Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.nature.web.ru/db/msg.html?mid=1158396&uri=s3node1.html
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Mon Apr 11 14:50:46 2016
Кодировка: Windows-1251
Поисковые слова: треугольник
Научная Сеть >> "Тригонометрия" И.М. Гельфанд, С.М. Львовский, А.Л. Тоом.
Rambler's Top100 Service
Поиск   
 
Обратите внимание!   Зарегистрируйтесь на нашем сервере и Вы сможете писать комментарии к сообщениям Обратите внимание!
 
  Наука >> Математика >> Алгебра, математическая логика и теория чисел | Книги
 Написать комментарий  Добавить новое сообщение
       
Next:   2 Вокруг площади треугольника Up:   Решение треугольников Previous:   Решение треугольников

1 Теорема косинусов

Определения тригонометрических функций острых углов, которые мы давали в начале нашей книжки, можно рассматривать как соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. В этой главе речь пойдет о произвольных треугольниках (не обязательно прямоугольных). Ход мыслей будет вот каким. С каждым треугольником связаны шесть чисел: величины трех сторон и трех углов. Между этими числами есть соотношения. Одно из этих соотношений вы уже знаете: сумма углов треугольника равна $ 180^\circ$. Если, например, два угла в треугольнике равны $ 75^\circ$ и $ 55^\circ$, то третий угол уже не может быть каким попало, он обязательно равен $ 180^\circ-75^\circ-55^\circ =50^\circ$. Этим соотношением, однако, дело не исчерпывается. Пусть, например, у некоторого треугольника мы знаем величины двух сторон и угла между ними. Тогда, согласно одному из признаков равенства треугольников, оставшаяся сторона и остальные два угла уже полностью определены. Наша цель - найти формулы, по которым они выражаются через уже известные стороны и угол.

Другие признаки равенства треугольников также ведут к соотношениям между сторонами и углами, и эти соотношения также можно задать формулами. Кроме того, если известны стороны и углы треугольника, то этим однозначно определяются площадь треугольника, радиусы вписанной и описанной окружности и тому подобное. Для них тоже имеет смысл поискать формулы, выражающие их через стороны и углы треугольника.

Начнем же мы как раз с соотношения, связанного с ``первым признаком равенства треугольников'' (по двум сторонам и углу между ними)   6. Итак, пусть заданы две стороны $ a$ и $ b$ треугольника и угол $ \gamma$ между ними. Попробуем выразить через эти данные длину третьей стороны. Обозначим эту сторону $ c$. План действий таков:

Рис. 58:
\begin{figure}\begin{tabular}{cc} \epsfbox{t14.1}&\epsfbox{t14.2}\\ а) & б) \end{tabular}\end{figure}

опустим высоту $ AM\perp BC$ (рис. 58а - чертеж для случая, когда угол $ \gamma$ острый, 58 - для случая, когда он тупой). По теореме Пифагора для треугольника $ AMB$ имеем $ c^2=AM^2+MB^2$; если мы теперь выразим $ AM$ и $ MB$ через известные нам $ a$, $ b$ и $ \gamma$, то задача будет решена. Теперь конкретно:
  • Пусть угол $ \gamma$ острый (рис. 58а). Тогда: $ AM=b\sin\gamma$ (из прямоугольного треугольника $ AMC$);
    $ CM=b\cos\gamma$ (из того же треугольника);
    $ BM=BC-CM=a-b\cos\gamma$.
    Теперь по теореме Пифагора

    $\displaystyle c^2=AM^2+BM^2=(b\sin\gamma)^2+(a-b\cos\gamma)^2. $

    После упрощений, которые предоставляем вам провести самостоятельно, получаем:

    $\displaystyle c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma. $

  • Пусть угол $ \gamma$ тупой (рис. 58б). Тогда:

    $\displaystyle AM$ $\displaystyle =b\sin(180^\circ-\gamma)=b\sin\gamma;$    
    $\displaystyle BM$ $\displaystyle =BC+CM=a+b\cos(180^\circ-\gamma)=a-b\cos\gamma.$    

    (мы воспользовались формулами приведения). Отсюда

    $\displaystyle c^2=AM^2+BM^2=(b\sin\gamma)^2+(a-b\cos\gamma)^2. $

    Получилось то же самое выражение, что и в первом случае; тем самым для всех случаев мы доказали такую формулу:

$\displaystyle c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma. $

Эта формула называется теоремой косинусов.

В нашем доказательстве мы не рассмотрели случай, когда угол $ \gamma$ прямой. В этом случае теорема косинусов также верна и, более того, была вам уже известна: если $ \gamma=90^\circ$, то $ \cos\gamma=0$, и теорема косинусов приобретает вид $ c^2=a^2+b^2$, то есть сводится к обычной теореме Пифагора.

Итак, часть программы по переводу первого признака равенства треугольников на язык формул мы выполнили: формула для вычисления третьей стороны по двум сторонам и углу между ними у нас уже есть. Надо еще найти два оставшихся угла треугольника, при том что один из углов и все стороны мы уже знаем. Собственно говоря, угол даже и не нужен: ``третий признак равенства треугольников'' гласит, что треугольник полностью определяется своими тремя сторонами   7.

Стало быть, зададимся такой задачей: даны три стороны треугольника, найти его углы. Оказывается, ее решение дает та же теорема косинусов: надо только в формуле, выражающей эту теорему, выразить $ \cos\gamma$ через $ a$, $ b$ и $ c$:

$\displaystyle \cos\gamma$ $\displaystyle = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}; \cos\beta$ $\displaystyle = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}; \cos\alpha$ $\displaystyle = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$    

Вторая и третья формулы получаются аналогично первой.

Мы нашли не сами углы, а только их косинусы, но углы треугольника этим полностью определяются: когда $ \alpha$ меняется от $ 0^\circ$ до $ 180^\circ$ (то есть от 0 до $ \pi$ радиан), значение $ \cos\alpha$ изменяется от 1 до $ -1$, принимая каждое значение ровно один раз. Таким образом, можно записать:

$\displaystyle \alpha=\arccos\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}. $

Задача 1.1   В треугольнике со сторонами $ a$, $ b$ и $ c$ против стороны $ c$ лежит угол $ \gamma$. Докажите, что угол $ \gamma$ острый тогда и только тогда, когда $ a^2+b^2>c^2$, и тупой тогда и только тогда, когда $ a^2+b^2<c^2$.

Рис. 59:
\begin{figure}\epsfbox{t14.3}\end{figure}

С помощью теоремы косинусов легко получить формулу, выражающую длину медианы треугольника через длины его сторон. Именно, пусть стороны треугольника равны $ AB=c$, $ BC=a$, $ AC=b$, и пусть $ AM$ - медиана, проведенная к стороне $ BC$. Чтобы найти ее длину, заметим, что по теореме косинусов для треугольника $ ABM$ (рис. 59) имеем

$\displaystyle AM$ $\displaystyle = \sqrt{AB^2+BM^2-2AB\cdot BM\cdot\cos\beta}={}$    
$\displaystyle {}$ $\displaystyle = \sqrt{c^2+\frac{a^2}{4}-ac\cos\beta}.$    

С другой стороны, по теореме косинусов уже для всего треугольника $ ABC$ имеем

$\displaystyle \cos\beta = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}. $

Подставляя это в предыдущую формулу, получим (после упрощений) вот что:

В треугольнике со сторонами $ a$, $ b$ и $ c$ длина медианы, проведенной к стороне $ a$, равна

$\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}. $

В задаче 1.4 мы предложим другой способ вывода этой формулы.

Задача 1.2   Докажите что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Задача 1.3   Две стороны треугольника равны $ b$ и $ c$, угол между ними равен $ \alpha$. Докажите, что длина медианы, проведенной к третьей стороне, равна $ \frac12\sqrt{b^2+c^2+2bc\cos\alpha}$.

Указание. Достройте треугольник до параллелограмма.

Задача 1.4   Используя результат задачи 1.2, дайте новое доказательство формулы, выражающей медиану треугольника через три его стороны.

Задача 1.5   В треугольнике $ ABC$ даны стороны $ AB=c$, $ BC=a$, $ AC=b$. Точка $ M$ выбрана на стороне $ BC$ таким образом, что $ BM/MC= 1/2$. Найдите длину отрезка $ AM$.

       


Написать комментарий
 Copyright © 2000-2015, РОО "Мир Науки и Культуры". ISSN 1684-9876 Rambler's Top100 Яндекс цитирования