Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2010_2011/10mat_1011/alg/a1025-1011-lim-nepr-function-6-sait.pdf Дата изменения: Sun Sep 2 21:15:30 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 08:27:46 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: arp 220

Гимназия 1543 Определение

10-В класс Обратная функция

15 февраля 2011 г.

. Пусть функция y = f (x) определена на некотором множестве X R. Тогда f : X f (X ). Функция : f (X ) X такая, что (x X )((f (x)) = x) и (y f (X ))(f ((y )) = y ) называется обратной к функции y = f (x) на множестве X и обозначается f -1 . Функция y = f (x), имеющая обратную, называется обратимой. . Функция y = f (x) называется взаимно однозначной на множестве X R, если любой элемент множества f (X ) имеет только один прообраз в X . (т.е. если x1 X , x2 X и x1 = x2 , то f (x1 ) = f (x2 )).

Определение

98. Докажите, что функция, определенная на некотором множестве, обратима на нем тогда и только тогда, когда она взаимно однозначна на этом множестве. 99. Найдите функции, обратные данным: а) г)

f (x) = 2x - 5

;

б)

x2 - 4x + 5, x

2

;

в)

x2 - 4x + 5, x

2

;

f (x) = x + 2x

4

2

.

100. Докажите, что графики взаимно обратных функций симметричны друг другу относительно прямой

Теорема 1. Функция, строго монотонная на некотором множестве, обратима на нем. Обратная функция тоже строго монотонна. Теорема 2.
m

y=x

.

101. Может ли немонотонная функция быть обратимой?

Пусть функция y = f (x) непрерывна и возрастает (убывает) на отрезке [a; b]. Пусть M и ее наибольшее и наименьшее значения на этом отрезке (ввиду монотонности эти значения принимаются на концах отрезка). Тогда на отрезке [m; M ] существует функция, обратная к функции f . Эта функция тоже возрастает (убывает) и непрерывна.
[a; b]
функция обратима. Обязательно ли она монотонна?

102. Пусть непрерывная на отрезке 103. Докажите, что на луче

[0; )

существует функция, обратная функции

y=x
;

n

, где

nN

, причем эта

функция непрерывна и монотонно возрастает. Как она называется? 104. Укажите область определения и область значения функций

y = arcsin x y = ex
и

y = arccos x; y = arctg x
; б)

;

y = arcctg x
1 2
x

. Постройте их графики.

105. Постройте в одной системе координат графики функций: а) в)

y = ln x

y=2

x

и

y = log2 x

;

y=

и

y = log 1 x
2

. Опишите свойства этих функций (область определения, область значений, нули,

интервалы знакопостоянства, характер монотонности)

Второй замечательный предел и его следствия
Второй замечательный предел. lim 1 + Следствия
Пусть . 1.
x0

lim

ln(1 + x) = 1; x
,

1x =e x x ex - 1 2. lim = 1. x x0
, причем

Теорема об одновременном переходе к пределу для последовательностей.
n

lim an = A > 0

n

lim bn = B

(n N)(an > 0)

. Тогда .

n

lim abn = A n
B

B

.

Теорема об одновременном переходе к пределу для функций
Пусть
xa

lim f (x) = A, lim g (x) = B
xa

, причем

f (x) > 0.

Тогда

xa

lim f (x)g (x) = A A
и/или

.

106. Как изменятся теоремы об одновременном переходе к пределу, если 107. Вычислите пределы: а)
x

B

заменить на



?

lim

2x + 5 2x + 1
1 x

x+1

;

б)

x0

lim

ln(1 + sin 4x) ; 5x
ж)

в)

x0

lim

e

ax

-e x
з)

bx

;

г)

x
4

lim (tg x)tg

2x

;

д)

x0

lim (1 - 2x)

;

е)

xa

lim

ln x - ln a ; x-a

xb

lim

ax - ab ; x-b

x0

lim

ln cos ax ; ln cos bx

Домашнее задание
108. Вычислите пределы: а)

x2 + 1 x x2 - 2 e2x - 1 д) lim ; x0 4x - 2

2x2

lim

;

б)

x

lim

x2 + 2x - 1 2x2 - 3x - 2

2x-1 x+1

;

в)

x0

lim

ln(1 + sin 3x) ; ln(1 + tg 4x)

г)

x0

lim (3x + 2)

1 x-1

;