Свободные незатухающие колебания в системах с двумя степенями свободы.
Нормальные колебания (моды). Парциальные и нормальные частоты. Биения.
Понятие спектра колебаний. Методика анализа колебаний 2-х связанных
осцилляторов. Затухание колебаний и диссипация энергии. Вынужденные
колебания. Резонанс. Колебания систем со многими степенями свободы.
Дисперсионное соотношение.
Наблюдая колебания массы  подвешенной на легкой пружине жесткости 
нельзя не обратить внимание на то, что, наряду с вертикальными колебаниями
груза, возникают и так называемые маятниковые колебания (из стороны в
сторону) (рис. 3.1).
 | | Рис. 3.1. |
Наиболее сильными эти маятниковые колебания будут тогда, когда частота
вертикальных колебаний  будет равна удвоенной частоте
маятниковых колебаний  ( - длина растянутой пружины при
неподвижном грузе). Такой результат легко понять, если рассматривать
маятниковые колебания как резонансные параметрические колебания, при этом
параметр маятника - длина пружины - меняется при вертикальных колебаниях
на величину  (см. предыдущую лекцию). В течение некоторого
времени маятниковые колебания могут усиливаться за счет уменьшения энергии
вертикальных колебаний. Затем процесс пойдет в обратном направлении:
маятниковые колебания начнут ослабевать, "возвращая" энергию усиливающимся
вертикальным колебаниям. Следовательно, вертикальные колебания не будут
гармоническими, что связано с наличием маятниковых колебаний,
соответствующих возбуждению второй степени свободы. При определенных
условиях могут возникать и крутильные колебания груза вокруг вертикальной
оси пружины. Опыт показывает, что наиболее сильными эти колебания будут в
том случае, когда их частота  - коэффициент
жесткости пружины при ее скручивании, рассмотренный в лекции по деформации
твердого тела,  - момент инерции тела относительно вертикальной оси) будет
примерно в два раза меньше частоты вертикальных колебаний. В общем случае в
этой системе могут происходить четыре типа колебаний, соответствующих
четырем степеням свободы: одно вертикальное, два маятниковых в двух
взаимно-перпендикулярных плоскостях и одно крутильное.
Таким образом, перед нами возникает задача изучения основных закономерностей
колебаний в системах с двумя, тремя и более степенями свободы, затем можно
рассмотреть и колебания сплошной среды, как системы с бесконечно большим
числом степеней свободы.
На рис. 3.2 изображены три различные колебательные системы с двумя степенями
свободы. Первая из них (а) - это два различных пружинных маятника,
связанные пружиной с жесткостью  Вторая (б) - два груза с массами
 и  закрепленные на натянутом некоторой силой  невесомом
резиновом шнуре. Третья (в) - два связанных пружиной  различных
маятника, каждый из которых состоит из груза, подвешенного на невесомом
стержне.
 | | Рис. 3.2. |
Колебания грузов в каждой из трех систем описываются двумя временными
зависимостями их смещений  и  Положительное
направление смещения  на рисунке указано стрелками.
Опыт показывает, что при произвольном способе возбуждения колебания не будут
гармоническими: амплитуда колебаний каждой из масс будет периодически
меняться во времени. Однако можно создать такие начальные условия, при
которых каждый груз будет совершать гармонические колебания с одной и той же
частотой  :
 | | (3.1)
Частота этих колебаний \omega определяется свойствами системы. Отношение
 | | (3.2)
также определяется параметрами системы. Эта безразмерная алгебраическая
величина  называется коэффициентом распределения амплитуд при
гармоническом колебании. Отметим, что  и  могут иметь
любой знак. Если  то смещения обеих масс всегда происходит в
одну сторону (синфазные колебания), а при  - в
противоположные стороны (противофазные колебания). Гармонические колебания
(3.1) называются нормальными колебаниями, или модами, а частота
называется нормальной частотой. Таким образом, мода характеризуется двумя
параметрами: частотой и коэффициентом  определяющим
"конфигурацию" моды.
Практика показывает, что в системе с двумя степенями свободы могут
существовать синфазные гармонические колебания с частотой  и
противофазные гармонические колебания с частотой 
Следовательно, в системе могут быть возбуждены две моды:
| I мода |  | (3.3) |
| II мода |  | (3.4) |
Нетрудно теперь понять, что любое колебание связанной линейной системы с
двумя степенями свободы (а именно такие системы мы будем далее
рассматривать) может быть представлено в виде суперпозиции двух нормальных
колебаний (3.3) и (3.4):
 | | (3.5)
Не прибегая пока к детальному математическому исследованию, проанализируем
поведение системы с двумя степенями свободы, пользуясь основными идеями,
развитыми в предыдущих лекциях. Представим любую из систем, изображенных на
рис. 3.2, как сложную систему, состоящую из двух парциальных систем. Эти
парциальные системы, соответствующие случаю (а) рис. 3.2, показаны на рис.
3.3: каждая из этих парциальных систем имеет собственную частоту колебаний,
которая называется парциальной частотой.
 | | Рис. 3.3. |
Величины этих парциальных частот, соответственно, равны:
 | | (3.6)
Совершенно очевидно, что частота  - это частота колебаний
массы в системе двух связанных маятников, когда масса 
неподвижна (заблокирована вторая степень свободы). Аналогично, с частотой
 будет колебаться масса когда неподвижна масса
Теперь перейдем к определению нормальных частот и  Вспомним, что квадрат частоты гармонических колебаний равен
отношению возвращающей силы к смещению груза и величине его массы 
Подберем начальные смещения масс и таким образом, чтобы | 
