Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2012_2013/11mat_1213/alg/a1128-1213-opred-integral-2.pdf Дата изменения: Thu Mar 14 19:24:48 2013 Дата индексирования: Sun Mar 2 02:33:55 2014 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: вторая космическая скорость

Гимназия 1543

11-В класс

Определенный интеграл - 2
Формула Ньютона-Лейбница

Алгебра и математический анализ-20

19 марта 2013 г.

Определение. Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b], и x [a, b]. Тогда функция x F (x) = f (t)dt называется интегралом с переменным верхним пределом. a Теорема Ньютона-Лейбница. Пусть функция f (x) на отрезке [a, b] неотрицательна и непрерывна. Тогда x F (x) = f (t)dt является первообразной для f (x) на отрезке [a, b]. a Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция f (x) на отрезке [a, b] неотрицательна и непрерывна, F (x) ее первообразная на отрезке [a, b]. Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу осью абсцисс, сверху графиком функции f (x), а с боков прямыми x = a и x = b, где a < b, равна F (b) - F (a), т.е. b f (x)dx = F (b) - F (a).
a

75. Вычислите определенные интегралы. Начертите соответствующие криволинейные трапеции. 1 1 а) x2 dx; б) (1 - x2 )dx.
0 -1

76. Найдите ошибку: 1) 2) 3)
b

2 0

1 dx =- (x - 1)2 x-1

2 0

= -2

Свойства определенного интеграла
a

f (x)dx = -
a a a b b

f (x)dx

(при перестановке пределов интегрирования интеграл меняет знак)
b

f (x)dx = 0 f (x)dx =
a b a

.
f (x)dx +
c b

c

f (x)dx

.
b

4a)

(f (x) + g (x))dx =
a a

f (x)dx +
a

g (x)dx


; 4б) .

b

b

kf (x)dx = k
a a

f (x)dx

(линейность)

77. Вычислите интеграл: а) 78. Вычислите интеграл
R

sin xdx
0

; б)

sin xdx
-



R2 - x2 dx

-R

двумя способами: по формуле Ньютона-Лейбница и геометрически.

Вычисление площадей с помощью интеграла

79. Найдите площади фигур, ограниченных следующими кривыми: a) y = x2 и y = x; в) y = x2 и x + y = 2; д) y = 2x , 2 б) y = x + 2x - 3 и осью абсцисс; г) y = sin x, y = x - и x = 0; е) y2 = x2 -1 80. Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла, вычислите -2x -
-2 100

y=2 x=0 (1 - x2 )

и

.

;

x2 dx

81. Вычислите 1 - cos 2xdx. 0 82. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 1 + cos x и y = 2x2 - 2. 83. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций f (x) = 2-x , g(x) = 2x и касательной к графику функции g(x) в его точке с абсциссой 16. 84. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f (x) = x2 - 3|x| + x и касательными к нему, 5 проходящими через точку A - 4 ; - 13 . 2 85. При каком a прямая y = a делит площадь фигуры, ограниченной линиями y = 0, y = 3 - x2 - 2x, пополам? 86. Найдите площадь эллипса x + y = 1, где a > 0, b > 0. a b 87. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой x2 + 2xy + 4y2 = 1.
2 2 2 2

Домашнее задание

88. Приведите пример неинтегрируемой функции, квадрат которой интегрируем. 89. В каком отношении парабола y2 = 2x делит площадь круга x2 + y2 = 8?


90. Вычислите

6

(x2011 - 2012x) tg2 xdx

91. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции абсциссой x0 = 1 и прямой x = 2. Виленкин, 41 (1-4), 49.

- 6

.
y=
2 (2x - 1)2

, касательной к нему в точке с

Замена при вычислении определенных интегралов

Теорема 2. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], а функция x = (t) непрерывно дифференцируемa на отрезке [, ]. Пусть также все значения x = (t) при t [, ] принадлежат отрезку b [a, b]; в частности, () = a, ( ) = b. Тогда f (x)dx = f ((t)) (t)dt.
a

92. Можно ли при вычислении интеграла

3

x
0 1

3

1 - xdx

положить

x = sin t sin t

?

93. Можно ли при вычислении интеграла 1 - x2 dx положить x = 0 взять числа и ? Подтвердите свое мнение вычислением. 2 5 94. Проинтегрируйте с помощью замены: a) x2 25 - x2 dx; б)
0

? Можно ли в качестве новых пределов
ex - 1dx

ln 2 0



; в)

0,75 0

dx (x + 1) x2 + 1

.

95. Вычислите: a) 2 +dx x ; б) cos x +dxcos x + 6 . cos 5 0 0 96. Объясните, почему неверны следующие замены: 1 1 а) t = x в интеграле dx; б) x = 1 в интеграле t
2 2
2 2 3

-1

-1

dx 1+x

2

.
x

Разные задачи

97. Напишите уравнение касательной к графику функции f (x) = -2 x0 = 2 . x 98. Найдите минимумы функции f (x) = (2 cos2 t - sin 2t)dt на отрезке 0 99. Вычислите с помощью определенных интегралов следующие пределы: 1 2 - 1 1 а) nlim n + n + . . . + nn 1 ; б) nlim n + 1 + n + 2 + . . . +
2 2 2

sin

t 4 dt t2 + 2

в точке графика с абсциссой

[0; ]
1 2n

.
n

; в)

lim

1 n

n

sin
k=1

k n

.

100. 101. 102. 103. 104. 105. 106.

Пусть скорость материальной точки изменяется по закону v = f (t). Найдите перемещение точки с момента времени t = a до момента t = b. Найдите перемещение тела за первые 5 секунд: а) при свободном падении; б) если скорость меняется по закону v = 3 sin t. Найдите давление, оказываемое водой на плотину, имеющую форму треугольника, обращенного вершиной вниз, если основание треугольника равно l, а высота h. Вычислите работу, которую необходимо затратить, чтобы поднять с поверхности Земли тело массой m на высоту h. С помощью полученного результата определите вторую космическую скорость.
Домашнее задание

Физический смысл определенного интеграла

Вычислите, с какой силой вода давит на вертикальную плотину в форме трапеции, верхнее основание которой равно 70м, нижнее 50м, а высота 20м. Вычислите работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из вертикально стоящей цилиндрической цистерны высотой H и с радиусом основания R. Найдите площадь фигуры, ограниченной прямой y = 3x - 1 и графиком той первообразной функции y = x2 + 2x, для которой данная прямая является касательной. x 107. Напишите уравнение касательной к графику функции f (x) = (2 cos2 t + cos t - 1)dt, < x < 32 , 0 параллельной прямой x + y = 1. 108. Вычислите следующие определенные интегралы: 1 1 1 xdx x xdx а) 5 - 4x ; б) arcsin- x) dx; в) x + x + 1 . x(1
-1 0 -1
2

109. Объясните, почему неверна замена 110. Найдите предел
n

t = tg x
k n

в интеграле

0

dx 1 + sin2 x

.

lim

1 n

n

1+
k=1

.