Маленькие трагедии в классической физике (продолже

МАЛЕНЬКИЕ ТРАГЕДИИ В КЛАССИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
Валентин Федоров, Дмитрий Пономарев
Продолжение, начало см. "Время Атом Молекула"
www.timeam.zaporozhye.net.

Пример 3. О сферических координатах.

Предметом внимания будет обсуждение вопроса о правомерности записи выражений проекций ускорения движущейся точки в сферических координатах, когда не только величина радиус-вектора точки, но и два угла задаются некоторыми функциями единого параметра t, именуемого временем, то есть r = r(t), ф = ф(t), O = O(t), здесь ф есть угол "фи", а O - угол "тетта".
Рассмотрим случай, когда разложение радиус-вектора точки по ортам
сферических координат и сами орты определяются формулами (см., например, И.И.Ольховский Курс теоретической механики для физиков. М., Изд-во Моск. ун-та, 1978, стр. 17, 228)
R = r*Nr, (1)
Nr = (cosф*Nx + sinф*Ny)*sinO + cosO*Nz, (2)
No = (cosф*Nx + sinф*Ny)*cosO - sinO*Nz, (3)
Nф = -sinф*Nx +cosф*Ny. (4)
Здесь R, Nr, Nф, No, Nx, Ny, Nz есть векторные величины, а No - орт направления О.
Принимая во внимание, что направления ортов Nr, Nф и No зависят от положения точки (времени), для ее скорости записывают выражение
V = dR/dt = R^ = r^*Nr +r*O^*No + r*ф^*sinO*Nф, (5)
здесь V, R есть векторные величины, а R^, r^, ф^ и О^ есть первые
производные R, r, ф и О по времени соответственно, а для ускорения
A = R^^ = (r^^ - r*(O^)^2 - r*(ф^)^2*sin^2O)*Nr +
+ (2r^*O^ + r*O^^ - r*(ф^)^2*sinO*cosO)*No +
+ [(r*ф^^ + 2r^*ф^)sinO + 2r*O^*ф^*cosO]*Nф, (6)
здесь А - векторная величина ускорения, а R^^, r^^, ф^^ и O^^ есть вторые
производные R, r, ф и О по времени соответственно.
Если траектория движения точки задана в виде (1), а орты сферических
координат определены выражениями (2) - (4), где r, ф и О являются функциями единого параметра t (одного из самых загадочных в теоретическом ЕСТЕСТВОЗНАНИИ), то есть все основания считать, что выражение (6) принципиально ошибочно. Об этом свидетельствует даже сам вид функциональной зависимости проекции ускорения на направление Nr от sin^2O , чего быть не должно. Двукратное дифференцирование синуса или косинуса не приводит к квадрату этих тригонометрических функций, а поэтому путем непосредственного дифференцирования выражения (1) с учетом (2), считая r, ф и О функциями параметра t, подтвердим это заключение.
Дифференцируя дважды по t выражение
R = r*cosф*sinO*Nx +r*sinф*sinO*Ny +r*cosO*Nz, (7)
получим
R^^ = [r^^*cosф*sinO - r^*ф^*sinф*sinO + r^*O^*cosф*cosO - r^*ф^*sinф*sinO -
- r*ф^^*sinф*sinO - r*(ф^)^2*cosф*sinO - r*ф^*O^*sinф*cosO + r^*O^*cosф*cosO+
+ r*O^^*cosф*cosO - r*ф^O^*sinф*cosO - r*(O^)^2*cosф*sinO]*Nx +
+ [r^^*sinф*sinO + r^*ф^*cosф*sinO + r^*O^*sinф*cosO + r^*ф^*cosф*sinO +
+ r*ф^^*cosф*sinO - r*(ф^)^2*sinф*sinO + r*ф^*O^*cosф*cosO+ r^*O^*sinф*cosO+ + r*O^^*sinф*cosO + r*ф^*O^*cosф*cosO - r*(O^)^2*sinф*sinO]*Ny +
+[r^^*cosO- r^*O^*sinO - r^*O^*sinO - r*O^^*sinO - r*(O^)^2*cosO]*Nz. (8)
Используя обозначения (2) - (4), последнее запишем в таких вариантах:
R^^ = (r^^ - r*(O^)^2)*Nr + (2R^*O^ + r*O^^)*No +
+ [(r*ф^^ + 2r^*ф^ - r*(ф^)^2)*sinO + 2r*ф^*O^*cosO]*Nф (9)
и
R^^ = (r^^ - r*(ф^)^2 - r*(O^)^2)*Nr + (2r^*O^ + r*O^^)*No +
+ [(r*ф^^ + 2r^*ф^)*sinO + 2r*ф^*O^*cosO]*Nф + к*(ф^)^2*cosO*Nz. (10)
Полученный непосредственным дифференцированием результат явно не согласуется с (6), а поэтому общепринятый обходной способ получения проекций ускорения в сферических координатах, мягко говоря и даже очень, ошибочен.
Но и это еще не все, так как противоречия здесь куда более значимы, чем
указанное.
Напомним (А.Ф.Бермант, И.Г.Араманович Краткий курс математического анализа для втузов. М., "Наука", 1971, стр. 142): Задание функциональной зависимости между двумя переменными, состоящее в том, что обе переменные определяются каждая в отдельности как функции одной и той же вспомогательной переменной, называется параметрическим, а вспомогательная переменная - параметром.
Отыскание по системе
x = ф(t), y = psi(t) (11)
непосредственной связи между переменными x и y без участия спомогательной переменной t называется исключением параметра. В результате исключения параметра получаем уравнение между x и y, задающее одну из этих переменных как явную или неявную функцию другой. Если x и y независимые переменные, то говорить о существовании параметра для этих переменных бессмысленно.
Гипотеза о зависимости r, ф и О от единого параметра t не имеет права на
свое существование, поскольку она лишена всякого смысла.
Действительно, если
(Nr(t)*Nr(t)) = (Nr)^2(t) = (cos^2(ф) + sin^2(ф))*sin^2(O) + cos^2(O) =
= 1<НЕ РАВНО> f(ф,О) (12)
определяет сферическую поверхность единичного радиуса (Внимание, СФЕРИЧЕСКУЮ ПОВЕРХНОСТЬ, А НЕ КРИВУЮ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ!), то под выражением (2) необходимо понимать только параметрическую кривую, принадлежащую сфере единичного радиуса, а поскольку параметрами задания кривой Nr на сфере единичного радиуса являются ф и О, то гипотезировать о зависимости их от единого параметра бессмысленно (см., например, Г.Корн и Т.Корн Справочник по
математике для научных работников и инженеров. М., "Наука", 1973, стр. 78).
Под выражением
R^2(t) = r^2(t)*[(cos^2(ф) + sin^2(ф))*sin^2(O) + cos^2(O)] =
= r^2(t) <НЕ РАВНО> psi(ф,O) (13)
необходимо понимать семейство концентрических сфер, которые никогда не
пересекаются друг с другом, а поэтому лишено здравого смысла выдавать
дискретно изменяющиеся радиусы концентрических сфер за непрерывно
изменяющуюся величину. (Здесь возникают непреодолимые трудности для
использования аппарата дифференциального исчисления.)
Из отмеченного следует, что под выражением
Ri(ti) = ri(ti)*Nr (14)
необходимо понимать двухпараметрическую кривую, принадлежащую только
конкретной сфере радиуса ri.
Не следует повторять в общем-то аналогичных доказательств для цилиндрических координат, а сразу отметим, что гипотеза о зависимости ро, ф и z от единого параметра t, именуемого в теоретическом естествознании временем, также ошибочна.
Спасибо за внимание.