Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2012_2013/8mat_1213/spec/z1-program-v2.pdf Дата изменения: Sat Feb 9 20:07:52 2013 Дата индексирования: Mon Feb 25 14:25:51 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: нлу

Гимназия 1543, математический спецкурс, 8 В

Программа зач?та
Теоретическая программа зач?та поделена на 3 части: минимум, I дополнительная часть и I I дополнительная часть. Освоение минимума является достаточным условием для получения оценки ?удовлетворительно?. Освоение I дополнительной части достаточно (при условии хорошей успеваемости в течение четверти) для оценки ?хорошо?. I I дополнительная часть в основной зач?т не входит и е? освоение требуется для желающих получить оценку ?отлично? (и для тех, кто хочет глубже разобраться в пройденном материале ).

Минимум
1) Метод математической индукции: принцип наименьшего числа и его использование для доказательства утверждений с натуральным параметром. 2) Существование разложения целого положительного числа на простые множители. 3) Существование неполного частного и остатка при делении на ненулевое целое число. 4) Сумма целых чисел от 1 до

n

: индуктивное доказательство формулы.

5) Понятие последовательности. Явная и рекуррентная формы задания последовательности. 6) Задача про путешественника (принцип крайнего). 7) Определение отношения делимости и доказательство основных его свойств: а)

a | a;

б) из

a|b

и

b|c

следует

a | c;

в) из

a|b

следует

a | xb;

г) из

a|b

и

a|c a
и

следует

a |(b + c).

8) Основная теорема арифметики: формулировка. Последовательность степеней простых множителей произведения

ab

равна сумме последовательностей степеней простых множителей

b.

НОД и НОК, их после-

довательности степеней простых множителей. 9) Умение решать задачи, подобные тем, что давались на проверочных работах.

I дополнительная часть
1) Метод математической индукции: аксиома индукции Пеано и метод индукции на е? основе. База и шаг индукции. 2) Аксиома Ловера (о рекуррентном определении последовательности). 3) Сумма квадратов и кубов целых чисел от 1 до

n

.

4) Основная теорема арифметики: доказательство. 5) Задача про среднее арифметическое и бесконечное клетчатое поле (принцип крайнего).

II дополнительная часть
1) Рекуррентное определение сложения натуральных чисел. Доказательство сочетательного и переместительного законов сложения. 2) Некоторые сложные формы рекурсии (в соотношении используются несколько предыдущих членов, все предыдущие члены, номер члена). Их сведение к простой рекурсии. 3) Предпорядок на множестве целых чисел, порожд?нный отношением делимости: эквивалентность чисел, минимальные и максимальные числа, универсальные общие делители и кратные. Существование УОК и УОД для любой пары чисел. Лемма (Евклида) о том, что если

a | bc,

то если

a

и

b

взаимно просты, то

a | c.

Что почитать?
1) Материалы уроков ( 2) Википедия:

sk1543.narod.ru). en.wikipedia.org. Статьи:

Mathematical induction, Recursive denition, Natural numb er ob ject,

Fundamental theorem of arithmetic, Least common multiple. 3) Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? 4) Д.О. Шклярский, Н.Н. Ченцов, И.М. Яглом. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика. Алгебра. 5) В.Г. Болтянский, А.П. Савин. Беседы о математике. 6) Библиотечка КВАНТ, выпуск 102. А.В. Спивак. Арифметика. 7) А. Шень. Математическая индукция. 8) А.В. Шаповалов. Принцип узких мест. Книги с 3 по 8 можно либо скачать из интернета, либо купить в магазине Математическая книга в МЦНМО по адресу: Бол. Власьевский пер., 11. Интернет-ресурсы МЦНМО: http://www.biblio.mccme.ru, http://www.mccme.ru, http://math.ru.