Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2010_2011/9mat_1011/spec/180_Sequences.doc Дата изменения: Sun Sep 2 21:26:55 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 06:57:11 2013 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: внешние планеты

Гимназия 1543, 9-В класс
Листик 18, 23 апреля 2011.
Последовательности.

1. Для каких натуральных n выполняется неравенство 2n > n+15?

2. (Неравенство Бернулли). Докажите, что [pic], при а) x>0 б) x>-1.

3. Найдите какое-то n для которого выполняется неравенство а) [pic]
б) [pic] в) [pic], г) [pic] д) [pic]

Стандартные обозначения [pic]- для любого, любой; [pic] - существует,
найдется.

Определение 1. Последовательность {an} ограничена если [pic] такое, что
[pic].

4. а) Напишите определение неограниченной последовательности. б) Напишите
определение наибольшего члена последовательности.

5. Приведите пример ограниченной последовательности у которой а) есть и
наибольший и наименьший член б) есть наибольший, но нет наименьшего
члена. в) нет ни наибольшего ни наименьшего члена.

6. Найдите наибольший элемент последовательностей а)[pic] б) [pic] в) [pic]

Определение 2. Последовательность {an} (монотонно) возрастает, если [pic]
an+1>an.

7. Приведите пример возрастающей последовательности которая является
ограниченной.

Определение 3. Последовательность {an} стремится к бесконечности, если
[pic], [pic], такое что [pic], [pic]. Пишут [pic].

8. а) Верно ли, что любая последовательность или является ограниченной или
стремится к бесконечности? б) Тот же вопрос для монотонных
последовательностей.

Аксиома Архимеда. (Сформулирована Архимедом в сочинении "Шар и цилиндр";
ранее её применял Евдокс Книдский, иногда аксиому называют аксиомой
Евдокса.)

Для любых положительных чисел a и b, найдется [pic] такое, что na>b.
В частности, для любого положительного A>0, существует [pic], такое, что
n>A.

9. Какие из следующих последовательностей стремятся к бесконечности

а) [pic] б) [pic] в) [pic] г) [pic] д) [pic] е) [pic] ж) [pic] з) [pic]
(Указание. При доказательстве необходимо использовать определение.)

10. Являются ли следующие последовательности ограниченными?

а)[pic], [pic] б) [pic] в) [pic]

11. Докажите, что любая последовательность либо ограничена либо содержит
стремящуюся к бесконечности подпоследовательность.