Оператор момента импульса частицы определим, используя принцип соответствия, в виде
Напомним (см. п. 5), что оператор момента естественно определяется как генератор группы вращений в пространстве волновых функций.
На основе коммутаторов (фундаментальных квантовых скобок Пуассона) получаем
Используя циклическую перестановку индексов, получим еще два соотношения. В итоге:
В тензорной форме:
или символически:
Введем оператор квадрата момента
Вычислим его коммутатор с компонентами момента:
Итак, квадрат момента коммутирует со всеми компонентами:
Этого и следовало ожидать, так как скаляр при поворотах системы координат не изменяется.
Рассмотрим теперь алгебру операторов момента в общем виде, не фиксируя ее представление. Выбирая в качестве естественной единицы измерения момента и обозначая (безразмерные) компоненты , получаем коммутационные соотношения в виде:
Введем неэрмитовы сопряженные друг другу операторы
Тогда получим коммутаторы:
Квадрат момента удобно записать так:
Отсюда с учетом находим
В силу существует общая система собственных векторов этих операторов:
Покажем, что Имеем
где учтена эрмитовость операторов .
Из полученных выше тождеств для произведений операторов находим:
Умножив слева скалярно на обе части этих равенств, получим с учетом :
Следовательно,
В силу неотрицательности нормы вектора имеем:
или
Отсюда
где
Получаем решение системы неравенств:
Обозначим
Тогда находим:
Далее собственные векторы будем обозначать .
Так как , то тогда и только тогда, когда .
С учетом ограничения приходим к выводу:
Пусть . Учитывая соотношения
находим
Следовательно,
Аналогично найдем:
Выше было получено:
Рассмотрим последовательность векторов
Очевидно, что
,
причем
Ясно, что существует целое неотрицательное число n+ такое, что
т.е. m+n+=j.
Итак,
причем существует n+ собственных векторов операторов и :
отвечающих собственным значениям оператора , равным
Аналогично получаем для последовательность векторов
принадлежащих СЗ , равным соответственно
Из условий
следует, что
Итак, СЗ оператора равны j(j+1), где
СЗ оператора таковы:
Для общего СВ операторов и возможны 2j+1 значений m:
Вернемся к соотношениям
Выберем и фиксируем фазу вектора так, чтобы было действительным неотрицательным числом. Тогда получим
Отсюда с учетом уже полученного соотношения
находим:
Подведем итоги. Исходя из существования одного вектора , мы построили всего 2j+1 ортонормированных векторов:
Они образуют базис 2j+1-мерного пространства H(j) , инвариантного относительно действия операторов момента .
Соберем вместе основные полученные соотношения:
Исследование свойств момента было основано только на коммутационных соотношениях и эрмитовости операторов момента, а также на неотрицательности нормы векторов состояний. Далее мы рассмотрим конкретные представления алгебры момента.
Назад | Вперед
Посмотреть комментарии[1]
|