Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2011_2012/11mat_1112/alg/a1121-1112-pervoobraznaja.pdf Дата изменения: Sun Sep 2 21:30:39 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 08:14:06 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: ускорение

Гимназия 1543

Первообразная и неопределенный интеграл
Первообразная

11-В класс

Математический анализ-6

24 февраля 2012 г.

Пример 1. Координата тела меняется по закону s(t) = 5t2 - 2t + 1. Найдите скорость и ускорение тела через 3 секунды. Пример 2. На покоящееся тело массой 5 кг начинает действовать сила 10 Н. На какое расстояние переместится тело за 3 секунды? Какой из двух примеров более естественен? Определение. Первообразной для данной функции f (x), заданной на некотором промежутке, называется функция F (x), заданная на том же промежутке, производная которой равна f (x). Таким образом, F (x) = f (x). Другая запись: dF (x) = f (x)dx. Процесс отыскания первообразных называется интегрированием функций. Термин происходит от лат. "integrare"?восстанавливать?, далее от "integer"?нетронутый, целый?, из in- ?не-, без-? + tangere ?трогать, касаться?. Пример 3. Проинтегрируйте функции: а) f (x) = 2x + 3; б) f (x) = sin x. Основное свойство первообразной. Если F (x) первообразная для f (x) на некотором промежутке, то для любого числа C функция F (x) + C тоже является первообразной для f (x) на этом промежутке. Других первообразных у f (x) на этом промежутке нет. Определение. Совокупность всех первообразных функции f (x) называют неопределенным интегралом этой функции и обозначают f (x)dx. Таким образом, f (x)dx = F (x) + C , где F (x) одна из первообразных функции f (x), а C пробегает множество всех действительных чисел. f (x) называют подынтегральной функцией, f (x)dx подынтегральным выражением, x переменной интегрирования, а C постоянной интегрирования. Формулу f (x)dx = F (x) + C можно записать также в виде F (x)dx = F (x) + C или dF (x) = F (x) + C . Чтобы из бесконечного множества первообразных выделить одну, надо задать начальные условия. 1 Пример 4. Найдите первообразную F0(x) для функции f (x) = x на промежутке (0; +), принимающую значение 1 при x = 1. Арифметические свойства неопределенного интеграла 1) kf (x)dx = k f (x)dx. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. 2) (f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx. Интеграл суммы равен сумме интегралов, если они существуют. 1 3) Если f (x)dx = F (x) + C , то f (kx + b)dx = k F (kx + b) + С. (Линейная замена переменной) Таблица основных интегралов
2

1) 2) 4) 5) 7) 9) 1) 5) 9) 13) 17) 21)

x dx =

x+1 +C +1

;

sin xdx = - cos x + C

dx = tg x + C cos2 x dx = arcsin x + C 1 - x2

;

; ;

ex dx = ex + C

;

dx = ln |x| + C x

; ;

3) 5) 6) 8)

cos xdx = sin x + C

;

dx = - ctg x + C sin2 x dx = arctg x + C 1 + x2 ax +C ax dx = ln a

;

;

10) 11) 12) 13)

;

dx x = arcsin + a a2 - x2 1 x dx = arctg + x2 + a2 a a dx 1 x-a = ln x2 - a2 2a x+a dx 1 x+a = ln a 2 - x2 2a x-a

C C

; ;

+C +C

; .

Простейшие примеры интегрирования
2) 6) 10) 14) 18) 22)
(x2 + 5x - 7)dx x 3 x - 2 x2 + 1 dx 4 x x+1 x-1 2 -5 dx 10x dx x+2 dx 2 - 5x dx 2 + 3x2

(x4 - 6x2 + 5x - 7)dx
1-x x
2

;

dx

; ; ;

;

(1 + sin x + cos x)dx 3 1 - 3xdx
dx x2 + 4x + 5 dx (x - 2)
k

,

k=1

; ;

;

;

;

;

3) 7) 11) 15) 19) 23)

x

6 3 x - 2 dx
x 1 x2
2

; ;

1-

x xdx

(2x + 3x ) dx cos 3xdx

;

; ;

cos 7x cos 4xdx
dx 2 - 3x
2

;

4) 8) 12) 16) 20) 24)

(3 - x2 )3 dx
x dx 1 + x2 e3 x + 1 dx ex + 1
2

;

;

;

(2x - 3)10 dx sin2 3xdx
dx 2 - 3x
2

; .

;