания получается
выражение:
| | (3.36)
Можно видеть, что при произвольном соотношении между и коэффициенты затухания мод и получаемые из (3.36) при и
будут различными.
Если парциальные частоты совпадают то
| | (3.37)
Если а то
| | (3.38)
Последним результатом мы воспользуемся при рассмотрении диссипации энергии в
связанной колебательной системе.
Рассмотрим колебания двух одинаковых масс (рис. 3.10а), закрепленных на растянутом легком резиновом
шнуре.
| Рис. 3.10. |
Если один из грузов оттянуть на расстояние (б) и затем
одновременно отпустить обе массы, то их колебания будут иметь вид биений. С
другой стороны, при этих начальных условиях будут возбуждены две моды (в и
г) с одинаковыми амплитудами колебаний обеих масс, равными
Энергия, запасенная в первой моде, равна сумме кинетических энергий обеих
масс при прохождении ими положения равновесия со скоростью т.е.:
| | (3.39а)
а энергия второй моды, аналогично, равна
| | (3.39б)
Важно отметить, что энергообмен между модами отсутствует, а полная энергия
системы равна сумме энергий ее мод. В то же время в процессе биений энергия
первого осциллятора за время, равное половине периода биений, "перетекает"
ко второму осциллятору и затем за такое же время возвращается обратно.
Полный энергообмен между осцилляторами возможен лишь тогда, когда обе массы
одинаковы и отношение равно целому числу т.е.:
| | (3.40)
Следовательно, частота должна быть кратной частоте биений. В
самом деле, при выполнении условия (3.40) каждая из масс будет периодически
останавливаться в положении равновесия (как следует из формул (3.17)). С
течением времени колебания будут затухать, и будет экспоненциально
уменьшаться энергия, запасенная в модах:
| | (3.41а)
| | (3.41б)
Важно подчеркнуть, что через время
энергия каждой из мод уменьшится в е раз, при этом противофазная мода
"потеряет" больше энергии, чем синфазная, поскольку начальная энергия
у нее была больше, чем (см. (3.39)).
Рассмотрим основные закономерности вынужденных
установившихся колебаний в системе, изображенной на рис. 3.11, если на левую
массу действует сила
Уравнения движения в этом случае будут отличаться от (3.34) наличием этой
силы в правой части первого уравнения:
| | (3.42)
Нетрудно догадаться, что решениями этой системы в установившемся режиме
являются гармонические функции
| | (3.43)
которые отражают тот факт, что обе массы колеблются на частоте вынуждающей
силы. Подставляя (3.43) в (3.42), можно вычислить амплитуды и фазы
вынужденных колебаний. Мы ограничимся лишь обсуждением результатов.
| Рис. 3.11. |
На рис. 3.12 изображена АЧХ для первого осциллятора, к которому приложена
сила. Обращает на себя внимание наличие двух резонансов, которые при малом
затухании наблюдаются на нормальных частотах и
. При изменении частоты от до
амплитуда падает и достигает минимума на второй парциальной
частоте при этом с уменьшением затухания амплитуда на этой
частоте стремится к нулю. Это обстоятельство используют для подавления
отклика системы на действие внешней силы. В радиотехнике, где используются
связанные колебательные контуры, их применяют как фильтры и демпферы.
| Рис. 3.12. |
Два резонанса имеют место и для смещения второй массы. Если
проанализировать отношение амплитуд в зависимости от
частоты то оказывается, что это отношение вблизи частоты равно коэффициенту распределения амплитуд для
первой моды, а вблизи частоты - коэффициенту распределения
амплитуд для второй моды. Это используется для
определения этих коэффициентов, поскольку при вынужденных колебаниях это
сделать проще, чем при собственных.
Назад| Вперед
Посмотреть комментарии[2]
|