Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов

2.4. Фермиевские электроны

Выше (см. 2.2), рассматривая поведение валентных электронов в объеме кристалла, мы положили в основу модель идеального газа. В результате получили, что при температурах ниже температуры вырождения электронный газ занимает энергетические состояния внутри объема, ограниченного поверхностью Ферми. Следовательно, такие электроны считать свободными можно лишь весьма условно. Они свободно могут перемещаться по всему кристаллу, но все электроны, занимающие состояния в глубине, далеко от поверхности Ферми, не могут изменить свое энергетическое состояние при внешних воздействиях, так как все расположенные рядом состояния заполнены. Они энергетически "скованы" аналогично молекулам жидкости, находящимся внутри объема, а не на ее поверхности.

В металлах, например, энергия Ферми составляет несколько (1-6эВ) электрон-вольт. Возможные же изменения энергии в электронной системе при изменении температуры, в электрическом и магнитном полях значительно меньше энергии Ферми.

При отличной от нуля температуре в результате неупругого взаимодействие с ионами решетки (рассеянии электронов решеткой) энергия электрона изменяется на величину порядка энергии kТ тепловых колебаний ионов. При комнатной температуре эВ, так что вплоть до температур К (до плавления) отношение не превышает 0,05.

Приращение энергии электрона в электрическом поле обычно в лабораторных и технических условиях не превышает 10^-4 -10^-6 эВ.

Как известно, при движении электронов в постоянном магнитном поле их энергия не меняется. (Энергия электрона изменяется только во время включения магнитного поля в результате возникающего при этом вихревого электрического поля . Изменение энергии в магнитном поле связано только с квантованием энергии и в экспериментально достижимых магнитных полях ( Тл) не превосходит 10^-3 E_F.

Приведенные оценки показывают, что во взаимодействии с внешними полями может принимать участие лишь небольшая часть электронов, расположенных в узком () энергетическом слое вблизи поверхности Ферми (так называемые, фермиевские электроны), поскольку только для них имеются свободные состояния выше по энергии, в которые они могут переходить после взаимодействия.

Электроны, расположенные ниже уровня Ферми на расстояниях больше , в отдельности не могут взаимодействовать с внешними полями, так как все состояния, в которые они могли бы перейти после взаимодействия, заполнены другими электронами. Однако это не означает, что все электроны одновременно не могут изменить свою энергию на одну и ту же величину. Поэтому все распределение электронов, описываемое функцией (2.4), может смещаться под действием внешних сил как единое целое. Однако величина этого смещения при наличии рассеяния определяется рассеянием (взаимодействием) только электронов, расположенных вблизи энергии Ферми, в слое толщиной . Таким образом, поведение всей системы электронов с энергией определяется характером взаимодействия (рассеяния) только электронов, расположенных вблизи уровня Ферми. Именно эти электроны мы и будем рассматривать в дальнейшем. Так как фермиевских электронов мало, то даже при наличии взаимодействия в системе электронов их можно рассматривать как почти идеальный газ слабо взаимодействующих частиц с близкими значениями энергии.

2.5. Эффективный потенциал решетки.

Электроны в металле находятся в кулоновском потенциальном поле ионов, образующих кристаллическую решетку. Характер взаимодействия валентных (внешних) электронов с ионным остовом играет фундаментальную роль во всей физике твердого тела.

Наличие отрицательно заряженного электронного газа в металле приводит к тому, что электрическое поле, создаваемое положительно заряженными ионами, является ослабленным по сравнению с кулоновским полем изолированных ионов в результате его экранировки облаком отрицательно заряженных внешних электронов. Благодаря этому область, в которой потенциальная энергия электрона вблизи выделенного иона имеет узкий глубокий минимум, значительно сужается (рис.9а). В остальной части пространства внутри решетки потенциальная энергия электрона остается практически постоянной (рис. 14а).

а	б
Рис. 9. Потенциальная энергия электрона (9а) - в кулоновском поле с потенциалами: - - изолированного иона и - - иона, экранированного внешними электронами; (9б) - в эффективном поле [Н.Б.Брандт, С.М.Чудинов, 1990, II.I, 8; У.Харрисон, 1972, гл.II, 5].

В области постоянного потенциала движение электрона можно рассматривать как движение свободной частицы, волновая функция которой представляет собой плоскую волну.

Попадая в потенциальную яму, электрон захватывается ионом и описывается быстро осциллирующими волновыми функциями связанных электронных состояний, характерных для валентных электронов атомов решетки (рис.10а). Область действия ионных потенциалов на рис.10 условно показана в виде заштрихованных кружков.

Рис. 10. Схематическое изображение волновых функций в кристалле. (а) - радиальная часть волновой функции электрона в кристалле в поле истинного потенциала, которую можно представить как комбинацию плоской волны (рис. 10б) и осциллирующих волновых функций связанных состояний (рис. 10в). (б) - плоская волна свободного электрона в слабом эффективном поле решетки (приближение свободных электронов). (в) - быстро осциллирующая вблизи ионных сердцевин волновая функция связанных электронных состояний (радиальная часть функций типа ) (приближение сильносвязанных электронов).

Вид волновой функции электрона в кристалле (рис. 10а) достаточно сложен и ее практически не возможно использовать для расчетов и построения простых наглядных моделей.

Задачу можно существенно упростить, если учесть следующее обстоятельство.

Попадая в область сильного потенциала иона, электрон сначала ускоряется, его кинетическая энергия растет, а затем замедляется до первоначального значения скорости. В области сильного потенциала электрон движется с большей скоростью и проводит значительно меньше времени. Проскакивание потенциальной ямы для фермиевских электронов - частиц с высокими энергиями порядка , можно рассматривать как "стремление" иона вытолкнуть быстрые электроны, то есть как некоторый дополнительный отталкивающий потенциал. Результирующий потенциал, представляет собой комбинацию экранирующего кулоновского потенциала и дополнительного отталкивающего потенциала называется эффективным потенциалом . В простейшем случае, внутри иона его можно считать постоянным (рис.9б) [В.Хейне и др., 1973, У.Харрисон, 1972]. Вид потенциальной энергии электрона в поле эффективного потенциала изображен на рисунке 9б. По величине эффективный потенциал мал, так что связанные состояния у электронов не возникают и электрон в объеме всей решетки можно рассматривать как свободную частицу, движущуюся в слабом эффективном потенциальном поле (рис. 10б).

Параметры эффективного потенциала решетки подбираются таким образом, чтобы энергетический спектр электронов, описываемых плоскими волнами (рис.10б), совпадал с энергетическим спектром электронов, описываемых сложными волновыми функциями (типа рис.10а), в истинном потенциале решетки .

Таким образом, движение электрона в кристалле можно описывать волновыми функциями в виде плоских волн, распространяющихся в поле малого периодического потенциала.

Литература: [Н.Б.Брандт, С.М.Чудинов, 1990, ч. II, гл.1, 8; Дж.Займан, 1966, гл.3, 3; Н.Д.Папалекси и др., 1948; Ч.Киттель, 1978, гл.10; В.Хейне и др., 1973, гл. I, II, п.1,2; У.Харрисон, 1972]

2.6. Электрон в поле эффективного периодического решеточного потенциала.

2.6.1. Влияние периодичности структуры решетки.

Предположим сначала, что эффективный потенциал мал, и покажем, что из периодичности эффективного потенциала вытекают два основных следствия: периодичность амплитуды волновой функции и неоднозначность волнового вектора.

2.6.1.1. Периодичность амплитуды волновой функции

Периодичность потенциала идеальной решетки приводит к электронным волновым функциям , похожим на волновые функции свободных электронов (1.1), но содержащим модулирующий множитель C_{ k}(r)с периодичностью кристаллической решетки:

(2.17)

Действительно, так как точки (r) и (r+S), где

, а аe_x,ae_y, ae_z - основные трансляционные периоды решетки, физически эквивалентны (трансляционная инвариантность), то плотности вероятности нахождения электрона в них должны быть одинаковыми и следовательно, амплитуда электронной волны (2.1) также должна быть периодической функцией с периодом решетки:

Назад| Вперед