Научная Сеть >> Основы квантовой механики

Наука >> Физика >> Теоретическая физика >> Квантовая механика | Курсы лекций

См. также

Проект Краткая Энциклопедия "Физика" (Вопросы и ответы): 1301

Открытие неклассической логики поведения квантовых объектов - одно из удивительных достижений современной физики: Об интерпретациях классической и квантовой теорий

Утро квантовой эры. Три четверти века назад появилось нестационарное уравнение Шредингера.

О лженауке, ее последствиях и об ошибках в науке

Зонная структура электронного энергетического спектра в твердых телах. Модели свободных и сильно связанных электронов.: ref2

75 лет волновой механике и стационарному уравнению Шредингера.

Наноэлектроника - основа информационных систем XXI века: Квантовые основы наноэлектроники

Открытие неклассической логики поведения квантовых объектов - одно из удивительных достижений современной физики: ref2

11 января - день рождения Д.И. Блохинцева

Векторное пространство

Квантовые ямы, нити, точки. Что это такое?: Классические и квантовые законы движения электронов

Первый в мире и в России журнал о квантовых компьютерах!

Горячие ядра и фазовый переход жидкость-газ в ядерном веществе: Введение

Новая ситуация в квантовой механике (о возможностях управления спектрами, рассеянием, распадами)

Соотношение неопределенностей или принцип дополнительности?

Мировая линия Гамова

Алгебраический подход в квантовой теории поля

Законы физики в космосе

Основы квантовой механики.

А.В. Борисов (Физический факультет МГУ)
Физический факультет МГУ, 1998 г.

Содержание

Задача об атоме водорода - одна из фундаментальных проблем квантовой механики, успешное решение которой способствовало дальнейшему развитию теории.
Атом водорода состоит из тяжелого ядра (протона массы $m_p\approx 1840m_e$ ) и движущегося в его кулоновском поле электрона. Сначала будем считать ядро бесконечно тяжелым, заменив его неподвижным кулоновским центром (конечность массы ядра учтем позже). Тогда гамильтониан атома можно записать в виде гамильтониана электрона в центральном поле:

$\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla^2-\frac{\alpha}{r}$

, где $\alpha = Ze^2$ . Здесь Z - заряд ядра в единицах заряда электрона, причем Z=1 отвечает атому водорода H, а Z=2,3,... - водородоподобным ионам He⁺, Li⁺⁺,...
Используя результаты п. 9, запишем волновую функцию стационарного состояния электрона, которая является собственной для полного набора наблюдаемых $\hat H, \hat L^2, \hat L_z$ :

$\psi (r) = \frac{\chi (r)}{r}Y_\ell^m(\theta,\varphi$

. Для радиальной функции $\chi$ получаем уравнение

$\frac{d^2\chi}{dr^2} + \frac{2m}{\hbar^2}\left(E+\frac{\alpha}{r}-\frac{\hbar^2\ell(\ell + 1)}{2m_er^2}\right)\chi =0$

. Нетрудно показать, что при E>0 спектр гамильтониана непрерывен. В этом случае $|\chi| \lt \infty$ , но $\|\chi\|=\infty$ , что отвечает инфинитному движению электрона, и атом водорода как связанная система электрона и ядра не существует. Мы ограничимся поэтому рассмотрением дискретного спектра: E<0.
Обозначим

$k^2 = -\frac{2m_eE}{\hbar^2} \gt 0$

и введем вместо r безразмерную переменную

$\rho=kr$

. Тогда уравнение на собственные значения примет вид:

$\frac{d^2\chi}{d\rho^2}+\left[-1+\frac{\lambda}{\rho}-\frac{\ell (\ell +1)}{\rho^2}\right]\chi =0$

, введен параметр

$\lambda = \frac{2m_e\alpha}{\hbar^2 k}=\left[-\frac{2m_e\alpha^2}{\hbar^2E}\right]^{1/2}$

. Рассмотрим асимптотику ограниченного решения $(\|\chi\| \lt \infty)$ . При $\rho\to 0$ имеем (см. п. 9)

$\chi\cong\chi_0=C_0\rho^{\ell+1}$

. При $\rho\to\infty$ получаем приближенное уравнение

$\chi''_\infty - \chi_\infty =0$

, откуда

$\chi\cong\chi_\infty=C_\infty e^{-\rho}$

. Поэтому ищем решение в виде

$\chi=\rho^{\ell+1}e^{-\rho}v(\rho)$

. Подставляя его в уравнение на СЗ, находим для функции v уравнение:

$v'' +2\left(\frac{\ell+1}{\rho}-1\right)v'+\frac{1}{\rho}[\lambda -2(\ell +1)]v=0$

. Решение ищем в виде ряда:

$v=\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k\rho^k$

, причем $a_0\ne 0$ , чтобы обеспечить правильную асимптотику $\chi$ при $\rho\to 0$ . Подставив ряд в уравнение, после очевидных замен индекса суммирования k получим:

$\sum\limits_{k=0}^{\infty}\rho^{k-1}\left\{a_{k+1}[k(k+1)+2(\ell +1)(k+1)]-a_k[2(k+\ell +1)-\lambda ]\right\}=0$

. Отсюда следует рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда:

$a_{k+1}=\frac{2(k+\ell +1)-\lambda}{(k+1)[k+2(\ell +1)]}a_k$

. Ряд сходится при всех $\rho$ по признаку Даламбера:

$\lim\limits_{k\to\infty}^{}\frac{a_{k+1}}{a_k}=0$

. Его асимптотическое поведение при больших $\rho$ определяется коэффициентами a_k при $k\gg 1$ :

$a_{k+1}\cong\frac{2}{k+1}a_k\to a_k\cong C\frac{2^k}{k!}$

, откуда

$v\cong Ce^{2\rho}$

, т.е. для произвольного положительного параметра $\lambda$ имеем при $\rho\to\infty$ неприемлемую асимптотику радиальной функции:

$\chi\cong C\rho^{\ell +1}e^\rho$

. Однако существуют такие дискретные значения $\lambda$ , при которых функция $v(\rho)$ становится полиномом:

$\lambda =2(n_r+\ell +1), n_r = 0,1,2,\ldots$

. Тогда $a_{n_r} \ne 0, a_k=0$ при $k\ge n_r+1$ . Вспомнив определение

$\lambda^2 =-\frac{2m_e\alpha^2}{\hbar^2 E}$

, приходим к дискретному спектру атома водорода и водородоподобных ионов:

$E_n=-\frac{m_e\alpha^2}{2\hbar^2}\cdot\frac{1}{n^2}, n=1,2,\ldots$

. Здесь введено главное квантовое число n, связанное с радиальным n_r и орбитальным $\ell$ квантовыми числами соотношением

$n=n_r+\ell +1$

. При заданном n орбитальное число $\ell$ может принимать n значений:

$\ell =0,1,\ldots ,n-1$

. Соответствующие волновые функции стационарных состояний имеют вид:

$\psi_{n\ell m}(r)=\rho^\ell e^{-\rho}v_{n\ell}(\rho)Y_\ell^m (\theta,\varphi)$

, где

$\rho =k_n r, k_n =\left[-\frac{2m_e}{\hbar^2}E_n\right]^{1/2}=\frac{m_e\alpha}{\hbar^2}\cdot\frac{1}{n}$

. Полином $v_{n\ell}(\rho)$ имеет степень $n_r =n-\ell -1$ , равную числу его нулей (узлов). Коэффициенты a_k при k>0 выражаются через a₀ с помощью полученной выше рекуррентной формулы, а a₀ определяется из условия нормировки:

$k_n^{-3}\int\limits_{0}^{\infty}d\rho\rho^{2+2\ell}e^{-2\rho}v_{n\ell}(\rho)=1$

.
Замечание. Можно показать, что $v_{n\ell}$ выражаются через обобщенные полиномы Лагерра

$Q_k^s (x)=e^x x^{-s}\frac{d^k}{dx^k}\left(e^{-x}x^{k+s}\right)$

, и нормированная волновая функция имеет вид:

$\psi_{n\ell m}(r)=2[n(n-\ell -1)!(n+\ell)!]^{-1/2}k_n^{3/2}(2\rho)^\ell e^{-\rho}Q_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(2\rho)$

.
Мы видим, что собственные значения энергии вырождены с кратностью

$\sum\limits_{\ell=0}^{n-1}\sum\limits_{m=-\ell}^{\ell}(2\ell+1)=n^2$

.
Учет спина (две возможные проекции спинового момента на заданное направление) дает кратность d_n=2n², но спектр атома водорода в теории Паули не изменяется, так как отсутствует взаимодействие спинового магнитного момента с магнитным полем. Учет релятивистских эффектов (порядка $(v/c)^2\sim(e^2/\hbar c)^2\approx 5\cdot 10^{-5}$ в атоме водорода) приводит к появлению тонкой структуры спектра. В частности, возникает спин-орбитальное взаимодействие $\sim\hat S\cdot \hat L$ , т.е. взаимодействие спинового магнитного момента с внутриатомным магнитным полем, источником которого является орбитальное движение электрона.
Рассмотрим подробнее атом водорода (Z=1). Мы имеем атомную единицу длины

$a_B = \frac{1}{k_1}=\frac{\hbar^2}{m_e e^2} =0,529\cdot 10^{-8} см$

- боровский радиус (в полуклассической теории это радиус первой боровской орбиты: см. п. 1) и атомную единицу энергии - ридберг:

$Ry=\hbar R=\frac{m_e e^4}{2\hbar^2}=2,18\cdot 10^{-11} эрг = 13,6 эВ$

, где R - постоянная Ридберга, входящая в выражение для спектральных частот излучения.
Энергия основного состояния атома водорода (главное квантовое число n=1) равна

E₁ =-Ry = -13,6 эВ

. Величина I=|E₁| называется потенциалом ионизации. Он равен энергии связи электрона в атоме, определяемой как работа, которую нужно совершить, чтобы удалить электрон из атома.
Квантовая электродинамика (теория, объединяющая квантовую механику электрона и квантовую теорию электромагнитного поля на основе теории относительности) подтверждает гипотезу Бора о частотах спектральных линий:

$\hbar\omega_{n'n}=E_n -E_{n'}, E_n \gt E_{n'}$

. Используя полученное выражение для E_n, приходим к известной формуле Бальмера (п.1):

$\omega_{n'n}=\frac{Ry}{\hbar}\left(\frac{1}{n'^2}-\frac{1}{n^2}\right),n' \lt n$

. Фиксируя n' и меняя n, получим различные спектральные серии. Укажем некоторые из них: n'=1 - серия Лаймана (ультрафиолетовая часть спектра излучения); n'=2 - серия Бальмера (первые 4 линии попадают в видимую часть спектра); n'=3 - серия Пашена (инфракрасная часть спектра).
Важные характеристики атома - вероятности переходов между стационарными состояниями w_n'n. Они определяют интенсивности соответствующих спектральных линий, т.е. мощность излучения W_n'n на частоте $\omega_{n'n}$ . Заметим, что величина $\tau_{n'n}=1/w_{n'n}$ имеет смысл среднего времени жизни электрона на уровне E_n относительно перехода $n\to n'$ , или временного интервала, в течение которого испускается фотон с энергией $\hbar\omega_{n'n}$ . Поэтому

$W_{n'n}=\omega_{n'n}w_{n'n}$

. Согласно квантовой электродинамике в главном (дипольном) приближении (малым параметром является отношение размера атома к длине волны испускаемого фотона) вероятность перехода выражается через матричные элементы r_n'n оператора координаты электрона:

$w_{n'n}=\frac{4\omega_{n'n}^3}{3\hbar c^3}|r_{n'n}|^2$

. Здесь матричный элемент представляет собой интеграл, содержащий квадратичные комбинации волновых функций:

$r_{n'n}=(\psi_{n'},r\psi_n)=\int d^3 x\psi_{n'}^* r\psi_n$

. Для атома водорода индекс состояния n обозначает набор трех квантовых чисел (см. выше): $n\equiv (n,\ell ,m)$ . Для некоторых переходов матричный элемент, а вместе с ним и интенсивность соответствующей спектральной линии, могут обращаться в нуль. Условия, при которых $r_{n'n}\ne 0$ , называются правилами отбора. Можно показать, что для атома водорода (и водородоподобных атомов) они имеют вид:

$\Delta\ell =\ell' -\ell =\pm 1, \Delta m =m' -m=0,\pm 1$

, причем $\Delta n=n'$ произвольно (1,2,...). Правила отбора выражают закон сохранения момента импульса при испускании фотона (спин его равен $\hbar$ ) электроном.
Рассмотрим основное состояние атома водорода: $n=1,\ell =0,m=0$ . Угловая часть волновой функции $Y_0^0 =1/\sqrt{4\pi}$ . Для радиальной части $R_{10}=e^{-\rho}v_{10}$ имеем $n_r=n-\ell -1=0$ , т.е. v₁₀ - полином нулевой степени. Учитывая связь $\rho=k_1 r, k_1 =1/a_B$ получаем полную функцию:

$\psi_{100}(r)=Ce^{-r/a_B}$

. Нормируем ее:

$|C|^2\int d\Omega\int\limits_{0}^{\infty}drr^2e^{-2r/a_B}=4\pi |C|^2(a_B/2)^3\int\limits_{0}^{\infty}dxx^2e^{-x}=1$

. Итак, нормированная волновая функция основного состояния имеет вид:

$\psi_{100}(r)=(\pi a_B^3)^{-1/2}e^{-r/a_B}$

.
Плотность вероятности обнаружить электрон на расстоянии r от ядра равна

$w(r)=\int d\Omega r^2|\psi |^2=4a_B^{-3}r^2e^{-2r/a_B}$

. Максимум вероятности достигается на расстоянии r=r_m, определяемом из условия

$\frac{dw}{dr}=0$

. Получаем в результате r_m=a_B. Следовательно, радиус первой боровской орбиты - расстояние от ядра, на котором вероятность обнаружить электрон максимальна. Поскольку при $r\gg a_B$ плотность экспоненциально мала, то можно сказать, что эффективный размер атома водорода порядка a_B~ 10^-8 см.
Мы видим, что в основном состоянии распределение по координатам сферически симметрично. Это не так в возбужденных состояниях при $\ell\ne 0$ :

$w(\theta,\varphi)\sim |Y_\ell^m|^2\sim\left(P_\ell^m(\cos\theta)\right)^2$

.
Замечание. Угловое распределение вероятности универсально, т.е. одинаково для всех сферически-симметричных потенциалов (см. явный вид некоторых сферических функций $Y_\ell^m$ в п. 7). Что же касается вырождения уровней энергии по орбитальному числу $\ell$ , то оно характерно только для двух типов потенциалов U(r): кулоновского (U~1/r) и потенциала трехмерного осциллятора (U~r²). В.А. Фок (1935) показал, что "случайное" вырождение по $\ell$ в кулоновском поле объясняется наличием более широкой, чем SO(3), группы симметрии SO(4). Это приводит к дополнительному интегралу движения

$\hat A=\frac{{\bf r}}{r}+\frac{1}{2m\alpha}\left(\hat L\times\hat p-\hat p\times\hat L\right)$

, причем $[\hat A,\hat L^2]\ne 0$ . Наблюдаемая $\hat A$ - аналог известного в классической механике вектора Рунге-Ленца, или вектора эксцентриситета: он направлен от фокуса эллиптической орбиты по большой оси к наиболее удаленной точке траектории, а его модуль равен эксцентриситету эллипса.

Назад | Вперед

MMOnline

Посмотреть комментарии[1]

Основы квантовой механики.

Атом водорода

Электрон в поле кулоновского центра