Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2012_2013/11mat_1213/alg/a1104-1213-extrem.pdf Дата изменения: Fri Sep 21 22:17:37 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 07:41:59 2013 Кодировка: Windows-1251

Гимназия 1543

11-В класс

Экстремальные задачи

Математический анализ-2

15 сентября 2012 г.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Напомним теорему Вейерштрасса: функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своих точных верхней и нижней граней. Из теоремы Ферма следует, что это может происходить либо в критических точках, либо на концах отрезка.
1 24. Найдите наибольшее и наименьшее значения следующих функций: а) f (x) = x + x на отрезке [0, 01; б) f (x) = x + 3 x + 11 + 2 на отрезке [-3; 3]; в) f (x) = x - 1 на отрезке [-0, 8; 4]. x+1 4 Замечания. 1) Функция f (x) принимает наибольшее (наименьшее) значение в той же точке, что и функции: f (x) + c; kf (x), где k > 0; f n (x), где n N, f (x) 0. 2) Если функция f (x) принимает в некоторой точке наибольшее (наименьшее) значение, то функции 1 (при условии f (x) > 0) принимают в этой же точке наименьшее (наибольшее) значения. f (x)
2

90]

;

-f ( x )

и

25. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0; ]. 26. Найдите область значений функции y = x - 5 + 9 - x. 27. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = x + (x2 + 6x + 9)(x2 + 2x + 1) на отрезке 5 [-4; - ]. 4 28. Сопротивление изгибу балки прямоугольного сечения пропорционально ее ширине x и квадрату высоты y: P = kxy 2 . Какое сечение должна иметь балка, вырезанная из цилиндрического бревна радиуса R, чтобы ее сопротивление изгибу было как можно больше? В ответе укажите отношение высоты к ширине. 29. В круг радиуса R впишите равнобедренный треугольник наибольшей площади. 30. При каких размерах прямоугольная коробка без крышки с квадратным основанием и полной поверхностью S имеет наибольший объем? 31. Найдите координаты точки, лежащей на графике функции y = 1 + cos x при 0 x и наименее удаленной от прямой x 3 + 2y + 4 = 0. 32. Найдите наименьший возможный объем конуса, описанного вокруг полушара радиуса R.
2
То же, но без производной

3 f (x) = - cos x - x 2

33. Найдите наибольшее и наименьшее значения функций: а) y = 1 + cos 2x на отрезке [-3; 3]; б) y = ||x| - 4| на отрезке [- ; ]; в) y = 2 - 3 sin x + 4 cos x. 22 34. Какова наибольшая площадь прямоугольного участка земли, который можно огородить забором длины 2p? 35. Найдите прямоугольник наибольшей площади, вписанный в окружность радиуса R. 36. Луч света движется из одной точки в другую, отражаясь от плоского зеркала. При этом он "выбирает"путь наименьшей длины. Докажите, что в таком случае угол падения равен углу отражения.
Домашнее задание

37. Найдите наибольшее и наименьшее значения следующих функций: а) f (x) = 2x3 - 3x2 - 36x + 10 на отрезке [-5; 4]; б) f (x) = 5 cos x - cos 5x на отрезке [- ; ]; 44 в) y = x3 - 2x|x - 2| на отрезке [0; 3]. 38. Найдите область значений функции y = 2x - 16x - 4, определенной на отрезке 1 ; 17 44 39. Найдите радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R. 40. Из проволоки длиной 24 см надо сделать модель прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. При каких размерах сторон объем параллелепипеда будет наибольшим? 41. Заданы периметр P и длина a одной из сторон треугольника. Какие длины должны иметь две другие стороны, чтобы его площадь была наибольшей? 1 42. Касательная к графику функции f (x) = x такова, что абсцисса точки касания принадлежит отрезку [5; 9]. Найдите наибольшую возможную площадь треугольника, ограниченного этой касательной, осью Ox и вертикальной прямой x = 4. 43. В первую бочку налито 16 кг раствора соли, а во вторую 25 кг. Оба раствора разбавили водой так, что процентное содержание соли в первой бочке уменьшилось в m раз, а во второй в n раз. Известно, что mn = m + n + 3. Найдите наименьшее количество воды, которое могло быть долито в обе бочки вместе.
2


Нахождение экстремальных значений функции на различных множествах

4 44. Найдите наименьшее из значений, принимаемых функцией y = x + (x - 2) на отрезке [0; 5], x = 2. 45. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции (если они существуют): а) y = x - 2x; б) y = x x 3 на луче [0; +). + 46. Если батарея с ЭДС E и внутренним сопротивлением r замкнута проводником с сопротивлением R, то мощность получающегося тока выражается формулой W = (RE+R ) . При каком значении R мощность будет наибольшей? r 47. Найдите расстояние от точки M (0; -2) до кривой y = 16 - 2, x > 0. 3x 48. В равнобедренный треугольник с боковыми сторонами 1 и основанием a вписан прямоугольник наибольшей площади. Чему равна его площадь в зависимости от a? При каком a площадь наибольшего прямоугольника будет наибольшей? 49. Освещенность в данной точке пропорциональна силе света источника и обратно пропорциональна квадрату расстояния от точки до этого источника. В точках O1 и O1 , удаленных друг от друга на расстояние a, помещены источники, имеющие соответственно силу света I1 и I2 . Найдите наименее освещенную точку отрезка O1 O2 .
2 4 2 2 3

Домашнее задание

50. Найдите наибольшее и наименьшее значения (если они существуют) следующих функций: а) y = x x+ 1 ; б) y = xx + 2; в) y = sin2 x + cos x.
4 4

2 2 51. Найдите область значений функции f (x) = -x x+- x x - 38 . 6 + 34 52. Закрытый металлический бак с квадратным основанием должен иметь объем 343м2 . При каких размерах на его изготовление пойдет наименьшее количество материала? x 53. Потенциальная энергия растянутой пружины выражается формулой U = k2 , где k постоянная, называемая жесткостью пружины, и x удлинение пружины. Две пружины расположены на одной прямой, их дальние концы закреплены, а расстояние между ближними, равно a. Жесткость первой пружины k1 , а второй k2 . Пружины растянули и соединили в точке X . На каком расстоянии от ближнего конца первой пружины должна находиться точка X , чтобы суммарная потенциальная энергия пружин была наименьшей? Решите задачу двумя способами: а) с помощью производной; б) с помощью законов физики. 54. Из квадратного листа жести со стороной а требуется вырезать развертку правильной четырехугольной пирамиды так, чтобы вершины квадрата склеивались в вершину пирамиды. Как это сделать, чтобы получить пирамиду наибольшего объема? 55. Какой сектор следует вырезать из круга радиуса R, чтобы свернуть из него воронку наибольшей вместимости? (объем конуса вычисляется по формуле V = 1 r2 h, где r радиус основания и h высота конуса) 3
2 2 2