Бифуркации.

За последнюю четверть века преобразился облик и изменилась роль одного из разделов теории гладких ДС -- теории бифуркаций. Буквально это слово означает ``раздвоение''; в этом смысле оно употребляется, например, в анатомии (``бифуркация бронха''). В математике этот термин употребляется в более широком смысле -- для обозначения качественных изменений рассматриваемых объектов при изменении параметров, от которых эти объекты зависят. Более точных общих формулировок здесь дать нельзя, потому что рассматриваемые объекты и интересующие исследователей свойства этих объектов могут быть самыми различными. Точные формулировки относятся к тем или иным конкретным задачам.

Первоначально в математике о бифуркациях говорили применительно к фигурам равновесия вращающейся жидкости. Речь идет о задаче: при каких условиях тело, состоящее из однородной жидкости, на частицы которой действуют только силы их взаимного притяжения по закону тяготения Ньютона, может вращаться как твердое тело? Соответствующую фигуру и называют равновесной. Как точные решения этой задачи известны только некоторые эллипсоидальное фигуры (эллипсоиды Маклорена и Якоби) и кольца, но кроме того известно, что имеются другие фигуры, близкие к названным. Эти фигуры обнаружены с помощью бифуркационных соображений -- начинают с эллипсоидальной фигуры равновесия  E, непрерывно зависящей от некоторого параметра , от которого зависит исследуемая задача; оказывается, что когда  проходит некоторое (как говорят, ``бифуркационное'') значение , то возникает новая (уже не обязательно эллипсоидальная) фигура равновесия  E', которая тем ближе к  E, чем ближе  к , так что можно сказать, что семейство фигур  E' `` ответвляется'' при = от семейства  E. В этом случае слово ``бифуркация'' употребляется в смысле, достаточно близком к буквальному -- при увеличении параметра  E как бы раздваивается на  E и  E'. Аналитически вопрос сводится к исследованию некоторого интегрального уравнения 57, и поэтому естественно, что ``бифуркационная'' терминология стала применяться вообще при исследовании интегральных уравнений, зависящих от параметра. А поскольку видным деятелем в теории фигур равновесия вращающейся жидкости был А.Пуанкаре, то не удивительно, что он перенес эту терминологию в качественную теорию обыкновенных дифференциальных уравнений, при этом он стал применять ее в более широком смысле, для любых качественных изменений.

По инициативе Р.Тома вместо бифуркаций говорят о ``катастрофах''. Это слова тоже не надо понимать буквально. Приведу примеры, действительно серьезно рассматривавшиеся в работах по ``теории катастроф'': если нарушается устойчивость упругой конструкции, то это, скорее всего, катастрофа, но если солнечные лучи, преломляясь в воде, образуют на дне ручья яркие линии -- это едва ли кого-нибудь волнует, кроме разве детей, видящих это впервые. Как возможный (но не доведенный до математической модели 58) пример ``катастрофы'' упоминают о резком изменение в течении болезни, после которого больной почти на глазах начинает поправляться; это если и катастрофа, то только для бактерий.

Если катастрофа -- синоним бифуркации, то можно спросить, какой термин удачнее. Как ясно из сказанного, ни тот, ни другой не приходится понимать буквально. Но ``катастрофа'' -- слово обычного (литературного и разговорного) языка, имеющее определенный и притом весьма эмоционально окрашенный смысл, а о первоначальном значении слова ``бифуркация'' знает намного меньше людей, и даже у них с ним едва ли связаны какие-то эмоции. Поэтому для науки более подходит нейтральное слово ``бифуркация'', а для массовых изданий -- ``катастрофа''.

Весьма содержательное математические идеи Р.Тома об особенностях гладких отображений и бифуркациях критических точек функций (он продолжал пионерские работы Х.Уитни, но пошел значительно дальше) и по содержанию, и по времени заметно выходят за пределы данной статьи; последующие работы в этой области тоже выходят за эти пределы (если не по времени, то по содержанию). Их непосредственные применения в теории динамических систем таковы. Рассматриваются системы, у которых одни переменные (скажем, y; это, вообще говоря, не число, а вектор) изменяются быстро, а другие (скажем, x) -- медленно (такие системы действительно встречаются и являются достаточно важными); предполагается, что при фиксированным x для ``быстрых'' переменных y получается градиентная система

В брошюре В.И.Арнольда [46] имеется несколько страниц, где все это описано несколько подробнее, но со столь же критических позиций, с которых написаны предыдущие строки 62. Там же имеются литературные ссылки. С иных позиций написана популярная статья [48], где отношение к нефизическому использованию ``катастрофической'' идеологии положительное. Наконец, в книге [49] авторы на базе подробно и элементарно изложенных в первой ее половине сведений из теории особенностей рассмотрены разнообразные приложения теории катастроф -- от не вызывающих принципиальных возражений до куда более ``натурфилософских'' (по стилю).

Из сказанного не следует, будто теория особенностей гладких отображений и бифуркаций критических точек функций мало что дала для теории ДС, а там, где дала, это получалось путем довольно непосредственного использования достижений топологов. Значительным оказалось идейное влияние первой теории на вторую, провозвестником которого около 1970 г. выступил В.И.Арнольд. Надо сказать, что Том с самого начала утверждал, что та ``теория катастроф'', о которой говорилось выше, -- это только первая, элементарная часть некоей более обширной теории (вот она-то уж точно будет универсальной). Но это общее указание им никак не конкретизировалось, и Арнольд отправлялся не от этого неопределенного указания (заклинания), а от конкретного фактического содержания теории особенностей гладких отображений. Он никогда не претендовал на универсальность соответствующего подхода (к моменту его выступления уже были известны факты, исключающие таковую), но резонно указывал, что он имеет довольно широкую, хотя и не безграничную, область применений, а что касается ее границ, то в некоторых случаях их даже можно было уже тогда довольно четко очертить. Своего рода первым манифестом нового веяния была его статья [50], в которой объяснялось, что в теорию локальных бифуркаций ДС можно естественным образом перенести ряд понятий, первоначально возникших в теории особенностей или вообще в гладкой топологии -- коразмерность, стратификация, трансверсальность, универсальные и версальные семейства, модули и их число, бифуркационные диаграммы, конечная определенность.

Я немного остановлюсь только на одной (и, вероятно, самой простой) из пропагандировавшихся в [50] идей: вырождения коразмерности k неустранимым образом встречаются только в k-параметрических семействах 63, поэтому целесообразно рассматривать такие положения равновесия в соответствующем бифуркационном контексте 64. (Впрочем, могут быть и другие причины появления вырождений довольно высокой коразмерности, -- прежде всего, наличие симметрий. Множество положений равновесия, имеющее большую коразмерность в классе `` общих'' ДС, может быть множеством положений равновесия ``с симметриями'', коразмерность которого в классе ДС с соответствующими симметриями невелика или даже равна 0. Но всегда ли мы можем быть уверены в точности этих симметрий, особенно если они не являются следствиями законов природы? Не могут ли симметрии в действительности слегка нарушаться, и не стоит ли поинтересоваться, что происходит при таком нарушении? 65) Поэтому теория локальных бифуркаций -- не какое-то внешнее дополнение к локальной качественной теории, а существенная ее часть. Уже одно это изменение точки зрения (пусть и не совсем новое, но впервые четко намеченное в столь широких масштабах) существенно повлияло на облик не только теории бифуркаций, но и всей локальной качественной теории.

Разумеется, в [50] могла быть реализована только часть намеченной программы. (Хотя ко времени написания [50] группой Арнольда уже была проведена определенная работа в этом направлении. Кроме того, в [50] было указано, как в новую теорию входят ранее полученные значительные результаты 66.) После публикации [50] как группой Арнольда, так и другими математиками была проведена большая работа по конкретной реализации нового подхода. Для потоков на плоскости ``типичные'' локальные бифуркации 67 в двух- и трехпараметрических семействах изучены почти с такой же степенью подробности, с какой раньше были изучены локальные бифуркации в однопараметрических семействах. В случаях большей размерности картина до сих пор не столь исчерпывающая, но все же довольно полная, потому что вопрос о локальных бифуркациях в таких семействах в значительной степени сводится к аналогичному вопросу для потоков на плоскости 68.

Наряду с локальными бифуркациям можно говорить о `` глобальных'' бифуркациях, меняющих фазовую картину в целом и не локализованных возле положений равновесия или периодических траекторий. В большинстве случаев правильнее бы было говорить о ``полулокальных'' бифуркациях, имея в виду, что при исследовании таковых мы обращаем внимание не только на то, что происходит при возмущении возле какого-то ``локального'' объекта, но на то, что происходит в некоторой области фазового пространства (``вдали'' от локального объекта, если таковой вообще играет какую-то роль), обычно в некоторой окрестности некоторого инвариантного множества невозмущенной системы, не сводящегося к положению равновесия  т.п. Однако при этом, вообще говоря, не идет речи о полном контроле за всем фазовым пространством, так что название ``глобальная бифуркация'' является, пожалуй, несколько преувеличенным. С другой стороны, в классических работах А.А.Андронова и его сотрудников (восходящих еще к довоенным временам, хотя частично опубликованных позднее) рассматривались изменения всего ``фазового портрета'' потока на всей фазовой плоскости, т.е. самые настоящие глобальные бифуркации. Впрочем, хотя это восходит к упомянутым старым вопросам, по-видимому, только в последние 25 лет или около того для потоков на плоскости окончательно выяснилось, что надо добавить к прежним сведениям о локальных или полулокальных бифуркациях, чтобы получить полное описание изменений глобальной качественной картины при бифуркациях в типичных однопараметрических семействах.

Изложение результатов, достигнутых по этим (локальным и полулокальным) вопросам к середине 80-х гг., имеется в [52]; более новых публикаций со сколько-либо обширными сводками результатов я не знаю. Для ``типичных'' двух- и трехпараметрических потоков на плоскости переход от локальных и полулокальных бифуркаций к ``настоящим'' глобальным, кажется, не исследован. Для таких потоков после [52] были подробно исследованы бифуркации так называемых ``полициклов'', обобщающие бифуркации замкнутых сепаратрисс [53].

Другое значительное изменение в теории бифуркаций связано с исследованием таких полулокальных (а иногда и глобальных) бифуркаций в размерностях > 2 для диффеоморфизмов и > 3 для потоков, которые связаны со сложным поведением траекторий 69. Это -- принципиально новое направление. Ему уделено должное внимание в [52], однако здесь последующее развитие представляется более значительным. К сожалению, приходится повторить сказанное по другому поводу: более новых обзоров сравнимой полноты нет.

К началу 70-х гг. динамические системы со сложным поведением траекторий более или менее успешно исследовались в тех случаях, когда это поведение определялось гиперболичностью. Уже тогда, а тем более теперь гиперболическая теория в какой-то степени приобрела известную завершенность, хотя в ней остаются нерешенные задачи и работы на эту тему появляются и поныне. Баланс работ определенно сместился в сторону бифуркационной тематики. Это связано с открытием комплекса явлений, связанных с нетрансверсальными гомоклиническими траекториями. Он настолько обширен и разнообразен, что его изучение далеко от завершения хотя бы в первом приближении. Первым обратил внимание на принципиально новые бифуркационные явления, так или иначе связанные с нетрансверсальными гомоклиническими траекториями, Л.П.Шильников в совместной с Н.Г.Гавриловым работе 1972 г. [54] (а отчасти в 1970 г.). Конкретно там были обнаружены четыре различных типа бифуркаций, из которых один происходит на границе систем с простой динамикой -- систем Морса--Смейла. В этом случае дано символическое описание возникающих гиперболических множеств и были указаны вторичные бифуркации, при которых рождаются и исчезают устойчивые периодические траектории. Чем ближе значение параметра к критическому, тем большее число таких траекторий может появиться 70.

После этого наметилась возможность изучения сложного поведения траекторий в некоторых ситуациях, находящихся за пределами ``чистой'' гиперболической теории. Едва ли будет преувеличением сказать, что в настоящее время теория бифуркаций стала основным (хотя и не единственным) источником примеров ДС со сложным поведением траекторий, в каком-то смысле выдерживающим малые возмущения (если не все, то ``многие''). Для контраста можно отметить, что в предшествующий период гиперболические множества были открыты вне связи с теорией бифуркаций; в основном то же относится и к упоминаемому ниже аттрактору Лоренца. Он был обнаружен в результате исследования соответствующей ДС в широком диапазоне значений параметра, от которого она зависит, и при этом были отмечены различные происходящие в ней бифуркации, в том числе и связанные с аттрактором Лоренца, но его свойства рассматриваются безотносительно к бифуркациям 71.

Примерно тогда же Ш.Ньюхаус (вначале -- только для двумерного диффеоморфизма) обратил внимание на нетрансверсальные гомоклинические траектории гиперболических множеств, не сводящихся к периодическим траекториям [59]. Позднее он назвал гиперболическое множество A (обычно локально максимальное 72и топологически транзитивное), которое не сводится к периодическим траекториям и у которого имеется нетрансверсальная гомоклиническая траектория (так что неустойчивое и устойчивое многообразия некоторой траектории из A где-то касаются друг друга), диким гиперболическим множеством (а о существовании в ДС такого множества говорят как о дикой гиперболичности). Определение ``дикое'' намекает на тот факт, что с таким множеством связан ряд неожиданных бифуркационных явлений. Сперва Ньюхаус обнаружил пример, в котором дикая гиперболичность сохраняется при любом малом возмущении 73, хотя само это множество A -- вроде канторового, так что между устойчивыми многообразиями его траекторий имеются не содержащие таких многообразий ``полосы'', куда, казалось бы, можно при малом возмущении ``убрать'' все дуги неустойчивых многообразий траекторий из A, имеющие ``неподходящие'' направления (эти многообразия ведь тоже ``не идут сплошняком''). В A плотны периодические траектории, и можно показать, что у них при всюду плотном множестве значений параметров имеются нетрансверсальные гомоклинические траектории. Таким образом, Ньюхаус обнаружил, что в пространстве ДС имеются области, в которых всюду плотны ДС с нетрансверсальными гомоклиническими траекториями. Теперь их называют ``областями Ньюхауса''. В понятном смысле говорят также об ``областях Ньюхауса'' в ``типичных'' конечнопараметрических семействах ДС 74.

Дальнейшие исследования были направлены как на обнаружение областей Ньюхауса в тех или иных ситуациях, так и на исследование свойств ДС из таких областей. Оба вопроса были отчетливо поставлены в [60], где утверждалось, что: а) при определенных условиях вблизи системы с гомоклиническим касанием существуют области Ньюхауса; б) в таких областях существуют ДС со счетным множеством устойчивых периодических траекторий, причем таких ДС в некотором смысле ``много''. (Очевидно, само по себе это сильнее и удивительнее, чем обнаруженное в [54] увеличения числа таких решений при приближении параметра к бифуркационному значению, но если сопоставить [54] и утверждение ``а'', то это уже не покажется таким уж удивительным).

После Ньюхауса бифуркации, связанные с нетрансверсальными гомоклиническими траекториями, стали популярны во всем мире. Однако в [60] утверждение ``а'' было скорее угадано (тогда как ``б'', видимо, можно считать более или менее доказанным, хотя, как выяснилось позднее, и при излишне ограничительных предположениях). Очень существенный прогресс был достигнут в фундаментальной работе Ньюхауса [61] (см. также дополняющую ее статью К.Робинсона [62]). После [61], [62] описанные выше утверждения для двумерных диффеоморфизмов можно считать в основном доказанными и даже улучшенными благодаря снятию излишних условий (хотя, по-видимому, некоторые из более поздних публикаций можно квалифицировать как окончательную доработку вопросов, восходящих к середине 70-х гг.). Работы [63] и [64] посвящены некоторым многомерным аналогам той же группы вопросов (ослабление условий [63] достигнуто в [65]).

Параллельно был исследован ряд других вопросов о нелокальных бифуркациях. Сложность качественной картины в подобных задачах делает сомнительным, чтобы здесь можно было бы получить полное описание этой картины при фиксированных значениях параметра и полное описание ее изменения при изменении параметра. Часто описание, не вполне полное, дается только для некоторого множества значений параметра; это, конечно, особенно интересно, если это множество оказывается в каком-то смысле ``значительным''. В этом отношении современные работы часто принципиально не могут претендовать на ту полноту описания качественной картины, которая во многих случаях достигнута в теории потоков на плоскости или при исследовании систем с равномерно гиперболическим поведением траекторий. Естественно, при описании изменений качественной картины теперь нередко речь может идти только об изменении каких-то существенных ее особенностей. В этом отношении результаты исследования сложных бифуркаций не имеют той полноты, какая была свойственна теории во времена Андронова. Но это, по-видимому, связано с существом дела. Некоторый дефект современного состояния дел скорее состоит в отсутствии четких общих формулировок, какие черты качественной картины привлекают наше внимание. Это указывается в конкретных задачах, но каждый раз по-своему. Похоже, что для обобщающих формулировок пока не пришло время.

Информация о состоянии теории нелокальных бифуркаций в середине 80-х гг. имеется в [52]. В докладе Йоккоза [1] приведено несколько более новых результатов и даны литературные ссылки. Особо обращаю внимание на (цитированную там) книгу Ж.Палиса и Ф.Такенса [66]. Дополнительно укажу несколько новых работ группы Л.П.Шильникова, потому что работы этой группы (в том числе и прежние) пока недостаточно известны 75.

В названии статьи [67] фигурирует бифуркационное явление, при котором некоторая периодическая траектория неограниченно удлиняется и ``в пределе'' исчезает, причем при этом от нее не остается видимого следа вроде петли сепаратриссы или чего-нибудь в этом роде (она ``бесследно исчезает в голубом небе'', откуда и название ``катастрофа голубого неба'', данное (вначале, видимо, в шутку) таким бифуркациям). Для двумерных потоков такое явление (без указанного названия) было открыто Ф.Фуллером и подробнее изучено (уже под придуманным к тому временем названием) В.С.Медведевым. В [67] же эта бифуркация рассмотрена в трехмерном случае. Она имеет коразмерность 1, т.е. является ``типичной'', и происходит при пересечении некоторой гиперповерхности в пространстве всех систем. Одновременно описывается и другая бифуркация коразмерности 1, быть может более интересная.

Представляет очевидный интерес вопрос: каким образом в гладкой системе дифференциальных уравнений может появиться сложно устроенный аттрактор 76? Этот вопрос связан со следующим наблюдением: до сих пор ни в одной прикладной задаче не обнаружены аттракторы типа базисных множеств потоков с аксиомой А (не сводящиеся к периодическим траекториям). Естественно поэтому попытаться построить такие аттракторы бифуркационными методами. В данной работе в этом направлении решается следующая задача: как через простую бифуркацию гладкого векторного поля можно из простого векторного поля (Морса--Смейла) получить поле со странным аттрактором 77? В работе обнаружена и изучена бифуркация коразмерности 1, приводящая к появлению гиперболического странного аттрактора, носитель которого является соленоидом Смейла--Вильямса. Интересно, что при приближении к бифуркационной гиперповерхности соленоид не претерпевает бифуркаций, а длина любой замкнутой траектории в нем стремится к бесконечности.

Другой пример появления странного аттрактора при бифуркации рассмотрен в [68]. Этот аттрактор, существующий в некотором интервале значений параметра возмущения, при всех его значениях содержит некоторое дикое гиперболическое множество, что гарантирует изобилие соответствующих бифуркационных явлений 78.

В [56], [69] показано, что в области Ньюхауса всюду плотны ДС со сколь угодно высокой кратностью седлоузловых периодических траекторий. Опираясь на эти работы, В.Ю.Калошин [70] показал, что в области Ньюхауса имеются ДС со сколь угодно высокой скоростью роста при T числа N_per(T) периодических траекторий с периодом T. Более того, для любой функции f (T) такие ДС, для которых N_per(T) f (T) при достаточно больших T, образуют в этой области с Cⁿ-топологией (с любым натуральным n) множество второй категории, так что нельзя сказать, что речь идет о каком-то исключительном явлении. Это дает ответ на вопрос, возникший около 30 лет назад. Правда, для аналитических систем вопрос о возможности сверхэкспоненциального по T роста числа периодических траекторий с периодом T остается открытым.

В [71], [72] показано, что в некоторых случаях при наличии негрубого гетероклинического контура возможны бифуркационные явления, похожие на связанные с нетрансверсальными гомоклиническими траекториями.

В недавнем обзорном (и отчасти полупопулярном) докладе Шильникова [73] (который предполагается опубликовать также и по-русски) можно найти дополнительную информацию (с литературными ссылками) по бифуркациям, связанным с нетрансверсальными гомоклиническими траекториями.

Еще одним значительным достижением, связанным с полулокальными бифуркациями, является исследование бифуркаций ``аттрактора Лоренца''. Последний, в соответствии с его названием, был открыт Э.Лоренцом в результате численного эксперимента с некоторой конкретной системой 3-го порядка, внимание к которой мотивировалось гидродинамическими соображениями. Открытие Лоренца привлекло внимание только примерно 10 лет спустя, причем прикладников (в широком смысле слова) и математиков-теоретиков оно заинтересовало по различным причинам. Прикладников оно убедило в реальном существовании странных (или хаотических) аттракторов -- открытые математиками гиперболические странные аттракторы большинству из них не были известны, поскольку примеров таковых в задачах естественнонаучного происхождения не встречалось. Для математиков же аттрактор Лоренца представляет интерес не как еще одна демонстрация уже известных возможностей поведения траекторий, а, наоборот, как объект, хотя и близкий по ряду своих свойств (как раз тех, которые произвели особое впечатление на прикладников) к гиперболическим аттракторам, но в то же время отличный от них по другим свойствам (для математиков именно эти тонкости и интересны). Математическая интерпретация результатов Лоренца была начата Д.Рюэллем и Ф.Такенсом в статье под названием ``Странный, странный аттрактор''. Повторение слова ``странный'' (помимо того, что оно навеяно фильмом С.Крамера) связано с тем, что: а) данный аттрактор является странным в том смысле, что он имеет динамически сложную структуру траекторий (счетное множество седловых периодических траекторий, континуум устойчивых по Пуассону, и т.д.) и в то же время сохраняется при малых возмущениях (все это похоже на уже известные в то время равномерно гиперболические аттракторы, которые, однако, многими тоже воспринимались как нечто странное); б) он не являются равномерно гиперболическим (хотя определенная гиперболичность в нем наблюдается); в) в отличие от равномерно гиперболических множеств, его внутренняя структура не остается неизменной при малых возмущениях; точнее, она непрерывно изменяется в любом однопараметрическом семействе систем общего положения с таким аттрактором. Значит, если любое качественное изменение считать бифуркаций, то они происходят при всех значениях параметра семейства, причем это явление является ``неустранимым'' в том смысле, что оно присуще и всем достаточно близким семействам ДС. Первое само по себе не ново, поскольку то же самое имеет место и в давно известном примере семейства потоков на торе, имеющего в координатах x, y mod 1 вид = 1, = . Но в этом случае сколь угодно малым изменением семейства можно обеспечить, чтобы бифуркации происходили только тогда, когда  принадлежит к дополнению к некоторому открытому всюду плотному множеству (стало быть, с топологической точки зрения бифуркационные значения параметра являются ``исключительными'' 79). Второе к моменту появления статьи Рюэлля и Такенса тоже не было совершенно новым, так как аналогичное явление в другом примере было раньше обнаружено С.Смейлом и Р.Абрагамом 80, но здесь это явление было обнаружено в ином примере 81.

В связи со сказанным, применительно к аттрактору Лоренца под ``бифуркациями'' понимают не просто изменения его внутренней структуры, а изменения, в каком-то смысле ``существенные''. Таковы заведомо те бифуркации, при которых аттрактор Лоренца возникает или исчезает, но также и некоторые другие. Конкретное уточнение, какие качественные изменения являются существенными, связано с конкретным описанием самого аттрактора Лоренца и в этом смысле специфически привязаны к определенной ситуации.

Некоторая модель аттрактора Лоренца была предложена Р.Вильямсом. Приняв ее, можно изучать внутреннее строение данного аттрактора (включая поведение лежащих в нем траекторий); можно также доказать, что действительно существуют системы третьего порядка с таким аттрактором и что он выживает при малых возмущениях. Однако при этом накладываются такие условия на рассматриваемую систему, которые хотя и могут выполняться для каких-то систем, но не выполняются в исходной системе Лоренца, так что, строго говоря, остается неясным, действительно ли Лоренц имел дело с аттрактором, названным его именем.

Эти вопросы были сняты в работе [74]. В ней указаны более широкие условия, гарантирующие существование аттрактора Лоренца. Это условия геометрического характера на некоторое отображение последования. Проверка этих условий для самой системы Лоренца до сих пор отчасти опирается на численный эксперимент, но таковый производился неоднократно, в различных группах и с различными программами, так что результаты не вызывают сомнений 82. Внутренняя структура рассмотренного в [74] аттрактора (если не говорить об изменениях при некоторых бифуркациях) -- такая, как у Вильямса, но свойства системы возле аттрактора -- другие (``притяжение'' траекторий к аттрактору может быть более слабым). В последующих работах других авторов (посвященных, главным образом, эргодическим свойствам аттрактора Лоренца -- другие вопросы в основном закрыты 83) последний понимается именно в смысле [74]. Кроме того, в данной работе более подробно изучена его внутренняя структура (в частности, дано его символическое описание, приспособленное также и к задачам бифуркации).

Для нас здесь важно, что в [74] для их модели не только подтверждены утверждения о сохранении аттрактора Лоренца при малых возмущениях и постоянно происходящем при этом изменении его структуры, но и описан сценарий появления такого аттрактора, т.е. последовательность бифуркаций, приводящая к его рождению, а также рассмотрены бифуркации, происходящие после его рождения, и в том числе указан сценарий его разрушения.