Симплектическая геометрия.

За последние 20 лет возникла новая дисциплина -- симплектическая геометрия (или симплектическая топология), которая в системе математических дисциплин имеет по меньшей мере тот же уровень, что и названные четыре традиционных подразделения теории ДС, а отчасти даже выходит за пределы последней. Новые дисциплины такого уровня формируются не часто, поэтому такое событие привлекает особое внимание.

Симплектическое многообразие -- это гладкое многообразие M вместе с заданной на нем внешней дифференциальной замкнутой 2-формой , которая (во всех точках M) является невырожденной. Замкнутость , как обычно для внешних дифференциальных 2-форм, означает, что d = 0, где d -- внешний дифференциал. Понятие невырожденности вводится для любых (не только кососимметричных) билинейных форм на векторном пространстве (в данном случае -- на касательном пространстве T_xM). Такая форма называется невырожденной, если невырождена ее матрица коэффициентов. Здесь подразумевается использование координат; в линейной алгебре приводятся эквивалентные бескоординатные формулировки. Замечу сразу же, что кососимметрическая форма может быть невырожденной только в четномерном случае ( dim T_xM = 2n). Наконец, подразумевается, что в терминах локальных координат коэффициенты  являются гладкими функциями своих аргументов (насколько гладкими -- это может зависеть от рассматриваемой задачи, но часто и даже, вероятно, в большинстве случаев можно считать их гладкими класса  C).

Таким образом, симплектическое многообразие -- это не просто многообразие M, а пара (M,). Часто все-таки в обозначении опускают явное упоминание об и говорят о симплектическом многообразии M.

Приведенное определение аналогично определению риманова многообразия. В последнем вместо кососимметрической формы  имеется симметричная билинейная дифференциальная форма g, обычно не только невырожденная, но и положительно определенная 8 (и то, и другое возможно и при нечетной размерности), на которую не накладывается никаких дифференциальных условий (тогда как от  требуется замкнутость).

Однако аналогия между римановой и симплектической геометрией кончается на уровне исходных определений. В римановом случае различные многообразия могут быть локально устроены по-разному: имеется обширная система локальных инвариантов -- тензор кривизны и его ковариантные производные. В симплектическом же случае, согласно теореме Г.Дарбу 9, возле любой точки x M имеются так называемые симплектические или канонические координаты (координаты Дарбу) p₁,..., p_n, q₁,..., q_n, в терминах которых  локально выражается в виде

= dpi dqi.

(1)

Хотя никаких локальных инвариантов у самих симплектических многообразий нет (кроме размерности), подмногообразия симплектического многообразия могут быть различными и при совпадении размерностей. Так, большую роль играют лагранжевы подмногообразия -- подмногообразия N половинной размерности, ограничение на которые |_N формы  тождественно равны нулю 11; в то же время имеются подмногообразия той же размерности с ненулевым ограничением |_N. Все же и здесь инвариантов намного меньше, чем в римановой или евклидовой геометрии. Например, если N₁ и N₂ -- подмногообразия симплектического многообразия  (M,), U_i N_i -- окрестности точек a_i N_i и если существует диффеоморфизм f :  U₁U₂, для которого f (a₁) = a₂ и f^*(|_U2) = |_U1, то существует симплектоморфизм g :  V₁V₂ некоторых окрестностей V_i точек a_i во всем M, локально продолжающий f в том смысле, что он совпадает с f на V₁ U₁. В данном случае внутренняя геометрия подмногообразия локально полностью определяет его внешнюю геометрию (сравните это с кривыми в ⁿ!)

Думаю, что эта скудность локальных инвариантов задержала возникновение симплектической геометрии, -- заранее непонятно, чего, собственно, здесь изучать?

Симплектические многообразия встречаются в математике главным образом в связи с гамильтоновыми системами классической механики и в связи с кэлеровыми многообразиями. Обычная гамильтонова система -- это система дифференциальных уравнений для 2n неизвестных p₁,..., p_n (импульсы) и q₁,..., q_n (координаты) вида

= - ,         = ,

(2)

Теперь о другом источнике симплектических многообразий. Здесь предполагается известным понятие комплексно-аналитического многообразия. Для такого многообразия M естественно вместо обычной римановой метрики рассматривать так называемую эрмитову метрику. Именно, поскольку касательное пространство к комплексному многообразию M само естественным образом является комплексным векторным пространством, то вместо евклидова скалярного произведения в нем естественно рассматривать эрмитово скалярное произведение (полуторалинейную форму по терминологии Бурбаки). Если такая форма задана во всех касательных пространствах и, будучи выражена в локальных координатах, имеет достаточно гладкие коэффициенты, то будем говорить об эрмитовой структуре на M или об эрмитовом многообразии. Вещественная часть g эрмитовой формы -- это евклидово скалярное произведение; таким образом, эрмитово многообразие автоматически является также и римановым. (Здесь может всюду стоять приставка ``псевдо''.) А мнимая часть эрмитовой формы -- это невырожденная кососимметрическая 2-форма . Если она замкнута, то эрмитово многообразие называется кэлеровым. Такое определение, с одной стороны, является коротким; с другой стороны, именно оно главным образом и используется при работе с кэлеровыми многообразиями. Но поначалу оно кажется каким-то формальным, непонятно чем мотивированным. Поэтому я приведу и другое определение, геометрически достаточно естественное. Риманова метрика g известным образом определяет связность Леви--Чивита на M. Последняя позволяет осуществлять параллельное перенесение векторов касательного пространства вдоль любой гладкой кривой (t) на M. Получаются линейные отображения T_(t1)MT_(t2)M. Они сохраняют евклидово скалярное произведение, но поскольку мы имеем дело с комплексной ситуацией, то хотелось бы, чтобы они сохраняли и все эрмитово скалярное произведение, а также были линейными не только над  , но и над  (т.е., в понятном смысле, сохраняли бы умножение векторов на комплексные числа). Оказывается, это пожелание в точности эквивалентно кэлеровости.

Кэлеровых многообразий довольно много. На комплексном проективном пространстве имеется естественная кэлерова метрика (метрика Фубини--Штуди); она индуцирует кэлерову метрику и на алгебраических подмногообразиях этого пространства. (С другой стороны, существуют и такие кэлеровы многообразия, которые не являются алгебраическими многообразиями.)

Тот факт, что ``симплектические'' соображения и результаты составляют некий относительно самостоятельный и единый комплекс понятий и методов, неоднократно подчеркивал, начиная с середины 60-х гг., В.И.Арнольд, которому много пришлось иметь дело с этим комплексом, причем (в отличие от других исследователей) по различным поводам (гамильтоновы ДС, лагранжевы перестройки, асимптотические методы в теории уравнений с частными производными) 12. Своего рода ``предвестником'' новой дисциплины, впоследствии органически вошедшим в ее состав, была возникшая в предыдущем 20-летии теория лагранжевых и лежандровых перестроек и особенностей, к которой примыкает также ряд других вопросов. В этой области особенно много сделали В.И.Арнольд и его школа, а также А.Вайнстейн. Ее изложение имеется в [5]. В принципиальном отношении на этом этапе, по сравнению с современным, недоставало открытия глобальных инвариантов самих симплектических многообразий (а не инвариантов каких-то связанных с ними объектов).

Стимулирующую роль в возникновении симплектической геометрии сыграла работа Ч.Конли и Э.Цендера, посвященная доказательству для n-мерного тора ⁿ следующей гипотезы В.И.Арнольда: у симплектического диффеоморфизма g₁ компактного симплектического многообразия M, гомотопного тождественному диффеоморфизму g₀ в классе симплектических диффеоморфизмов посредством деформации {g_t}, скорость которой при всех t имеет однозначный гамильтониан 13, существует по меньшей мере столько неподвижных точек, сколько существует критических точек у гладкой функции на M (при M = ⁿ их 2n + 1, а если они невырожденные -- 2²ⁿ). В доказательстве сочетались две ранее возникшие идеи (уже использовавшиеся к тому времени в других задачах): идея П.Рабиновица о новом вариационном подходе к периодическим решениям гамильтоновых систем, и идея Ч.Конли о топологической характеризации поведения потока возле некоторых (так называемых изолированных или локально-максимальных) инвариантных множеств посредством некоторого обобщения классического индекса Морса положений равновесия градиентного потока (сам Морс говорил о критических точках функции, что эквивалентно).

Теперь гипотеза Арнольда доказана и в ряде других случаев, а несколькими авторами анонсировано ее доказательство в общем виде.

Последний шаг, после которого симплектическая топология уже несомненно приобрела характер автономной дисциплины, сделал М.Громов [6]. Прежде чем говорить о его подходе, укажу некоторые из его результатов. Громов ввел несколько симплектических инвариантов (т.е. инвариантов относительно симплектоморфизмов). Единственным инвариантом, известным ранее, был объем. Полезность новых инвариантов видна из следующего утверждения Громова 14, которое кажется удивительным и имеет наглядную формулировку, а также выразительное название ``теорема о непрохождении симплектического верблюда через игольное ушко'': при n > 1 в ²ⁿ с координатами p_i, q_i ( i = 1,..., n) не существует непрерывного семейства симплектоморфизмов {; 0 t 1}, сохраняющих (1) на с. , которое переводило бы шар B радиуса R из полупространства p₁ < 0 в полупространство p₁ > 0 таким образом, чтобы в процессе деформации пересечение

Как уже говорилось, на кэлеровом многообразии M имеется симплектическая структура, ``хорошо'' связанная с соответствующими комплексной и римановой структурами. По терминологии Громова, соответствующая псевдокомплексная структура 15 на M ``доминируется'' (``is tamed by'') симплектической (Громов точно описывает, какие именно соотношения он подразумевает под доминированием). Таких псевдокомплексных структур много, и всем известно, насколько настоящая комплексная кэлерова структура лучше всех прочих. Оказывается, что на симплектическом многообразии существует много псевдокомплексных структур, доминируемых симплектической; не пытаясь выделить из них какую-то одну ``хорошую'', Громов предложил рассматривать все их сразу (при этом естественно возникают и римановы метрики). Совокупность ``плохих'' структур оказалась в какой-то степени подходящим заменителем для одной ``хорошей''! Для каждой из них можно говорить о псевдоголоморфных отображениях круга в наше многообразие (ради краткости говорят о псевдоголоморфных кругах) -- они определяются путем непосредственного обобщения обычной голоморфности. Условие псевдоголоморфности записывается в виде некоторой квазилинейной системы уравнений в частных производных, обобщающей классическую систему Коши--Римана. Громов исследовал эту систему и доказал, грубо говоря, что, как и в классическом случае, она имеет много решений. Его симплектические инварианты определяются с помощью псевдоголоморфных кругов, отвечающих всевозможным псевдокомплексным структурам, доминируемым исходной симплектической.

Как видно, подход Громова связан не с ДС, а с уравнениями с частными производными. Но часть его результатов (а также идей и методов) оказывается полезной для теории ДС. Другими авторами дана более близкая к теории ДС трактовка этой части или, вернее, чего-то аналогичного. На этом пути получены лучшие результаты о периодических решениях гамильтоновых систем (К.Витербо, Х.Хофер и Э.Цендер; родственным примером может служить теорема Хофера, упомянутая в конце п.2.5). Эта сторона дела хорошо отражена в [7]. Сборник [8] посвящен более широкому кругу вопросов симплектической топологии, в том числе там освещены и некоторые связи с ДС, не затронутые в [7]. (Это особенно касается инвариантных лагранжевых многообразий, в основном торов, для которых до проникновения в теорию ДС новых симплектических идей ряд вопросов качественного характера даже не ставился (не считая, конечно, частного случая инвариантных кривых двумерных диффеоморфизмов, о которых говорил еще Дж.Биркгоф). Насколько известно, обзоров на последнюю тему нет. В дополнение к сказанному можно сослаться на [9], [10].) Учебником по собственно симплектической топологии является [11]. В последнее время доклады по симплектической геометрии (как в связи с ДС, так и независимо от них) делались на международных и европейских математических конгрессах, так что в соответствующих трудах можно найти много информации о состоянии дел в этой дисциплине.

Отметим еще два примыкающих цикла работ (хотя они -- особенно второй -- именно только в той или иной степени примыкают к нашей теме).

Продолжая и развивая начатые ранее исследования, В.И.Арнольд и его сотрудники занялись группой вопросов, получивших название ``нелинейной теории Морса'' [12]. В ней речь идет о свойствах колеблемости и пересечений некоторых кривых или более общих многообразий, которые можно рассматривать как обобщения известных теорем Штурма и Морса; последние при этом выступают как относящиеся к тем частным случаям, когда эти кривые являются графиками некоторых функций или даже решений линейных дифференциальных уравнений.

Второй цикл -- это два доказательства теоремы, что на двумерной сфере с любой римановой метрикой существует бесконечное число замкнутых геодезических (прежний результат, в основном восходящий к работам Л.А.Люстерника и Л.Г.Шнирельмана конца 20-х гг., но ``дотянутый до конца'' позднее [13], [14] -- три замкнутых геодезических; правда, эти три геодезических отличаются отсутствием самопересечений). Одно доказательство начинается с принадлежащей В.Бангерту редукции задачи к двум случаям, для которых доказательства были даны самим Бангертом и Дж.Френксом [15], [16]. Здесь можно отметить замечательное сочетание новизны и преемственности (а также своего рода ``элементаризации''). На случай, который рассмотрел Френкс, обратил внимание еще Дж.Биркгоф. Это тот случай, когда имеется такая ``простая'' (не имеющая самопересечений) замкнутая геодезическая L, что любая пересекающая L геодезическая спустя некоторое время снова пересекает L. (Он охватывает, в частности, вполне классический случай метрик положительной кривизны.) Биркгоф отметил, что в этом случае вопрос сводится к исследованию некоторого отображения кольцеобразной области в себя. Френкс доказал, что данное отображение имеет бесконечное число неподвижных точек, а это и означает существование бесконечного числа замкнутых геодезических. (Как известно, самому Биркгофу принадлежит некоторый результат об отображениях кольца -- доказательство гипотезы, высказанной А.Пуанкаре и известной под названием ``последней теоремы Пуанкаре'', хотя Пуанкаре опубликовал ее именно как гипотезу. Кстати, эта теорема стимулировала формулировку упомянутой выше гипотезы Арнольда, а Френкс начал свою работу в данной области с другого доказательства теоремы Биркгофа и родственных результатов.) Френкс использовал некоторые результаты М.Хендела (которые связаны с упоминавшейся выше гипотезой Арнольда; поскольку Хендел не опубликовал доказательств, Френкс привел таковые при достаточных для его целей дополнительных предположениях. Затем Френкс еще раз вернулся к этому кругу вопросов уже для того, чтобы наряду с теоремой Хендела дать независимое от общей симплектической теории доказательство гипотезы Арнольда для диффеоморфизмов поверхностей 16) [17]. (Позднее Ш.Мацумото, продолжая эту линию исследования, предложил полное доказательство в общем случае гомеоморфизмов как гипотезы Арнольда для поверхностей 17, так и анонсированной Хенделом теоремы [18].) Вскоре после появления статей Френкса и Бангерта Н.Хингстон предложила второе доказательство теоремы о бесконечном числе замкнутых геодезических, основанное на вариационных соображениях [19]. Оно ближе по духу к традициям дифференциальной геометрии (и тем самым еще дальше от темы настоящего раздела).

Надо сказать, что в России к симплектической геометрии относят также цикл исследований А.Т.Фоменко и его учеников о топологии интегрируемых гамильтоновых систем (см.их последнюю книгу [20]). Конечно, это геометрия и притом связанная с соответствующей симплектической структурой (без которой нельзя было бы говорить о гамильтоновых системах), но по своему содержанию этот цикл исследований довольно далек от темы данного раздела; я бы отнес его скорее к теории интегрируемых систем (о других аспектах этой теории см. п.3.5).

В книге Ш.Кобаяши ``Группы преобразований в дифференциальной геометрии'' (имеется русский перевод) почти в самом начале говорится: ``Не все геометрические структуры сотворены равными: некоторые являются творениями природы, в то время как другие -- продукты человеческого разума. Среди первых риманова и комплексная структуры выделяются своей красотой и богатством.'' Эта книга вышла в 1972 г. Похоже, что тогда симплектические многообразия были скорее продуктами человеческого разума, но теперь усилиями последнего они постепенно становятся творениями природы, ``освежающе непохожими'' 18 на другие ее творения.