Научная Сеть >> "О развитии теории динамических систем" Д.В.Аносов

Наука >> Математика >> Дифференциальные уравнения | Научные статьи

См. также

Принцип динамического баланса и его реализация в учебном процессе

Введение в физику открытых систем: Динамическое и статистическое описание сложных движений

Динамические системы: динамическая система

Эта книга предназначена для специалистов по теории устойчивости, механике. Будет интересна аспирантам и инженерам-математикам.

Власть и советское общество в 1930-е годы: англо-американская историография проблемы

Теоретико-методологические основы профилактики нервных и психических болезней

Горячие "черные дыры". Новое в понимании природы теплоты: 5. Термодинамика и информация

Русское издание сочинений Давида Гильберта

Автоколебания

Русское издание сочинений Давида Гильберта: (1)

О.Б. Лупанов. Математика и механика в Московском университете

Введение в физику открытых систем: prigogine

14 февраля - день рождения С.П. Капицы

Суров В.В. - Исследование задач и методов их решения для одного класса систем логических соотношений

Исаенко А.Н., Денискин С.А. Фрактальность живого. От клетки до национальной идеи.

Реализация принципа динамического баланса в процессе методической подготовки будущего учителя физики

Психосоматический симптом как феномен культуры

От громовых камней до современной метеоритики

Филипповский Г. Ю., Поэтика экспозиций в литературных памятниках Руси XII века.

150 лет ГАИШ: 150 лет Московской университетской обсерватории - Государственному Астрономическому институту имени П.К.Штернберга

Гипотеза Зейферта.

Эта гипотеза состояла в том, что гладкий поток без положений равновесия на трехмерной сфере $\mathbb {S}$ ³ обязательно имеет замкнутую траекторию. Основанием для этой гипотезы послужила теорема Г.Зейферта, согласно которой замкнутая траектория имеется у всех потоков, получающихся при малом возмущении ``потока Хопфа'', который сейчас будет описан.

Реализуем трехмерную сферу $\mathbb {S}$ ³ как множество тех точек (z, w) двумерной комплексной плоскости $\mathbb {C}$ ² (с вещественной точки зрения она четырехмерна), для которых | z|² + | w|² = 1. Фазовая скорость потока Хопфа -- это векторное поле, сопоставляющее точке (z, w) вектор (iz, iw). Траектории потока Хопфа суть окружности {e^itz, e^itw}; разбиение $\mathbb {S}$ ³ на эти окружности -- это известное в топологии расслоение Хопфа 91, откуда и название потока. Помимо доказательства, данного самим Зейфертом, имеются по крайней мере два других доказательства его теоремы, принадлежащие Ф.Б.Фуллеру и М.Боттколу (ссылки и изложение идеи Фуллера см. в [78]). Фуллер использовал ``индекс Фуллера'' -- введенную им топологическую характеристику поведения траекторий возле замкнутой траектории 92, а Ботткол -- своеобразный вариант теории возмущений (предложенный в одной работе Ю.Мозера о периодических решениях возле положения равновесия); таким образом, методы этих работ имеют более широкое значение (чего, по-видимому, нельзя сказать о доказательстве самого Зейферта). Но они тоже относятся только к малым возмущениям потока Хопфа.

С гипотезой Зейферта связана ``гипотеза о торе'': если на границе ``полнотория'' (``сплошного тора'') $\mathbb {D}$ ²× $\mathbb {S}$ ¹ векторное поле фазовой скорости направлено всюду внутрь (или всюду вовне) полнотория и в нем нет положений равновесия, то в нем имеется замкнутая траектория. Интуитивно кажется, что последняя должна, так сказать, делать один оборот вдоль полнотория; поэтому построенный Фуллером пример, когда, правда, имеется замкнутая траектория, но она гомотопна нулю в полнотории, послужил ``тревожным сигналом'', предостерегающим от доверия к наивной интуиции.

В настоящее время обе гипотезы опровергнуты даже для аналитических потоков. В основном это заслуга К.Куперберг [108], [109], построившей C-контрпримеры, после чего У.Терстен и Э.Гис указали аналитическую модификацию построения. Стоит отметить и вклад предыдущих авторов. Ф.В.Вильсон построил контрпримеры к многомерным аналогам гипотезы Зейферта. Это, в общем, не удивительно, -- довольно понятно, что в многомерном случае квазипериодические траектории вполне могут ``заменить'' периодическую, что и имеет место у Вильсона, -- однако часть его технических приемов пригодилась последующим авторам. Неожиданностью был контрпример П.Швейцера 93(уже ``настоящий'', трехмерный) с потоком гладкости C¹ (1974 г.). После этого более гладкие варианты обоих гипотез не внушали большого доверия, однако даже поднять гладкость в контрпримерах до C² удалось далеко не сразу (Дж.Харрисон).

Интересно, что, как доказал Х.Хофер, гипотеза Зейферта верна для так называемых контактных потоков [111]. Контактные потоки бывают на нечетномерных многообразиях M^{2n + 1}. Такой поток определяется с помощью так называемой контактной формы $\lambda$ , т.е. пфаффовой формы, для которой (2n + 1)-мерная форма

$\displaystyle \lambda$ $\displaystyle \wedge$ $\displaystyle \underbrace{d \lambda \wedge \ldots \wedge d \lambda}_{\text{$n$\ раз}}^{}\,$

(32)

всюду отлична от нуля. (Я опускаю уточнения о требуемой степени гладкости $\lambda$ .) Это определение напоминает определение симплектической структуры на четномерном многообразии 94, но по существу здесь имеется по крайней мере одно существенное различие. Задание симплектической формы никак не выделяет никаких направлений в точках M. Контактная же форма в каждой точке x определяет некоторое одномерное направление, -- именно, направление вырождения формы d $\lambda$ : вектор X $\in$ T_xM имеет это направление, если

d $\displaystyle \lambda$ (X, Y) = 0 для любого Y $\displaystyle \in$ T_xM.

Вдобавок фиксируется имеющий это направление вектор X_x $\in$ T_xM, для которого $\lambda$ (X_x) = 1. Векторное поле X иногда называют полем Ж.Риба. Контактный поток -- это поток с векторным полем фазовой скорости X.

В действительности теорема Хофера является более общей: если у трехмерного замкнутого многообразия M одномерная группа когомологий H¹(M, $\mathbb {R}$ ) = 0, то любой контактный поток на M имеет замкнутую траекторию. Это частный случай гипотезы А.Вайнстейна, в которой многообразие не предполагается трехмерным.

Форму (32) можно принять за форму объема на M. (Для читателя, который связывает понятие ``объем'' только с римановой геометрией, замечу, что если на m-мерном гладком многообразии M задана нигде не обращающаяся в нуль m-мерная внешняя форма $\Omega$ , то на M существует такая риманова метрика, для которой ``элемент объема'' выражается как раз формой $\Omega$ .) Легко доказать, что контактный поток сохраняет задаваемый этой формой объем. Возникает вопрос, не верна ли гипотеза Зейферта для любых потоков, сохраняющих объем? Г.Куперберг (сын К.Куперберг) построил противоречащий пример к этому предположению (ссылку см. в [109]).

МЦНМО

Написать комментарий