Научная Сеть >> Физические основы строения и эволюции звезд

Наука >> Астрономия >> Астрофизика >> физические процессы | Книги

См. также

Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова: ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Астрономия: учебно–методическое пособие для преподавателей астрономии, студентов педагогических вузов и учителей средних учебных заведений.

150 лет ГАИШ: 150 лет Московской университетской обсерватории - Государственному Астрономическому институту имени П.К.Штернберга

Законы физики в космосе

Солнечно-земная физика

"...И гений - парадоксов друг": 290 лет со дня рождения Михаила Васильевича Ломоносова

Программа молодежной конференции "Современные вопросы геологии", 2-е Яншинские чтения, Институт литосферы окраинных и внутренних морей РАН, 26-29 марта 2002 года

Биогенез: мотивы и феномены возникновения жизни

Проблемы нефрологии детского возраста на рубеже столетий: наследственные нефропатии, дизэмбриогенез почек, гломерулонефрит, эконефропатии

Концепция естественной теологии в биологических работах Джона Рея : (1)

XXXVI Тектоническое совещание

А.С. Спирин. Принципы структуры рибосом

Биологическая эволюция и морфогенез: Накопление биологического потенциала на докембрийском этапе эволюции.

Концепция естественной теологии в биологических работах Джона Рея : (2)

Б.А. Бахметев дипломат, политик, мыслитель

Мировая линия Гамова

Радиоактивные газовые зонды в дифузионно-структурном анализе твердых тел и твердофазных процессов: (1)

<< 9.2 Движение частиц в ... | Оглавление | 9.4 Общие свойства равновесия ... >>

9.3 Сферически-симметричное поле внутри звезды

Займемся теперь уравнениями в веществе. Начнем с уравнения (3) из раздела 9.1. Оно содержит только $\lambda$ . Пусть задано .

Известный метод решения неоднородных уравнений -- метод вариации констант. Мы знаем, что удовлетворяет однородному уравнению. Будем теперь считать, что не является константой. Тогда после подстановки в неоднородное уравнение все члены, не содержащие , сократятся, а мы получим

$\displaystyle -{1\over{r^2}}{da\over{dr}}=\varkappa T^0_0.$

По определению

$\displaystyle T^0_0=-\rho c^2=-\varepsilon.$

Тогда

$\displaystyle a(r)={8\pi G\over{c^4}}\,\int\limits^r_0{\varepsilon}\,r^2dr.$

Введем величину

, такую, что

$\displaystyle a(r)={2Gm(r)\over{c^2}},$

т. е.

$\displaystyle m(r)=4\pi\,\int\limits^r_0\rho\,r^2dr.$

Результат получился вроде бы тривиальный. Но на самом деле это не так. Элемент объема вовсе не равен $4\pi r^2dr$ . Поскольку метрика неевклидова, расстояние между равно не , а $e^{\lambda/2}dr$ , т. е. $dr/\sqrt{1-{a(r)\over r}}$ , так что

$\displaystyle dV={4\pi r^2dr\over{\left(1-{a(r)\over r}\right)^{1/2}}}.$

Таким образом,

$\displaystyle m(r)<\int\limits^r_0\rho \,dV.$

Полная масса есть значение

на краю звезды

$\displaystyle M=4\pi\int\limits^R_0\rho \,r^2dr<\int\limits^R_0\rho \,dV.$

Полная масса меньше суммы масс отдельных частей звезды, так как она складывается из масс, которые взаимодействуют гравитационно.

Если отдельные куски вещества (так же сжатые, как в звезде) разнести далеко друг от друга, то их полная масса была бы равна

$\displaystyle M'=\int\limits^R_0\rho \,dV=4\pi\int\limits^R_0{\rho\,r^2dr \over{\sqrt{1-{2Gm(r)\over{rc^2}}}}}.$

Вычислим полное число барионов в звезде

$\displaystyle N=\int\limits^R_0n(r){r^2dr\over{\sqrt{1-{a(r)\over r}}}}.$

Здесь

-- плотность числа барионов. Теперь определим массу

, равную

$\displaystyle M_0=m_0 N,$

где

-- масса ядра железа $^{56}\rm {Fe}$ , деленная на 56, т. е. это масса бариона, связанного в наиболее устойчивом ядре.

-- это минимальная энергия, необходимая для того, чтобы ``распылить'' звезду на бесконечность.

Плотность вещества

$\displaystyle \rho>n\cdot m_0,$

так как при сжатии приходится затратить энергию. Сразу нельзя сказать, что больше

$\displaystyle M=4\pi\int\limits^R_0\rho \,r^2dr$

или

$\displaystyle M_0=4\pi \int\limits^R_0{m_0n\,r^2dr\over{\sqrt{1-a(r)/r}}},$

так как $\rho>m_0n$ , но $1/(1-a/r)^{1/2}>1$ .

Поэтому в принципе энергия связи звезды

$\displaystyle {\cal E}=(M-M_0)c^2$

может быть положительной даже9.2 в локально-равновесной системе и в разных моделях может иметь разный знак. С этим связан и вопрос о том, сколько выделяется энергии при образовании звезды. Мы получили, что масса такой звезды

$\displaystyle M=4\pi\int\rho \,r^2dr,$

и полная масса барионов того же вещества на бесконечности

$\displaystyle M_0=4\pi\int m_0n\,\sqrt{g_{11}} \,r^2dr$

где

-- масса бариона в ядре железа. Как уже говорилось, в принципе могут быть решения с

, хотя их трудно получить в природе, так как для их образования необходимо затратить энергию. Эти решения неустойчивы относительно разлета на бесконечность. Устойчивы ли они относительно малых возмущений -- сказать нельзя без подробных расчетов. По-видимому ветвь нейтронных звезд малой массы $M<0,2 M_\odot$ имеет ${\cal E}>0$ , но устойчива относительно малых возмущений (см. ниже). Решения с отрицательной энергией связи (

) могут получится в результате естественной эволюции. Мы увидим позже, однако, что все решения неустойчивы относительно образования черной дыры, но по отношению к большим возмущениям.

Запишем выражение для массы звезды в виде

$\displaystyle M=M_0+4\pi\int\rho \,r^2dr-4\pi\int nm_0\sqrt{g_{11}}\,r^2dr.$

Обозначим через

$\displaystyle 4\pi n\sqrt{g_{11}}\,r^2dr=dN$

число барионов в слое ( $r,\,r+dr$ ).

Введем

$\displaystyle m=\rho/n=m_0+E/c^2,$

где

-- добавочная энергия, затраченная при сжатии. С этими обозначениями

$\displaystyle M=M_0+\underbrace{4\pi\int\rho \,r^2dr-\int m\,dN}_{\mbox{дефект массы}}+ \underbrace{\int m\,dN-\int m_0\,dN}_{\mbox{внутренняя энергия}}=$

$\displaystyle =M_0+\int 4\pi \rho(1-\sqrt{g_{11}})\,r^2dr+\int(E/c^2)\,dN.$

С точностью до величин первого порядка

$\displaystyle \sqrt{g_{11}}=1+{Gm(r)\over{c^2r}}+...\,,$

т. е.

$\displaystyle M=M_0-\int {Gm\,dm\over{c^2r}}+{1\over{c^2}}\int E\,dN+...\,.$

Полученное соотношение было точным выражением для полной энергии звезды в ньютоновской теории. По порядку величины

$\displaystyle M=M_0-K_1{GM_0^2\over{c^2R}}=M_0-K_2M_0{r_g\over R},$

т.е. можно сказать, что точные для ньютоновской теории соотношения являются лишь первыми членами разложения по степеням

для энергии звезды в ОТО (по теореме вириала тепловая энергия имеет тот же порядок величины, что и гравитационная).

В следующем порядке появляется член $\sim (r_g/R)^2$ . Мы уже знаем, что при $\gamma\longrightarrow 4/3\,\vert{\cal E}_{\mbox{грав}}\vert ={\cal E}_{\mbox{тепл}}$ , т.е. член исчезает, и для расчета устойчивости становятся важны поправки $\sim (r_g/R)^2$ . Эффекты ОТО приводят к тому, что при центральной плотности звезды больше некоторой, массы белых карликов начинают убывать (см. рис. 45). Важен также учет ОТО для случая сверхмассивных горячих звезд, где из-за роли давления излучения показатель адиабаты также стремится к 4/3.

Не решая пока уравнения Эйнштейна до конца, попробуем уже сейчас выяснить некоторые свойства метрики внутри звезды. Из-за сферической симметрии достаточно рассмотреть геометрию одной ``плоскости'', проходящей через центр, чтобы охарактеризовать все трехмерие. Метрика такой поверхности такая же, как в плоском трехмерном пространстве на изогнутой поверхности вращения (``тарелке'', см. рис. 55a). Для такой поверхности

$\displaystyle dl^2=r^2d\varphi^2+g_{11}dr^2,$

где

$\displaystyle g_{11}=\cos^{-2}\alpha.$

Выясним асимптотику при $r\longrightarrow 0$ , т. е. в центре. Пусть центральная плотность $\rho_c$ конечна. Тогда $m(r)\sim r^3$ и, используя

$\displaystyle g_{11}=\left[1-{2Gm(r)\over{rc^2}}\right]^{-1},$

получим

$\displaystyle g_{11}=1+$ const $\displaystyle \cdot r^2.$

С другой стороны,

$\displaystyle g_{11}=1+\alpha^2$

т. е.

$\displaystyle \alpha\sim r.$

Поэтому в центре имеем обыкновенную точку (касательная горизонтальна). В принципе может быть особое решение

$\displaystyle \rho\sim b/r^2\,,\quad m\sim r\,,\quad g_{11}\longrightarrow$ const $\displaystyle \ne1\,,$


Рис. 55a.	Рис. 55b.

т.е. в центре появляется коническая точка с бесконечной кривизной (рис. 55b) -- это решение является асимптотической серии несингулярных решений при $\rho_i\longrightarrow\infty$ .

Рассмотрим теперь асимптотику при $r\longrightarrow\infty$ ,

$\displaystyle m=M=$ const $\displaystyle .$

Имеем

$\displaystyle g_{11}=1+$ const $\displaystyle /r=1+\alpha^2,$

$\displaystyle \alpha\sim{1\over{\sqrt{r}}}\longrightarrow 0,$

т.е. на бесконечности пространство опять плоское (хотя высота ``тарелки'' и бесконечна).

Продолжим решение уравнений. До сих пор мы использовали только одно уравнение ОТО, куда входит слева $g_{11}$ (и не входит $g_{00}$ ), а в правую часть $T^0_0\sim \rho$ .

Очень важно заметить, что до сих пор не подразумевалось, что распределение плотности равновесно. Необходим только покой ( $\dot \lambda,\,\dot \nu=0$ ). Скорости равны нулю, а ускорения могут быть любыми. Условие равновесия мы нигде не использовали. Поэтому полученное выражение для удобно в дальнейшем использовать для исследования устойчивости звезды.

Вернемся к равновесным звездам. Следующие уравнения (вместе с условиями стационарности $\dot \lambda,\,\dot \nu=0$ ), куда входит давление, дадут условие равновесия. Ограничимся случаем паскалевой жидкости

$\displaystyle T^1_1=T^2_2=T^3_3=P.$

В уравнение (1) из раздела 9.1 входит только $d\nu/dr$ , а в (9.2) еще $d^2\nu/dr^2$ . Дифференцируя первое уравнение, исключая $d^2\nu/dr^2,\,d\nu/dr,\,d\lambda/dr,\,\nu$ и $\lambda$ , после алгебраических преобразований получаем уравнение гидростатического равновесия

$\displaystyle {dP\over{dr}}=-{G\left(\rho+{P\over{c^2}}\right)\left(m+4\pi P{r^3\over{c^2}}\right) \over{r^2\left(1-{{2Gm\over{c^2r}}}\right)}}.$

Напомним, что в ньютоновской теории

$\displaystyle {dP\over{dr}}=-{G\rho m\over{r^2}}.$

Отличия ОТО от ньютоновской теории таковы: 1) вместо $\rho$ входит $\rho+P/c^2$ , т. е. давление ``весит''; 2) сила притяжения зависит не только от

, но и от

$\displaystyle m\longrightarrow m+4\pi Pr^3/c^2$

(ясно, что эти поправки существенны, когда

сравнимо с $\rho$ , т.е. для релятивистского вещества); 3) при $r\longrightarrow r_g(r)$ имеем $dP/dr\longrightarrow \infty$ , ускорение $g\longrightarrow\infty$ , так как в знаменателе в уравнении равновесия в ОТО стоит

вместо ньютоновского

Надо иметь ввиду, что физический градиент давления равен

$\displaystyle {dP\over{dl}}={dP\over{\sqrt{g_{11}}dr}}\sim{1\over{\sqrt{1-r_g/r}}},$

поэтому ускорение растет не как $(1-r_g/r)^{-1}$ , а по закону $(1-r_g/r)^{1/2}$ . На нашей двумерной поверхности, ``изображающей'' метрику, при

стенки ``тарелки'' становятся вертикальными (рис. 56).

Рис. 56.

Задавшись уравнением состояния $P(\rho)$ , можно интегрировать уравнение равновесия и уравнение непрерывности

$\displaystyle dm=4\pi\rho r^2dr$

при произвольно выбранном значении в центре $\rho_c$ и соответствующим

. При любом разумном уравнении состояния мы получим падающее решение, идущее в нуль на краю звезды.

Что будет, если центральная плотность очень велика ( $\rho_c\longrightarrow\infty$ ), не получится ли бесконечная масса? Возьмем степенное уравнение состояния. Пусть -- плотность барионов, $v=1/n,\,E$ -- энергия на барион. В изэнтропическом случае . Поскольку $E=\rho c^2/n$ ,

$\displaystyle c^2d\left({\rho\over n}\right)=-P\,d\left({1\over n}\right)={P\over{n^2}}\,dn.$

Отсюда

$\displaystyle d\rho=\left(\rho+{P\over{c^2}}\right){dn\over n}.$

Если $\rho=An^k$ , то

$\displaystyle P=c^2(k-1)\rho=(k-1)\varepsilon.$

Здесь мы выписали общее степенное уравнение (

-- ультрарелятивистский газ,

-- предельно жесткое уравнение состояния, так как в этом случае скорость звука $(\partial P/\partial \rho)^{1/2}=c$ ).

Пусть $\rho=b/r^2$ ,

$\displaystyle P=c^2(k-1)\,b/r^2.$

Тогда

$\displaystyle {2Gm\over{c^2r}}=$ const $\displaystyle \equiv \alpha={8\pi bG\over{c^2}}.$

Рис. 57.

Подставляя $\rho,\,P$ и в уравнение равновесия, получим

$\displaystyle {\alpha\over{1-\alpha}}={k^2\over{4(k-1)}},$

т.е. существует решение, где ``тарелка'' идет на конус, но для каждого показателя

конус имеет свой наклон.

Текущая масса $m\sim r$ , но это справедливо только в области больших плотностей, затем $\rho$ спадает быстрее, чем , и становится конечным. Таким образом, даже при $\rho_c\longrightarrow\infty$ масса остается конечной! При этом общая масса звезды зависит от того значения плотности $\rho_1$ , при котором уравнение состояния перестает быть степенным, т. е. где нарушается пропорциональность и $\rho$ .

Аналитическое исследование для степенных уравнений состояния и численные расчеты показывают, что зависимость $M(\rho_c)$ ведет себя как на рис. 57, т. е. после первого максимума возникают колебания кривой $M(\rho_c)$ . Анализ показывает, что все решения за первым максимумом неустойчивы. Значение максимальной массы $M_{\max}$ получается разным при разных уравнениях состояния. Для газа свободных нейтронов Оппенгеймер и Волков получили $M_{\max}=0,7M_\odot$ 9.3. Современные расчеты, учитывающие межнуклонные взаимодействия, дают для нейтронных звезд $M_{\max}= 1,8\div 2,4\,M_\odot$ . Еще раз напомним, что масса здесь понимается как источник гравитационного поля для внешнего наблюдателя. Масса того же числа барионов существенно больше $M_{0\;\max}\sim(2,2\div3,2)\,M_\odot$ , так что энергия связи отрицательная. Нейтронные звезды большой массы устойчивы относительно разлета на бесконечность, при их образовании выделяется энергия $\sim 20\%$ начальной энергии покоя, т.е. величина, во много раз превышающая ядерную энергию.

Задача. Известно, что при предельно жестком уравнении состояния $P=\rho c^2=$ const $\cdot n^2$ (Я.Б.Зельдович) в ньютоновской теории масса звезды $M\longrightarrow\infty$ при $P_c\longrightarrow\infty$ . С помощью уравнения гидростатики показать, что в ОТО даже в случае несжимаемой жидкости ( $P\longrightarrow\infty,\,n=n_0=$ const) масса остается конечной при $P_c\longrightarrow\infty$ .

<< 9.2 Движение частиц в ... | Оглавление | 9.4 Общие свойства равновесия ... >>

ГАИШ

Посмотреть комментарии[2]