Поскольку зашла речь о различии между локальной и глобальной теориями, то надо сказать, что оно отчасти условно: если координаты вектора фазовой скорости v(x) (локального) потока в ⁿ являются однородными многочленами степени k от координат x, то исследование поведения траекторий возле начала координат (являющегося положением равновесия) в значительной степени эквивалентно глобальному исследованию некоторого потока в (n - 1)-мерном проективном пространстве ^{n - 1},

куда траектории ``проектируются'' по радиусам. (Собственно говоря, при проектировании траекторий в ^{n - 1} там получается не векторное поле, а поле направлений (касательных прямых). Но это хотя и требует известного внимания, в конечном счете не нарушает сказанного ниже.) Таким путем можно получить (при подходящем k) потоки в ^{n - 1} достаточно общего вида, чтобы (при n 4) для них реализовывались различные известные варианты сложного поведения траекторий, известные в глобальной теории. Можно также обеспечить, чтобы соответствующие траектории в  ⁿ целиком лежали возле 0 и вели себя столь же сложно. Таким образом, n-мерная локальная теория как бы содержит внутри себя (n - 1)-мерную глобальную или по крайней мере весьма значительную ее часть и не может быть проще нее.

Но практически это принципиальное замечание не имеет большого значения. Дело в том, что при k > 1 положение равновесия 0 является вырожденным, причем коразмерность вырождения (характеризующая ``его степень'') быстро растет с ростом k. Со столь вырожденными случаями локальная теория практически не имеет дела. Сказанное означает только то, что (по крайней мере в многомерном случае) локальная теория не может претендовать на полное исследование всех возможностей, ибо в глобальной ситуации они необозримы. Но таких претензий никогда и не высказывалось.







































8 Это значит, что положительно определена соответствующая квадратичная форма. Если же положительной определенности нет, то часто говорят о псевдоримановом многообразии и о псевдоевклидовом скалярном произведении в касательных пространствах.







































... Г. Дарбу 9 Она была доказана также и Г.Фробениусом, но в общепринятом названии теоремы о нем почему-то не упоминают.







































10 В этом отношении ситуация аналогична с ситуацией для плоских римановых многообразий. Таким образом, имеется некоторая аналогия между условием замкнутости формы  и условием обращения в нуль тензора кривизны. Однако она не кажется глубокой. Начать хотя бы с того, что замкнутость -- это дифференциальное условие первого порядка, а нулевая кривизна -- второго. Если это различие может показаться формальным, то вот и вполне содержательное различие: группа изометрий связного риманова многообразия конечномерна, а группа симплектоморфизмов симплектического многообразия бесконечномерна.







































11 Лагранжевы подмногообразия, как и ряд родственных объектов, неявно присутствовали в математическом аппарате классической аналитической механики, но в явном виде они были выделены В.П.Масловым и В.И.Арнольдом.







































12 В конечном счете, естественно, и у него появление симплектических многообразий происходило в духе указанных выше двух источников, но непосредственные причины обращения к ним были разнообразными.







































13 Это одна из формулировок условия на g₁, накладываемого в этой гипотезе. Чаще приводят другую формулировку, связанную с так называемыми асимптотическими циклами -- гомологическим аналогом числа вращения Пуанкаре, относящегося к гомеоморфизмам окружности.







































... Громова 14 Первый набросок доказательства был дан Громовым совместно с Я.М.Элиашбергом.







































15 То есть структура комплексного пространства во всех касательных пространствах T_xM, в понятном смысле гладко зависящая от x; в данном случае она получается из исходной комплексной структуры на M, но в общем случае может получаться и как-нибудь иначе.







































16 Здесь идет речь об этой гипотезе для гомеоморфизмов ориентируемых поверхностей рода > 1, сохраняющих площадь. ``Общими симплектическими'' методами она к тому времени уже была доказана А.Флером.







































17 В двумерном случае симплектичность отображения сводится к сохранению площади, а о нем можно говорить применительно не только к диффеоморфизмам, но и к гомеоморфизмам.







































18 Выражение В.И.Арнольда по более скромному поводу -- в связи со сравнением линейной алгебры в симплектическом пространстве (ⁿ,) с постоянной (имеющей постоянные коэффициенты) и обычной евклидовой геометрии.







































19 Основной локальный вопрос: пусть f (a) = a; при каких условиях возле a конформное отображение f сопряжено со своим линейным приближением, т.е. с линейным отображением x a + f'(a)(x - a), и если сопряжения нет, то что этому мешает? Если | f'(a)| 1, сравнительно просто доказывается существование сопряжения, в противном случае ситуация гораздо сложнее, см. [1].







































20 Первый положительный результат для | f'(a)| = 1.







































21 На конференции по теории ДС в Триесте осенью 1998 г. Р.Перец-Марко анонсировал доказательство гипотезы MLC в общем случае.







































22 Так, правильная форма кристаллов известна с древности; уже в прошлом веке были известны их количественные характеристики и тот факт, что данное вещество кристаллизуется всегда в одну и ту же кристаллическую форму или в одну из нескольких кристаллических форм со свойственными данному веществу характеристиками; давно возникло предположение, что дело здесь в расположении атомов или молекул в узлах некоторой кристаллической решетки; количественная реализация последнего предположения была дана Е.С.Федоровым и Шенфлисом немногим более 100 лет назад. Однако только около 90 лет назад это предположение было доказано с помощью дифракции рентгеновских лучей на кристаллах, а что касается самого факта, что большинство веществ при низких температурах переходят в кристаллическую фазу, то лишь сравнительно недавно в статистической термодинамике стали получаться результаты, идущие в этом направлении (между прочим, они отчасти имеют отношение к некоторой части теории ДС; см.упоминание о фазовых переходах в п.1.3). Наконец, экспериментальные исследования механизма роста кристаллов, в частности открытие дислокационного механизма роста -- это почти исключительно послевоенный период (важная идея дислокации появилась раньше, но по другому поводу). О том же, чтобы получить механизм роста ``из первых принципов'', пока, кажется, вообще не было речи.







































... последствиями 23 Пожалуй, на этом поприще вершины своей карьеры фракталы достигли в следующей фразе: ``Можно сказать, что Иисус Христос находится в центре многомерного фрактала, распространяющегося по некоторым правилам порождения, которые могут быть описаны в бинарных терминах'' (М.Элиадис, И.Кулиано, ``Словарь религий, образов и верований'', М.: Рудомино и СПб: Университетская книга, 1997).







































24 Так ее называют в конформной динамике, вообще же она называется ``теоремой о существовании квазиконформного гомеоморфизма'' (какого именно, в названии не уточняется, и я тоже не буду этого делать). Теорема постепенно доказывалась во все большей общности; для конформной динамики нужен именно последний вариант, принадлежащий Л.Альфорсу, Л.Берсу, И.Н.Векуа и Ч.Морри. А идея использовать ее в конформной динамике принадлежит Д.Сулливану. По-видимому, он же указал и на возможность ее использования в теории клейновых групп, что попало в печать несколько быстрее. Тем временем, начиная с 1981 г., измеримую теорему Римана независимо начали использовать в локальных вопросах (С.М.Воронин, Б.Мальгранж и Ж.Мартине--Ж.П.Рамис). Вслед за Сулливаном его идею в других задачах конформной динамики использовали А.Дуади и Дж.Хабборд, после чего она, так сказать, ``внедрилась'' в сознание исследователей в этой области.







































25 Выше, казалось бы, утверждалось обратное, но там речь шла не об общей идее перенормировки, а о некоем специфическом приеме, использующем перенормировку вместе с ``геометрией'' некоей теоретико-числовой задачи; в многомерной ситуации в первую очередь недостает понимания этой ``геометрии''.







































26 Иногда этот прием удается использовать даже для неаналитических отображений, которые продолжаются в комплексную область неаналитически, но, грубо говоря, так, что они мало отличаются от аналитических.







































... Фейгенбаума'' 27 Речь идет о некоторой закономерности (тоже своего рода самоподобии) в бесконечной последовательности бифуркаций удвоения периода одномерного отображения. (При такой бифуркации периодическая точка теряет устойчивость и из нее ``рождается'' устойчивая периодическая точка удвоенного периода.) Доказано, что эта закономерность является ``свойством общего положения'', сам же М.Фейгенбаум обнаружил ее в ходе численных экспериментов. (По его несколько ироническому высказыванию, ему помогло то, что он вначале работал всего-навсего с программируемым микрокалькулятором, вследствие чего приходилось более тщательно продумывать ход вычислений, нежели бы это было нужно при использовании более мощного компьютера).

Хотя непосредственно здесь говорится об одномерных отображениях, соответствующие последовательности бифуркаций встречаются и для многомерных ДС (включая потоки), потому что для них вполне может случиться, что ``основные события'' будут все-таки ``одномерными''. См. рассказ самого Фейгенбаума о его открытии и (частично гипотетической) роли последнего [27].







































28 Под вопросами, в каком-то отношении близкими к локальным, здесь понимаются некоторые вопросы о бифуркациях, более или менее глобальные по фазовому пространству, но локальные по параметру. См. конец п.2.3.







































29 Левое действие (полу)группы G на X -- это такое отображение

Замечу для дальнейшего, что по аналогии со случаем классического времени множество {(x); g G} называют траекторией (или орбитой) точки x (под действием G).







































... определениях 30 Они выдержаны в более классическом духе, чем первоначальное определение Неймана, в котором речь идет о возможности осуществления в пространстве ограниченных функций на G некоторого трансфинитного построения (дающего так называемое левоинвариантное банахово среднее).







































31 В литературе рассматривались также действия локально компактных групп и полугрупп. Предположение о дискретности делается для простоты изложения (здесь заметных различий между дискретным и локально компактным случаями не видно, хотя в дальнейшем таковое кое-где возникает).







































32 Для классического времени хорошо известно, что эргодические теоремы имеют место и в пространствах с бесконечной мерой, причем при переходе к ним и формулировки, и доказательства почти не меняются, хотя при дальнейшем развитии теории случаи конечной и бесконечной меры оказываются существенно различными и сейчас это развитие в основном относится к случаю конечной меры. Но поскольку в случае неклассического времени ситуация с индивидуальной эргодической теоремой неясна, естественно пока что ограничиться случаем конечной меры, что обычно и делают.







































... индекса) 33 В [29] сказано, что счетные группы, для которых существует фелнеровская система, удовлетворяющая рассматриваемым там условиям, основным из которых является условие Кальдерона, ``в существенном (essentially)'' суть группы с полиномиальным ростом, т.е. конечно порожденные группы с полиномиальным ростом введенной выше функции f (k), а такие группы, как доказал М.Громов, почти нильпотентны. В [29] не сказано, что конкретно означают слова ``в существенном''; поскольку говорить о полиномиальном росте можно только для конечно порожденных групп, то возможно, что именно они и имеются в виду. Но, насколько известно, даже и для них не доказано, что из условия Кальдерона следует полиномиальность роста f (k).







































34 Первоначально Григорчук опубликовал сообщение о своих результатах только в трудах провинциальной конференции [31] (ограничиваясь свободными группами, но не требуя конечности инвариантной меры). Оно не привлекло внимания, и позднее появились аналогичные работы других авторов [32]. Начали также рассматриваться аналогичные теоремы для действий некоторых полупростых групп Ли [33], [34].

Я не буду обсуждать здесь более ранних работ [35], [36]. Их пионерское значение бесспорно, но в них речь идет о специальных ситуациях и у них имеются специфические особенности, которые хотелось бы понять с общих позиций, к чему я, -- думаю, не я один, -- не готов. (Например, в [36] осреднение по разрешимой группе производится таким образом, как если бы она была свободной.) Отмечу только статистическую эргодическую теорему для свободной группы, доказанную в [37].







































35 Пространство Лебега -- это пространство с мерой, изоморфное (в том смысле, как это естественно понимать для пространств с мерой) стандартному объекту -- отрезку [0, 1] с нормированной мерой Лебега--Стильтьеса. Эквивалентное определение: пространство Лебега изоморфно отрезку [0, a] с мерой Лебега, к которому добавлено не более чем счетное множество ``атомов'' с мерами p_n, причем a + p_n = 1 (нормированность). Это определение учитывает некоторые полезные особенности большинства встречающихся в эргодической теории конкретных примеров, позволяющие при анализе чисто метрических вопросов продвинуться значительно дальше, нежели это было бы возможно для общих пространств с мерой. О том, что класс пространств Лебега достаточно велик, свидетельствует следующий факт: метризуемый компакт с нормированной мерой (определенной на его борелевских подмножествах) является пространством Лебега.

Теорию пространств Лебега разработали Дж.Нейман и П.Халмош (употреблявшие другое название) и особенно В.А.Рохлин.







































... полугрупп 36 Уже для некоммутативных топологических групп могут возникать затруднения из-за различия между левоинвариантной и правоинвариантной мерами Хаара. Это есть нечто новое по сравнению с дискретными группами.







































37 Если бы мы в правой части (3) взяли  вместо  , то получилось бы антипредставление: U_gh = U_hU_g, что в общем ничуть не хуже, но менее привычно. Для полугруппы пришлось бы иметь дело именно с антипредставлением, но кроме того (что существеннее) операторы U_g были бы не унитарными, а изометрическими.







































38 См., впрочем, п.3.9.







































... эргодична 39 В ``абстрактной'' эргодической теории ДС с классическим временем доказывается, что каждая система в некотором естественном смысле разлагается и притом единственным образом на эргодические компоненты, поэтому принимается точка зрения, что свойства `` общих'' ДС как бы сводятся к свойствам их эргодических компонент и оттого в основном надо заниматься именно эргодическими ДС (тогда как в ``прикладной'' теории приходится, конечно, для каждой конкретной ДС стараться выяснить, эргодична она или нет). Для ДС с неклассическим временем сказанное остается в силе, если G -- локально компактная группа со счетной базой (причем мера в фазовом пространстве может быть не инвариантной, а квазиинвариантной). При более общих G различные определения эргодичности и разложения на эргодические компоненты становятся неэквивалентными (см. статью ``Метрическая транзитивность'' в ``Математической энциклопедии''); все же в какой-то степени указанная точка зрения остается применимой.







































40 Надо сказать, что в первые две трети 60-х гг. Макки был едва ли не единственным, кто пропагандировал изучение ДС с неклассическим временем, выходящее за пределы эргодических теорем.







































41 Если спектр имеет не только лебеговскую, но и сингулярную компоненту, то кратность первой может быть конечной, см. [38], где имеются также ссылки на более ранние примеры такого рода.







































... таковым 42 Перемешивание, о котором здесь идет речь, является `` спектральным'' свойством, т.е. определяется некоторым свойством спектра соответствующих {U} или {U_t}, а для кратного перемешивания характеристики в терминах спектра не имеется (хотя из формулируемой ниже гипотезы Рохлина в конечном счете следовало бы, что такая характеристика есть).







































43 То есть на угол, несоизмеримый с ``полным'' (360^o). При реализации окружности как / это есть сдвиг на иррациональное (в обычном смысле слова) число. Замечу, что именно разбиение окружности на траектории этого сдвига встречается при построении наиболее известного примера неизмеримого множества.







































... все 44 В первом случае говорят о свободном действии. Во втором случае Макки и Циммер называют действие ``существенно свободным'' (``essentially free''; более точным переводом было бы ``в сущности свободным'').







































45 Этот термин пришел, по-видимому, из геометрии поверхностей, где, впрочем, некоторые из наиболее авторитетных специалистов предпочитали говорить об ``однозначной определенности'' и только для некоего инфинитезимального варианта последней употребляли название ``жесткость''.







































... ассоциаций 46 Однако у Циммера есть теорема (к сожалению, формулируемая слишком громоздко), следствиями которой являются как его результат о жесткости, так и часть результатов Мостова и Маргулиса, так что формальные связи здесь тоже имеются.







































47 В то время Н.Н.Боголюбов называл такие группы ``банаховыми'', ибо они характеризуются существованием банахова среднего.







































48 Когда одна и та же топологическая ДС рассматривается одновременно с различными инвариантными мерами, то вместо ``эргодичности ДС по отношению к мере '' часто говорят об ``эргодичности меры ''.







































49 Читатель, не знакомый с тихоновской топологией, может принять по определению, что в данном случае это есть топология, индуцируемая вводимой ниже метрикой .







































50 На что имеются известные основания. В классической механике конфигурация системы -- это расположение ее частей, без учета скоростей их движения. А сейчас мы имеем дело с равновесной статфизикой, где о движениях не говорится. (При желании можно вообразить, что если какие-то движения есть, то они являются ``скрытыми'', ``спрятанными внутри состояний'' и только эффективно учитываются в фигурирующей ниже энергетической характеристике f. Впрочем, физические задачи с конечным числом состояний частиц решетки бывают связаны со спином, а спин вообще не описывается в классических терминах с различением координат и импульсов и с разделением энергии на потенциальную и кинетическую. Раз уж зашла об этом речь, надо сказать, что на самом деле квантовомеханическое описание спина сложнее обсуждаемой здесь примитивной ситуации, где говорится только, что у частицы имеется конечное число состояний (с соответствующей энергетической характеристикой). Тем не менее иногда -- и, по-видимому, чаще, чем можно было бы ожидать, -- описываемая примитивная модель оказывается дающей достаточно хорошее приближение.)







































51 В теории информации естественно использовать не натуральный, а двоичный логарифм. Но в статфизике, как и в более аналитических математических вопросах, используют натуральный логарифм, от чего соответствующие величины только умножаются на некоторый постоянный множитель.







































52 Правда, животным оно известно для непрерывной системы (вода), а с фазовым превращением в решетчатых системах познакомились только люди, когда стали изучать магнитные и электрические явления в кристаллах.







































... гиббсовскими''. 53 Они действительно похожи на гиббсовские распределения в классической статфизике и еще более -- на ``гиббсовские ДЛР-меры'' для бесконечных систем типа A<sup><sub>n</sub></sup>, введенные Добрушиным, Ланфордом и Рюэллем. Для ДС с классическим временем приводимое ниже определение уже ``прошло проверку практикой'', но для неклассического времени такая проверка в большей степени еще предстоит (кроме случая, известного из статфизики; но и в этом случае, может быть, предстоит выяснить различные аспекты связи приводимого определения с конструкцией ДЛР).







































54 В статфизике меры, не являющиеся трансляционно инвариантными, могут быть вполне естественными: достаточно представить себе, что в одном полупространстве имеется одна фаза, а в другом -- другая. Это столь же реально, как и тот случай, когда все пространство заполнено одной фазой и соответствующая мера трансляционно инвариантна.







































55 Собственно, формально их подходы не совсем совпадают -- у Боуэна вообще нет общего понятия гиббсовской меры (которое само по себе, как и понятие равновесной меры, не связано с кодированием), а он просто называет так те меры, которые строит для рассматриваемых им систем. Но с более широкой точки зрения это все-таки один подход.







































... группы56 Уже упоминавшийся выше измененный способ осреднения по группе, предложенный Р.И.Григорчуком, формально зависит от выбора ее образующих. Зависит ли от этого результат, в общем случае неизвестно (но в эргодическом случае не зависит).







































... уравнения57 Довольно необычного: в нем подинтегральное выражение известно, а неизвестной является область интегрирования. NAME="foot514"... модели58 Точнее, математические модели подобного явления предлагались, но, кажется, они не были связаны с ``теорией катастроф'' и исследовались численно.







































... системе 59 Она может относиться и не к физике, а, скажем, к экономике, биологии, даже, как говорят, к психологии или социологии. Для систем, относящихся к физике, обычно более или менее известны их математические модели или по крайней мере общий характер последних. В этих случаях применения ``теории катастроф'' не вызывают сомнений.







































60 Конечно, психологические, экономические или социологические вопросы в старину к натурфилософии не относили, как явствует из самого ее названия. Но я и говорю только о стиле.







































61 Раз уж зашла об этом речь, отмечу еще следующее. Имеется известный прием иллюстрации взаимоотношений между логическими понятиями -- круги Эйлера--Венна. Скажем, мы хотим проиллюстрировать взаимоотношение между понятиями ``домашние животные'', ``млекопитающие'', ``кошки'', ``собаки''. Рисуем два частично пересекающихся ``круга'' (которые могут быть и овалами, если их удобнее будет рисовать) -- ``млекопитающие'' и ``домашние животные'', внутри первого рисуем два круга -- ``кошки'' и ``собаки'', которые не пересекаются друг с другом, но оба частично пересекаются с ``домашними животными''. При этом никто не думает, будто бы множество животных в каком-то смысле двумерно и что четыре интересующих нас множества суть и вправду круги или овалы. Не могут ли иногда те рисунки, которые рисуют ``катастрофисты'', интерпретироваться как какие-то условные изображения каких-то взаимоотношений, не обязательно связанных с теми конкретными моделями, о которых при этом говорят, вроде того как для кругов Эйлера--Венна несущественно, что это именно круги и притом на плоскости? Это можно предполагать, если фактическая сторона дела в экономических и прочих вопросах действительно такова, как описывают ``катастрофисты'', а модели в этих случаях сомнительны, как говорят их критики. Том как раз и полагал, что теория катастроф дает нам некий новый язык форм и что более сложные системы и взаимоотношения между ними как бы строятся

из элементарных блоков, описываемых согласно сказанному выше посредством отдельных систем с отдельными особенностями из некоего определенного списка. (Кстати, сам этот список оказался неполным.) Но если нет оснований считать, что изучаемая физическая система действительно такова, как сказано (т.е. с медленными и быстрыми переменными, причем последние, часть которых нам неизвестна, изменяются по градиенту), то как еще могли бы интерпретироваться эти блоки и рисунки?







































62 Основное содержание этой брошюры, конечно, состоит не в критическом обсуждении теории катастроф, а в изложении понятий теории особенностей, ее приложений, ее истории и ранней истории теории бифуркаций ДС. Еще меньше о теории катастроф и больше об остальном сказано в его обзоре [47].







































63 Это значит, что существуют такие k-параметрические семейства ДС, что и для них, и для всех достаточно близких к ним семейств при некотором значении параметра в соответствующей ДС имеется вырождение рассматриваемого типа. (``Близость'' понимается как близость в смысле C^m, где m зависит от того конкретного типа вырождений, о котором идет речь.) Если же имеется (k - 1)-параметрическое семейство, то путем сколь угодно малого его возмущения можно получить семейство ДС, ни одна из которых не имеет вырождения данного типа.







































64 Несомненно, что авторы ``классических'' работ (в понятных обозначениях, появившихся в период (- , t<sub>[50]</sub>)) это ``чувствовали'' (как ``чувствовали'' они и многое другое из новой парадигмы). Но они давали на сей счет разъяснения (если вообще их давали) только применительно к интересовавшим их задачам и к рассматривавшимся при этом случаям малой коразмерности. По большей части это как-то проплывало мимо сознания более широких кругов.







































65 Некоторая работа такого рода проводилась как в специальном контексте теории катастроф (информацию см. в [49]), так и вне него.







































66 Частично этот материал более детально изложен в конце учебника Арнольда [51].







































67 Т.е. бифуркации, относящиеся к объектам локальной качественной теории -- положениям равновесия и периодических траекторий потоков, неподвижным и периодическим точкам диффеоморфизмов.







































... плоскости 68 В ряде случаев благодаря использованию центрального многообразия автоматически получается полная редукция к потокам на плоскости, но иногда центральное многообразие имеет размерность 3 или 4; в этом случае ситуация сложнее. Все же искусственным образом удается произвести некоторую редукцию к двумерному случаю, хотя и не столь полную.







































69 Исследовались, конечно, и полулокальные бифуркации, более или менее непосредственно аналогичные соответствующим бифуркациям для потоков на плоскости, которые с таким поведением траекторий не связаны. Их исследование -- необходимая составная часть теории (и о них тоже говорится в [52]), но для нас они не столь интересны.







































70 В [54] рассматривался трехмерный поток (что фактически покрывает и случай двумерного диффеоморфизма). Многомерные аналоги ситуации из [54] были рассмотрены в [55], [56], [57], причем в двух последних работах исследование идет дальше аналогов результатов [54]. В [54], как и в ряде других работ в этой области, предполагалось, что отображение последования для исходной периодической траектории гладко сопряжено с линейным; в [55], [56], [57] такого предположения не делается.







































71 Отчасти сказанное относится и к весьма важному аттрактору Эно, введенному независимо от теории бифуркаций. Однако со временем он оказался тесно связанным с последней: во-первых, он возникает (и играет важную роль) при некоторых бифуркациях; во-вторых (исторически это обнаружилось раньше), описание его свойств получается при некоторых значениях параметров, от которых он зависит; нет сомнений, что при других значениях параметров свойства могут быть другими, хотя (пока?) это подробно не исследовано. Я не говорю здесь об аттракторе Эно единственно по той причине, что о нем говорится у Йоккоза [1]; см. также его доклад на семинаре Бурбаки [58].







































72 Это значит, что A является максимальным инвариантным множеством в некоторой своей окрестности. Локально максимальные инвариантные множества (не обязательно гиперболические) называют также изолированными.







































... возмущении 73 В этом пункте я скорее описываю результаты, чем даю точные формулировки. В частности, малость возмущения понимается в смысле некоторого C^r, но я ничего не говорю об этом r (в различных случаях оно может быть различным)







































74 Должен предупредить, что в точных формулировках, относящихся к областям в пространстве ДС и к областям в семействах, имеются некоторые различия. Приводя только приблизительное описание этих результатов, я игнорирую эти различия как ``технические''.







































75 В частности, в [66] имеется ссылка только на одну раннюю работу Шильникова, написанную до его основных `` бифуркационных'' работ (но уже выходящую за рамки равномерной гиперболичности).







































... аттрактор76 Это слово происходит от attract -- притягивать, привлекать, и употребляется как название множеств, которые как бы притягивают к себе близкие траектории. В литературе встречаются различные формализации этого свойства ``притягивать траектории''. В настоящей статье по большей части под аттрактором понимается компактное инвариантное множество A, которое устойчиво по Ляпунову (т.е. для любой его окрестности V имеется такая окрестность W, что ни одна положительная полутраектория, начинающаяся в W, никогда не выйдет из V) и таково, что все положительные полутраектории, начинающиеся в некоторой окрестности A, с возрастанием времени неограниченно приближаются к A. (Это почти дословная перефразировка принадлежащего А.М.Ляпунову определения асимптотической устойчивости положения равновесия.)







































77 Насколько я могу судить, ``странные'' и `` хаотические'' аттракторы -- это не точные термины, а несколько неопределенные названия (ср. с ``фракталами'' Мандельброта), к тому же несущие в себе оттенок эмоционального отношения, связанного с первоначальным удивлением. Под ``странными аттракторами'' обычно понимаются аттракторы (т.е. множества, как бы притягивающие траектории), устроенные в каком-то смысле ``сложно'' и ``странно''; они не являются многообразиями или чем-нибудь в этом роде (скажем, не состоят из нескольких ``кусков'' многообразий). ``Хаотический'' аттрактор характеризуется ``квазислучайным'' поведением его траекторий. Еще в начале 70-х гг. В.М.Алексеев предложил формализовать ``квазислучайность'' как положительность топологической энтропии. (Но имеются и другие (неэквивалентные) формализации (см. [66]), позволяющие рассматривать и некоторые аттракторы с нулевой энтропией как все-таки хаотические.) Понимаемые в таком смысле, ``хаотичность'' и ``странность'' -- не синонимы: аттрактор может быть многообразием и в то же время иметь положительную энтропию; он может иметь нулевую энтропию и в то же время не быть многообразием и вообще быть устроенным более или менее сложно. Другое дело, что большинство встречающихся ``странных'' аттракторов являются и ``хаотическими'' (что связано с присущей им некоторой гиперболичностью, пусть и более слабой, чем у `` настоящих'' гиперболических множеств).







































78 В [66] имеются ссылки на более ранние работы западных авторов, тоже отмечавших возникновение странных аттракторов при некоторых бифуркациях. Обычно это были не равномерно гиперболические аттракторы, а аттракторы типа аттрактора Лоренца, о котором говорится ниже.







































... ``исключительными'' 79 Здесь возникает отмеченная по несколько другому поводу А.Н.Колмогоровым коллизия между топологической и метрической точками зрения: при достаточной гладкости рассматриваемых семейств множество бифуркационных значений параметра всегда имеет положительную меру. Подобные вопросы входят в компетенцию теории КАМ, а применительно к данному примеру -- также более специальной теории М.Эрмана и Ж.-К.Йоккоза, на доклад которого я сослался в самом начале.







































80 Ср. с ``принцессой на горошине'', еще ранее описанной Г.-Х.Андерсеном. Она всю ночь пыталась путем приведения себя в общее положение сделать беспокоившие ее ощущения исключительными, но это ей не удалось.







































81 Из сказанного об областях Ньюхауса ясно, что там это явление тоже наблюдается. Но, как говорилось, для них в середине 70-х гг. имелись скорее догадки, чем строгие результаты.







































82 Поясняю еще раз: принципиальный факт существования ДС с аттрактором Лоренца был ясен уже после первых публикаций Дж.Гукенхеймера и Р.Вильямса; несложные конкретные системы дифференциальных уравнений, в которых при некоторой бифуркации рождается аттрактор Лоренца, указаны в работах, цитированных в [66]; ни то, ни другое не связано с численными экспериментами. На них отчасти опирается ``только'' проверка наличия аттрактора Лоренца в рассматривавшейся Лоренцом системе.







































... закрыты 83 Информацию см. в [75].







































84 Грубые диффеоморфизмы окружности были описаны А.А.Майером вскоре после появления работы Андронова--Понтрягина. Они тоже образуют открытое всюду плотное множество в пространстве всех C¹-диффеоморфизмов.







































... гиперболическим 85 Определение систем Морса--Смейла и гиперболических множеств приводится в учебниках по гладким динамическим системам, обзорах [77] и [78], а также в соответствующих статьях в ``Математической энциклопедии''. Стоит обратить внимание, что применительно к положениям равновесия терминология, установившаяся в теории гладких динамических систем с 60-х гг., отличается от прежней: теперь экспоненциально устойчивые (неустойчивые) фокусы и узлы тоже относят к числу гиперболических положений равновесия, а раньше гиперболическими назывались только седла.







































86 Это, несомненно, была одна из лучших работ, опубликованных в ``Математических заметках'' (если не лучшая из них). Но хотя ``Заметки'' вообще-то переводятся на английский язык, эта работа не была переведена -- в то время ``краткие научные сообщения'' (где как раз и публикуются последние новинки) не переводились!







































... полицикла 87 Полицикл -- это замкнутая кривая L, состоящая из сепаратрис, соединяющих некоторые положения равновесия, и самих этих положений равновесия, причем направления движения (с ростом t) по сепаратрисам отвечают одному и тому же направлении обхода по L. При наличии у L точек самопересечения (таковыми могут быть только положения равновесия) фактически дополнительно требуется, чтобы путем малой деформации ориентированной кривой L могла получиться замкнутая кривая без самопересечений (иначе не приходится говорить о рождении предельного цикла из ориентированной кривой L).

Название ``полицикл'' получило распространение в последние годы, хотя, кажется, еще не стало стандартным. Раньше часто говорили ``сепаратрисный контур (многоугольник)'', ``сложный цикл'' и т.п.







































... решающей88 В той части [96], [97], где говорится об общих свойствах рассматриваемых слоений, имеются пробелы и неточности (что было сразу же отмечено несколькими людьми), но в этой части дефекты более или менее поправимы, требуя главным образом уточнений формулировок. В основном это указано в [98]. С критикой же, касающейся перехода от общих вопросов к самой 16-й проблеме Гильберта, они согласились позднее [100] (только после упомянутого семинара).







































... левым 89 Подразумевается, что G/D состоит из левых смежных классов gD. Если бы речь шла о правых смежных классах Dg (их совокупность лучше обозначать через D\G, но пишут и G/D), то однородный поток определялся бы правым действием.







































90 То есть получающихся при действиях однопараметрических подгрупп.







































... Хопфа 91 Точнее, расслоение Хопфа -- это отображение ³², получающееся при отождествлении в точку каждой из указанных окружностей. С ним связано (неожиданное в то время) открытие Х.Хопфа, что гомотопическая группа (²) 0.







































92 Этот индекс не имеет ничего общего (кроме самого слова ``индекс'') с упомянутым в п.1.1 индексом Конли. Если говорить о соответствующих классических корнях, то индекс Фуллера связан не с индексом Морса, а с индексом Кронекера--Пуанкаре.







































93 На русском языке пример Швейцера изложен в книге Тамуры [110].







































94 Сходство усиливается, если учесть следующую теорему Г.Дарбу: в окрестности каждой точки x можно ввести такие локальные координаты (x₁, y₁,..., x_n, y_n, z), в терминах которых = dz + y_i dx_i. Однако контактной структурой обычно называют не пару (M,) с контактной формой , а определяемое последней на M поле 2n-мерных касательных подпространств E_x T_xM, где