Научная Сеть >> Механика сплошных сред

Наука >> Физика >> Общая физика >> Механика >> Механика сплошных сред | Курсы лекций

Посмотреть комментарии[3]

Добавить новое сообщение

См. также

О.Б. Лупанов. Математика и механика в Московском университете

Вариационные принципы механики

22 января - 93 года со дня рождения Ландау

Механико-математический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова: МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Введение в физику открытых систем: аттрактор Лоренца

Колебания и волны: Энергия, переносимая звуковой волной.

Введение в физику открытых систем: Динамическое и статистическое описание сложных движений

Автомодельность

Колебания и волны: Предисловие

Механика сплошных сред. Лекции.

В.А.Алешкевич, Л.Г.Деденко, В.А.Караваев (Физический факультет МГУ)
Издательство Физического факультета МГУ, 1998 г.

Содержание

Равновесие сжимаемой жидкости.

При внутренних напряжениях плотность газов не остается постоянной. Можно считать, что давление является функцией плотности ( $p=p(\rho)$ ), причем вид этой функции, как будет показано ниже, задается условиями, при которых находится газ. Поэтому в механике сплошных сред в этих случаях оперируют с плотностью силы ${\cal F}$ , то есть с силой, приложенной к единице массы, которая связана с силой F в (2.7) соотношением

${\bf F}=\rho {\cal F}.$

(2.21)

Тогда условие равновесия (2.7) примет вид

$\frac{1}{\rho}{\rm grad}\; p={\cal F}.$

(2.22)

В левую часть этого равенства входят давление и плотность, являющиеся неизвестными функциями координат, а правая часть обычно известна.
В поле силы тяжести ${\cal F}={\bf g}={\bf {\rm const}}$ . В этом случае поверхностями равных давлений и плотностей будут горизонтальные плоскости, две из которых p(x₁) = p₁ и p(x) = p изображены на рис. 2.15. Если мы введем вспомогательную функцию

${\cal P}(x)=\int\limits_{p_1}^{p}\frac{dp}{\rho},$

(2.23)

то (2.22) может быть переписано в виде, аналогичном (2.7):

$\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dx}=\frac{d{\cal P}}{dx}={\cal F}$

(2.24)

Вводя далее для единицы массы потенциальную энергию U₁, с которой внешняя сила связана соотношением

${\cal F}(x)=-\frac{dU_1}{dx},$

(2.25)

получаем уравнение, аналогичное (2.9):

$\frac{d}{dx}\left( {\cal P} + U_1 \right) =0, или {\cal P} +U_1 = {\rm const}.$

(2.26)

Рис. 2.15.

Замечание. Вспомогательная функция ${\cal P}(x)$ зависит от верхнего предела p интеграла (2.23), вычисление которого возможно при известной связи между давлением и плотностью. С другой стороны, если найти зависимость ${\cal P}(x)$ (с помощью (2.24) или (2.26)), то можно определить функцию p(x) в (2.23), что позволяет получить распределение давлений.
Очевидно, что поверхности равного значения величины ${\cal P}$ совпадают с поверхностями равного давления. В задачах с трехмерным распределением давления и плотности вспомогательная функция

${\cal P}(x,y,z)=\int\limits_{p_1}^{p(x,y,z)}\frac{dp}{\rho},$

(2.27)

а условие равновесия имеет вид

${\rm grad}\; p={\cal F}.$

(2.28)

Поскольку сила ${\cal F}$ связана с потенциальной энергией единицы массы соотношением

${\cal F}=-{\rm grad}\; U_1,$

(2.29)

то подстановка (2.29) в (2.28) дает условие

${\rm grad}\; \left( {\cal P} + U_1\right) =0, или {\cal P} + U_1={\rm const}.$

(2.30)

Следует отметить, что условие равновесия (2.28) является более общим, чем (2.7), т.к. позволяет рассчитать распределение давлений как в жидкостях, так и в газах.

Атмосфера в поле силы тяжести.

Многочисленные исследования атмосферы, проведенные при помощи аэростатов (см. ниже), ракет и искусственных спутников Земли, показывают, что по мере увеличения высоты давление и плотность монотонно убывают, а температура монотонно убывает лишь в нижнем 10-километровом слое, а в более высоких слоях меняется немонотонно. Параметры атмосферы зависят как от географического положения места, так и от времени года. В качестве иллюстрации к сказанному на рис. 2.16 представлены высотные зависимости параметров среднестатистической атмосферы Москвы, полученные в летнее и зимнее время. Если разница в высотных зависимостях температуры атмосферы составляет десятки градусов, то распределение "зимнего" давления отличается от "летнего" всего лишь на несколько процентов, и на рисунке эта разница неразличима.
Сложная высотная зависимость температуры атмосферы есть результат совместного проявления процессов тепломассопереноса, инициируемых излучением Солнца. Расчеты показывают, что если бы атмосфера и Мировой океан, называемые жидкой оболочкой Земли, не поглощали бы энергию солнечного излучения, то Земля нагрелась бы на экваторе до 270 К, на Южном полюсе - до 150 К и на Северном полюсе - до 170 К. При таких температурах установилось бы радиационное равновесие: нагретая Земля излучала бы в мировое пространство столько энергии, сколько получает от Солнца. Однако поверхность Земли значительно теплее, а контраст температур между экватором и полюсом намного меньше. Это - результат поглощения солнечной энергии самой атмосферой. Кроме того, атмосфера и океан переносят тепло от одной области к другой, что также влияет на энергетический баланс.
Поглощение солнечной энергии осуществляется главным образом водяным паром, углекислым газом и озоном, вследствие чего создается "парниковый эффект", приводящий к дополнительному нагреванию поверхности Земли. Поскольку воздух вблизи поверхности более теплый и легкий, чем воздух сверху, то он всплывает вверх (вертикальная конвекция), и нижний слой атмосферы перемешивается. Поэтому распределение температуры, изображенное на рис. 2.16, является результатом динамического равновесия атмосферы в поле силы тяжести, при котором соблюдается баланс энергии. Радиационное равновесие можно рассчитать, если принять во внимание, что в нижнем слое атмосферы основным физическим фактором, отвечающим за достижение равновесия, является поглощение радиации водяным паром. На больших высотах доминирующим является поглощение углекислым газом и озоном.

Рис. 2.16.

Атмосфера делится на отдельные участки, как это видно из рис. 2.16. Нижний слой атмосферы, называемый тропосферой, содержит 80% массы атмосферы, почти весь водяной пар и облака и характеризуется сильным вертикальным перемешиванием. Сверху тропосфера ограничена тропопаузой, где температура атмосферы меняется очень мало. Выше расположена стратосфера, которая слабо перемешивается. Ее устойчивость обусловливается повышением температуры с высотой в результате радиационного баланса. Возрастание температуры заканчивается в стратопаузе. Выше находится мезосфера, где температура опять падает. Мезосфера содержит лишь 0,1% массы всей атмосферы. Выше мезосферы (H>100 км) находится термосфера, в которой температура опять растет с высотой, достигая 600 К в период спокойного Солнца и более 2000 К в период солнечной активности.
Для вычисления изменения атмосферного давления с высотой воспользуемся условием равновесия (2.24) в виде:

$\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dx}=-g$

(2.31)

Связь между давлением и плотностью для сухого воздуха задается уравнением состояния идеального газа

$p=\rho \frac{RT}{\mu}.$

(2.31)

Справедливость использования этого уравнения обусловлена тем, что влияние влажности на плотность воздуха существенно лишь в тропиках вблизи поверхности Земли, однако даже здесь ошибка при использовании (2.32) не превосходит 2%. Подставляя значение плотности $\rho$ из (2.32) в (2.31), получаем уравнение

$\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dx}=-\frac{g}{RT(x)},$

(2.33)

которое можно проинтегрировать, если известна T(x).
В качестве грубого приближения в (2.33) можно использовать среднее значение температуры ${\bar T} = 250 K$ , при этом отклонение максимальной температуры у поверхности или минимальной температуры на высоте H = 100 км от среднего значения составляют около 15%. Интегрируя (2.33), получаем распределение давления изотермической атмосферы

$p=p_0\exp\left(-\frac{\mu gx}{R{\bar T}}\right)=p_0\exp\left(-\frac{x}{H_0}\right),$

(2.34)

носящее название барометрической формулы. Высота H₀, на которой давление падает в e раз, называется приведенной высотой атмосферы и равна:

$H_0 = \frac{R{\bar T}}{\mu g} = 7,4 км$

(2.35)

Отметим, что если бы плотность не менялась с высотой ( $\rho = \rho_0 ={\rm const}$ ), то интегрирование (2.31) привело бы к линейному (как для несжимаемой жидкости) закону убывания давления с высотой:

$p(x)=p_0-\rho gx=p_0\left(1-\frac{x}{H_0}\right).$

(2.36)

В этом случае вся атмосфера была бы ограничена высотой $H_0=\frac{p_0}{\rho_0 g}=8,4$ км, что, конечно, противоречит реальной ситуации.
Для практических целей используются унифицированные атмосферные параметры и их высотные зависимости. Так, Международная организация гражданской авиации (МОГА) для нужд авиации определила в 1952 г. стандартную атмосферу до высоты 20 км, а в 1963 г. дала новое определение до высоты 32 км. Стандартная атмосфера есть условная атмосфера, для которой давление и температура на уровне моря, градиент температуры и другие значения были выбраны намеренно так, чтобы получить схематичную модель атмосферы, которая наилучшим образом согласуется со средними значениями ее параметров, наблюдаемыми на средних широтах. Эта модель, в частности, широко используется для градуирования альтиметров (приборов для определения высоты летательного аппарата). В этой модели принимается, что до высоты h = 11000 стандартных геопотенциальных метров над уровнем моря, где температура воздуха равна -56,5 ${}^\circ$ С, градиент температуры dT/dh равен -0,0065 ${}^\circ$ С на стандартный геопотенциальный метр. До высоты 20000 стандартных геопотенциальных метров dT/dh=0, а выше, вплоть до 32000 стандартных геопотенциальных метров, градиент температуры равен +0,001 ${}^\circ$ С на стандартный геопотенциальный метр.
Геопотенциальный метр является единицей измерения геопотенциала, определяемого уравнением

$h=\frac{1}{9,8}\int\limits_{0}^{x}g(x)dx,$

(2.37)

где ускорение свободного падения

$g(x)=g\frac{R_З^2}{(R_З + x)^2}.$

(2.38)

Здесь R_З - радиус Земли, g - ускорение свободного падения на среднем уровне моря, x - высота над уровнем моря. Если бы ускорение g не менялось с высотой, то высота h в геопотенциальных метрах была бы равна геометрической высоте над уровнем моря x.
В модели стандартной атмосферы соотношения между давлением p, температурой Т, плотностью $\rho$ и геопотенциалом h задаются следующим образом:

В двух атмосферных слоях с постоянным градиентом температур

$T(h)=T(0)+\frac{dT}{dh}h,\; \frac{p(h)}{p(0)}=\left(\frac{T(0)}{T(0) + \frac{dT}{dh}h}\right)^{\frac{G\mu}{R(dT/dh)}}$

(2.39)

В изотермическом атмосферном слое, где dT/dh = 0 и T(0) = const,

$\frac{p(h)}{p(0)}=e^{-\frac{\mu Gh}{RT(0)}},$

(2.40)

и работает барометрическая формула.
Здесь p(0) и T(0) - давление и температура у основания каждого слоя, R - универсальная газовая постоянная для сухого воздуха, h - разница геопотенциала между рассматриваемой точкой слоя и его основанием, $\mu$ - молекулярная масса сухого воздуха, коэффициент G = 9,80665, если геопотенциал выражен в геопотенциальных метрах. Учет изменения температуры с высотой приводит к высотной зависимости давления (2.39), которая является лучшей аппроксимацией реальной атмосферы, чем барометрическая формула.
Для более глубокого ознакомления с использованием модели стандартной атмосферы для практических целей воздухоплавания и др. рекомендуем читателю обратиться к международным метеорологическим таблицам.

Назад | Вперед

Физический факультет МГУ

Посмотреть комментарии[3]