Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.nature.web.ru/db/msg.html?mid=1158396&uri=s3node2.html
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Mon Apr 11 14:50:27 2016
Кодировка: Windows-1251
Поисковые слова: треугольник
Научная Сеть >> "Тригонометрия" И.М. Гельфанд, С.М. Львовский, А.Л. Тоом.
Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Посмотрите новые поступления ... Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Книги
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
       
Next:   3 Теорема синусов Up:   Решение треугольников Previous:   1 Теорема косинусов

2 Вокруг площади треугольника

Пусть опять в треугольнике известны стороны $ a$ и $ b$ и угол между ними $ \gamma$. Выразим через эти данные - которые полностью определяют треугольник - его площадь. Для этого опустим из вершины $ A$ высоту $ AM\perp BC$ (рис. 60а); пусть $ AM=h$. Как известно, площадь треугольника равна $ ah/2$.

Рис. 60: Площадь треугольника.
\begin{figure}\begin{tabular}{cc} \epsfbox{t15.1}& \epsfbox{t15.2}\\ а) & б) \end{tabular}\end{figure}

С другой стороны, если угол $ \gamma$ острый, то из прямоугольного треугольника $ AMC$ находим, что $ h=b\sin\gamma$ (рис. 60а); если же угол $ \gamma$ тупой (рис. 60б), то из треугольника $ AMC$ опять же получаем $ h=b\sin(180^\circ-\gamma)=b\sin\gamma$. Стало быть, в любом случае площадь равна $ \frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Мы пропустили случай, когда угол $ \gamma$ прямой. В этом случае $ \sin\gamma=1$, и формула принимает вид $ S=\frac{1}{2}ab$, что, очевидно, справедливо.

Задача 2.1   Докажите, что площадь четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Задача 2.2   Диагонали четырехугольника делят его на четыре треугольника, площади которых равны $ S_1$, $ S_2$, $ S_3$ и $ S_4$ (рис. 61). Докажите, что $ S_1S_3=S_2S_4$.

Рис. 61:
\begin{figure}\epsfbox{t15.3}\end{figure}

Итак, мы знаем, как находить площадь треугольника, если известны две его стороны и угол между ними. А что делать, если даны три стороны $ a$, $ b$ и $ c$? Надо найти угол между сторонами $ a$ и $ b$, благо мы это уже умеем. Точнее, нам нужен не сам угол, а его синус. Его мы найдем так: из теоремы косинусов запишем $ \cos\gamma=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ и воспользуемся формулой $ \sin\gamma=\sqrt{1-\cos^2\gamma}$ (для произвольных $ \gamma$, как вы помните, в правой части может стоять минус, но если $ \gamma$ - угол в пределах от $ 0^\circ$ до $ 180^\circ$, то $ \sin\gamma\geqslant 0$, так что в этом случае минус не нужен). Подставляя все это в нашу формулу для площади треугольника, получим вот что ($ S$ - площадь треугольника):

$\displaystyle S =\frac{ab}2\cdot\sqrt{1-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)^2}. $

Это выражение можно преобразовать к более приятному виду. Для этого обозначим буквой $ p$ величину $ (a+b+c)/2$ ($ p$ - половина периметра треугольника, коротко - полупериметр). Тогда после упрощений получим:

Площадь треугольника со сторонами $ a$, $ b$ и $ c$ равна
$ \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $ p=(a+b+c)/2$.

Эта формула называется формулой Герона.

Задача 2.3   Проведите преобразования, с помощью которых из нашей формулы для площади получается формула Герона.

Существует полезная формула, связывающая площадь треугольника с радиусом вписанной в него окружности. Именно, пусть $ O$ - центр окружности, вписанной в треугольник $ ABC$ со сторонами $ AB=c$, $ BC=a$, $ CA=b$, $ r$ - ее радиус. Расстояние от $ O$ до каждой из сторон треугольника равно, очевидно, $ r$ (рис. 62).

Рис. 62:
\begin{figure}\begin{tabular}{cc} \epsfbox{t15.4}& \epsfbox{t15.5}\\ а) & б) \end{tabular}\end{figure}

Поэтому, если разбить наш треугольник на треугольники $ AOB$, $ BOC$ и $ COA$, то высоты, опущенные в них из точки $ O$, все равны $ r$; следовательно, площади этих треугольников равны $ cr/2$, $ ar/2$ и $ br/2$, а площадь всего треугольника $ ABC$ равна $ cr/2+ar/2+br/2=(a+b+c)/2\cdot r=pr$, где $ p$ - полупериметр. Словами:

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.

Задача 2.4   Даны стороны $ a$, $ b$, $ c$ треугольника. Найдите: а) радиус вписанной окружности; б) высоту, опущенную на сторону $ a$.

Рис. 63:
\begin{figure}\epsfbox{t15.7}\end{figure}

Задача 2.5. Пусть стороны треугольника равны $ a$, $ b$, $ c$. Найдите радиус окружности, касающейся стороны $ a$ и продолжений сторон $ b$ и $ c$. (Окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон, называется вневписанной окружностью - рис. 63.)

Мы уже умеем находить медианы, площадь, высоты и радиус

Рис. 64: Теорема о биссектрисе.
\begin{figure}\epsfbox{t15.6}\end{figure}

вписанной окружности треугольника по его трем сторонам (или по двум сторонам и углу между ними). Давайте научимся находить и биссектрису треугольника. Основным средством у нас будет такая теорема:

Теорема. Если $ AM$ - биссектриса угла $ A$ в треугольнике $ ABC$ (рис. 64), то $ BM/CM= AB/AC$. Словами эту теорему можно сформулировать так: ``биссектриса угла в треугольнике делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам''.

Проще всего доказать эту теорему, используя площади. Именно, обозначим $ AB=c$, $ AC=b$, $ AM=l$, $ \angle BAC=\alpha$, $ BM=x$, $ CM=y$. Биссектриса $ AM$ делит треугольник $ ABC$ на два: $ ABM$ и $ ACM$. Найдем двумя способами отношение их площадей. Треугольники $ ABM$ и $ ACM$ имеют общую высоту $ h$, поэтому их площади пропорциональны основаниям:

$\displaystyle \frac{\text{площадь}\,ABM}{\text{площадь}\,ACM}=\frac{x}{y}. $

С другой стороны, так как $ AM$ - биссектриса, то $ \angle BAM=\angle CAM=\alpha/2$. Пользуясь нашей формулой для площади, получаем:

$\displaystyle \frac{\text{площадь}\,ABM}{\text{площадь}\,ACM}=\frac cb. $

Сопоставляя два выражения для отношения площадей треугольников $ ABM$ и $ ACM$, получаем, что $ x/y=c/b$, или $ BM/CM=AB/CB$, что и утверждалось.

Задача 2.6   а) В треугольнике со сторонами $ AB=c$, $ BC=a$, $ CA=b$ проведена биссектриса $ AM$ угла $ A$. Чему равны отрезки $ BM$ и $ MC$?

б) В каком отношении точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла $ A$ этого же треугольника?

Задача 2.7   Стороны треугольника равны 7, 8 и 12. Найдите длину биссектрисы   8, проведенной к стороне длиной 12.

Задача 2.8   В треугольнике биссектриса угла между сторонами длиной $ a$ и $ b$ имеет длину $ l$ и делит противоположную сторону на отрезки длиной $ x$ и $ y$. Докажите формулу: $ l^2= ab-xy$.

Задача 2.9   В треугольнике $ ABC$ биссектриса угла, смежного к углу $ BAC$, пересекает прямую $ BC$ в точке $ M$ (рис. 65). Докажите, что $ MB/MC = AB/AC$.

Рис. 65:
\begin{figure}\epsfbox{t15.8}\end{figure}

Задача 2.10   Высоты треугольника равны 2, 3 и 4. Найдите углы этого треугольника.

       


Написать комментарий
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования