Научная Сеть >> Зонная структура <b style="color:black;background-color:#ffff66">электронного</b> энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов.

Наука >> Физика >> Общая физика >> Электричество и магнетизм | Курсы лекций

См. также

Магнитные структуры в кристаллических и аморфных веществах: Необходимые условия для возникновения упорядоченных магнитных структур в твердых телах

Лабиринты фотонных кристаллов: Чужие здесь не ходят

Автоэлектронная эмиссия

Новости физики в банке препринтов

Аморфные и стеклообразные полупроводники

Сканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: picture4

Наноэлектроника - основа информационных систем XXI века: Квантовое ограничение

Оже-эффект

Прецизионная Фотометрия: 2922

Роль вторичных частиц при прохождении ионизирующих излучений через биологические среды: Черняев А.П., Варзарь С.М., Тултаев А.В.

Сканирующая туннельная микроскопия - новый метод изучения поверхности твердых тел: Атомная реконструкция поверхностей; структура

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture1

Физика 2002: итоги года

Межатомное взаимодействие и электронная структура твердых тел: Зонная теория и переходы "металл-изолятор"

Антивещество

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: picture6

Акустический парамагнитный резонанс

Ядерный магнитный резонанс: Введение

Термояд: сквозь тернии к звездам. Часть 1: Машина, работающая в двух совершенно разных режимах

Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов

Г.А. Миронова (Кафедра общей физики, Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова)
Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова, 2001 г.

Содержание

N7 Энергия Ферми. Рассчитать значение энергии Ферми и температуру вырождения гелия ³He в жидком состоянии и в газообразном состоянии при атмосферном давлении $Т \approx 300К$ . Плотность жидкого ³He принять равной $\rho =0,081г/см ^{ 3}$ .

Примечание. Атомы гелия существуют в двух стабильных изотопных состояниях ³He и ⁴He с массами 4 и 3 в атомных единицах. Структура электронных оболочек: 1s² . Атомы гелия имеют малый радиус и очень малый дипольный момент. Поэтому Ван-дер-Ваальсовское взаимодействие между атомами очень мало и газообразный гелий является практически идеальным газом с очень низкой температурой конденсации. Температура кипения жидкого ³He при атмосферном давлении - 3,34К ( ⁴He- 4,2К).

Ядерный спин у ⁴He равен нулю, так что атомы ⁴He образуют либо Бозе-газ, либо Бозе-жидкость. Спин ядра у ³He равен 1/2 и атомы ³He являются фермионами, и подчиняются статистике Ферми-Дирака, так же как и электроны.

Благодаря малости массы атомов и слабости их взаимодействия, длина волны де Бройля $\lambda = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle h}}{\displaystyle {\displaystyle mV}}}$ при температурах порядка 1К сравнима с межатомным расстоянием атомов в жидкости. Поэтому жидкие ⁴He и ³He являются чисто квантовыми объектами - квантовыми жидкостями, которые не замерзают при охлаждении до самых низких температур.

Решение. Используя уравнение состояния идеального газа $P=nkT$ для определения концентрации $n$ газообразного гелия и зависимость энергии Ферми от концентрации Ферми-частиц (2.3), $E_{ F} \left( {\displaystyle 0} \right) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \hbar ^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle 2m_{ 0} }}}\left( {\displaystyle 3\pi ^{ 2}n} \right)^{2/3} ,$ получим

$E_{ F} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \hbar ^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle 2m_{ He} }}}\left( {\displaystyle 3\pi ^{ 2}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle P}}{\displaystyle {\displaystyle kT}}}} \right)^{2/3} \approx 8 \cdot 10^{ - 25}Дж.$

Численное значение получено для атмосферного давления и комнатной температуры $Т \approx 300К$ . Столь низкая температура вырождения гелия $Т*=Е _{ F} /k \approx 6 \cdot 10 ^{ - 2} K$ означает, что гелий при комнатных условиях является чисто классическим газом, подчиняющимся распределению Максвелла-Больцмана.

Для жидкого гелия, концентрация которого равна $n= \rho /m _{ He} =1,62 \cdot 10 ^{ 26} кг/м ^{ 3}$ энергия Ферми имеет значение $E_{ F} \left( {\displaystyle 0} \right) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \hbar ^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle 2m_{ 0} }}}\left( {\displaystyle 3\pi ^{ 2}n} \right)^{ 2/3} \approx 6 \cdot 10 ^{ - 23} Дж,$ а температура вырождения $Т*=Е _{ F} /k \approx 4K$ составляет несколько единиц градусов Кельвина, что означает, что жидкий гелий является вырожденным.

Ответ: Для газообразного гелия энергия Ферми равна $E_{ F} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \hbar ^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle 2m_{ He} }}}\left( {\displaystyle 3\pi ^{ 2}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle P}}{\displaystyle {\displaystyle kT}}}} \right)^{ 2/3} \approx 8 \cdot 10^{ - 25} Дж.;$ температура вырождения - $Т*=Е _{ F} /k \approx 6 \cdot 10 ^{ - 2} K;$ для жидкого гелия: $E_{ F} \left( {\displaystyle 0} \right) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \hbar ^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle 2m_{ 0} }}}\left( {\displaystyle 3\pi ^{ 2}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \rho }}{\displaystyle {\displaystyle m_{ He} }}}} \right)^{ 2/3} \approx 6 \cdot 10 ^{ - 23} Дж, Т*=Е _{ F} /k \approx 4K$

N8 Энергия Ферми. Рассчитать значение энергии Ферми в модели свободных электронов для Na, K, Al, если плотности и молекулярные массы этих элементов равны, соответственно:

$\rho (Na)=0,97г/см ^{ 3} , \rho (К)=0,86г/см ^{ 3 }, \rho (Al)=2,7г/см ^{ 3} ; М(Na)=23,0г/моль, М(K)=39,1г/моль, M(Al)=27,0г/моль.$

Решение. Из соотношений (2.3) и (2.5)

$E_F(0)=\frac{\displaystyle p_F^2}{\displaystyle 2m_0}=\frac{\displaystyle \hbar}{\displaystyle 2m_0}(3\pi^2 n)^{ 2/3},$

$n=\frac{\displaystyle zN}{\displaystyle W} = z{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle N_{ A} \rho }}{\displaystyle {\displaystyle M}}},$

значение энергии Ферми можно выразить через молярную массу $M$ , валентность $z$ и плотность $\rho$ . Тогда получим общее выражение для энергии Ферми

$E_{ F} = 4,15 \cdot 10^{ - 21}\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle z\rho }}{\displaystyle {\displaystyle \mu }}}} \right)^{ 2/3}$ (в единицах системы СИ)

(1)

и ее значение для указанных металлов.

Ответ: $Е _{ F} (Na) \approx 3,1эВ, Е _{ F} (К) \approx 2,1эВ, Е _{ F} (Al) \approx 11,7эВ.$

N9. Энергия Ферми. Вычислить энергию Ферми и максимальную скорость электронов при $Т=0$ для меди в предположении, что на один атом приходится один свободный электрон, для которого . Плотность меди $\rho =8,9г/см ^{ 3} .$

Ответ: Используя результат (1) задачи N8, получим $Е _{ F} (Cu) \approx 7эВ.$ Максимальная скорость $V_{ \max } = \sqrt {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2E_{ F} }}{\displaystyle {\displaystyle m_{ 0} }}}} \approx 1,6 \cdot 10^{ 6} м/c.$

N10 Средняя энергия электронов [А.Н.Матвеев, 1987, $\S$ 16]. Показать, что средняя энергия электронов в зоне проводимости металла при $Т=0^\circ$ К равна ${\displaystyle \left\langle {\displaystyle E} \right\rangle } = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 3}}{\displaystyle {\displaystyle 5}}}E_{ F} .$

Решение. Число электронов $dN(p)$ с импульсом $p$ равно удвоенному за счет спина числу электронных состояний в сферическом слое толщины $dp:$

$dN\left( {\displaystyle p} \right) = 2{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 4\pi p^{ 2}dp}}{\displaystyle {\displaystyle \left( {\displaystyle 2\pi \hbar } \right)^{ 3} / W}}}.$

где в знаменателе стоит величина элементарного квантового объема одного состояния (1.21).

Таким образом, суммарная энергия всех $N$ электронов, заполняющих при $Т=0$ сферу радиуса $p _{ F}$ равна

$E_{ N} = \int {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle p^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle 2m}}}} dN\left( {\displaystyle p} \right) = {\displaystyle \int\limits_{ 0}^{ p_{ F} } {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle p^{ 2}}}{\displaystyle {\displaystyle 2m}}} \cdot 2{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 4\pi p^{ 2}dp}}{\displaystyle {\displaystyle \left( {\displaystyle 2\pi \hbar } \right)^{ 3} / W}}}} } = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 3}}{\displaystyle {\displaystyle 5}}}NE_{ F} \left( {\displaystyle 0} \right)$

где $E_{ F} \left( {\displaystyle 0} \right) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle p_{ F}^{ 2} }}{\displaystyle {\displaystyle 2m}}} , N = 2{\displaystyle \frac{4/3\pi p_{ F}^{ 3} dp}{\displaystyle {\displaystyle \left( {\displaystyle 2\pi \hbar } \right)^{ 3} / W}}}$

В отличие от классической механики, когда средняя энергия одной частицы определяется температурой $E _{ 1} =3/2kT$ и при $Т=0$ равна нулю $E _{ 1} (0)=0,$ средняя энергия электронного Ферми-газа даже при нуле температуры отлична от нуля и равна ${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 3}}{\displaystyle {\displaystyle 5}}}E_{ F} .$

N11. Давление и модуль объемного сжатия электронного газа. Полагая электронный газ в металле идеальным, определить давление $Р$ и модуль объемного сжатия $К$ ( $К=1/ \beta , \beta = - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle W}}}\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \partial W}}{\displaystyle {\displaystyle \partial P}}}} \right)_{ T}$ - изотермический коэффициент сжимаемости) электронного газа при температуре $Т$ равной нулю.

Решение. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов связывает давление $Р$ и среднюю энергию, приходящуюся на одну частицу $\left\langle {\displaystyle E_{ 1} } \right\rangle$

$P = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2}}{\displaystyle {\displaystyle 3}}}n{\displaystyle \left\langle {\displaystyle E_{ 1} } \right\rangle }$

(1)

Средняя энергия одного электрона (см. задачу N10) при $Т=0$ равна

${\displaystyle \left\langle {\displaystyle E_{ 1} } \right\rangle } = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E_{ N} }}{\displaystyle {\displaystyle N}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 3}}{\displaystyle {\displaystyle 5}}}E_{ F} .$

(2)

В свою очередь энергия Ферми $E _{ F}$ связана с концентрацией $n$ соотношением (2.3)

$E_F(0)=\frac{\displaystyle p_F^2}{\displaystyle 2m_0}=\frac{\displaystyle \hbar}{\displaystyle 2m_0}(3\pi^2 n)^{ 2/3}$

(3)

На основании системы уравнений (1)-(3) для давления электронного газа при температуре $Т=0$ получим выражение

$P = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2}}{\displaystyle {\displaystyle 3}}}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle E_{ N} }}{\displaystyle {\displaystyle W}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2}}{\displaystyle {\displaystyle 5}}}nE_{ F} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \hbar ^{ 2}\left( {\displaystyle 3\pi ^{ 2}} \right)^{ 2/3}}}{\displaystyle {\displaystyle 5m}}}n^{5/3}.$

(4)

Таким образом, даже при нуле температуры давление электронного газа не равно нулю в отличие от давления классических газов.

Для идеального электронного газа, используя соотношение (4) и учитывая, что $n=N/W,$ получим

$K = - W\left( {\displaystyle - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 5}}{\displaystyle {\displaystyle 3}}}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle P}}{\displaystyle {\displaystyle W}}}} \right) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 5}}{\displaystyle {\displaystyle 3}}}P.$

Ответ: $K = - W\left( {\displaystyle - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 5}}{\displaystyle {\displaystyle 3}}}{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle P}}{\displaystyle {\displaystyle W}}}} \right) = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 5}}{\displaystyle {\displaystyle 3}}}P .$

Назад| Вперед

Физический факультет МГУ

Написать комментарий