Научная Сеть >> "Тригонометрия" И.М. Гельфанд, С.М. Львовский, А.Л. Тоом.

Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Книги

Next: Начальные свойства тригонометрических функций Up: Первое знакомство с тригонометрией Previous: 3 Косинус

4 Малые углы

В принципе можно было бы мерить все углы в радианах. На практике широко используется и градусное измерение углов, хотя с чисто математической точки зрения оно неестественно. При этом для малых углов используются специальные единицы: угловая минута и угловая секунда. Угловая минута - это часть градуса; угловая секунда - это часть угловой минуты. Если, например, величина угла равна 129 градусам, 34 минутам и 16 секундам, то пишут: $129^\circ34'16''$ .

Задача 4.1 На какой угол поворачивается за одну секунду: а) часовая стрелка часов; б) минутная стрелка часов; в) секундная стрелка часов?

Решение. Разберем только пункт а). Полный оборот часовая стрелка делает за 12 часов; стало быть, за час она поворачивается на $360/12=30^\circ$ . Следовательно, за минуту часовая стрелка повернется на угол, в 60 раз меньший, чем за час, то есть на ; в свою очередь, за секунду стрелка повернется на угол, в 60 раз меньший, чем за минуту, то есть на . Теперь вы видите, насколько мала угловая секунда: ведь даже угол, в тридцать раз больший (поворот часовой стрелки за секунду времени) мы не в состоянии заметить.

Представление об угловой минуте дает такой факт: ``разрешающая способность'' человеческого глаза (при стопроцентном зрении и хорошем освещении) равна примерно одной угловой минуте. Это означает, что две точки, которые видны под углом или меньше, на глаз воспринимаются как одна.

Рис. 16: Разрешающая способность.

$\begin{figure}\epsfbox{t04.1}\end{figure}$

Посмотрим, что можно сказать о синусе, косинусе и тангенсе малых углов. Если на рис. 17 угол $\alpha$ мал, то высота , дуга и отрезок , перпендикулярный , очень близки. Их длины - это $\sin\alpha$ , радианная мера $\alpha$ и $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha$ . Стало быть, для малых углов синус, тангенс и радианная мера приближенно равны друг другу:

Если $\alpha$ - малый угол, измеренный в радианах, то $\sin\alpha\approx\alpha$ ; $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha\approx\alpha$ .

Рис. 17: Малые углы.

$\begin{figure}\epsfbox{t04.2}\end{figure}$

Задача 4.2 Запишите приближенные формулы для синуса и тангенса малых углов, считая, что угол измеряется в градусах.

Ответ. $\sin\alpha^\circ\approx\alpha/180$ .

Видно, что формулы сложнее, чем для радианной меры - еще один довод в ее пользу!

Задача 4.3 Под каким углом видно дерево высотой 10 метров с расстояния в 800 метров? Дайте ответ: а) в радианах; б) в угловых минутах.

Задача 4.4 Чему равно расстояние, равное одной минуте дуги земного меридиана? Радиус Земли равен примерно $6370\, км$ .

Расстояние, о котором идет речь в этой задаче, примерно равно морской миле (именно так и появилась эта мера длины).

Рис. 18: Парсек.

$\begin{figure}\epsfbox{t04.3}\end{figure}$

Задача 4.5 В астрономии применяется единица измерения расстояний, называемая парсек. По определению, расстояние в 1 парсек - это расстояние с которого радиус земной орбиты 3 виден под углом (рис. 18). Сколько километров в одном парсеке? (Радиус земной орбиты равен примерно 150 миллионам километров.)

Задача 4.6 Военные пользуются единицей измерения углов, называемой ``тысячная''. По определению, тысячная - это развернутого угла. Такое измерение углов военные применяют в следующей формуле для определения расстояния до удаленных предметов: $Р=(В/У)\cdot 1000$ . Здесь - расстояние до предмета, - его высота, - угол, под которым он виден, измеренный в тысячных (рис. 19).

Рис. 19: Формула тысячных.

$\begin{figure}\epsfbox{t04.4}\end{figure}$

Точна ли эта формула? Почему ей можно пользоваться на практике? Чему равно число $\pi$ , по мнению военных?

Мы видим, что формулы $\sin\alpha\approx\alpha$ , $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \alpha\approx\alpha$ верны с хорошей точностью для малых углов. Посмотрим, что произойдет, если угол не столь мал. Для угла в $30^\circ$ точное значение синуса равно , а радианная мера равна $\pi /6\approx 0{,}52$ . Ошибка (или, как еще говорят, погрешность), которую дает формула $\sin\alpha\approx\alpha$ , равна примерно , что составляет $4\%$ от значения синуса. Можно сказать, что относительная погрешность при таком вычислении (отношение погрешности к значению синуса) составляет $4\%$ . Для углов, меньших $10^\circ$ , относительная погрешность формулы $\sin\alpha\approx\alpha$ меньше одного процента. Чем меньше угол $\alpha$ , тем меньше относительная погрешность формулы $\sin\alpha\approx\alpha$ .

Существуют и другие формулы, позволяющие вычислять синусы и тангенсы - и не только малых углов - с хорошей точностью. Например, формула $\sin\alpha\approx\alpha-\alpha^3/6$ (напоминаем, что $\alpha$ измеряется в радианах!) дает относительную погрешность менее $1\%$ уже для всех углов, не превосходящих $50^\circ$ . Позднее мы увидим, как оценить погрешность наших формул.

Задача 4.7 Пусть $\alpha$ - острый угол, измеренный в радианах. Докажите неравенство $\cos\alpha > 1- \alpha^2$ .

Указание. Воспользуйтесь формулой $\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}$ , неравенством $\sin\alpha <\alpha$ и неравенством $\sqrt{t}>t$ (для ).

Задача 4.8 Для косинусов малых углов в качестве приближенного значения можно брать 1. Докажите, что при величине угла менее $5^\circ$ относительная погрешность этого приближения будет менее $1\%$ .

МЦНМО

Написать комментарий