Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2010_2011/10mat_1011/alg/a1024-1011-nepr-global-5-sait.pdf Дата изменения: Sun Sep 2 21:15:27 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 08:22:33 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: релятивистское движение

Гимназия 1543

73. Докажите, ности этой 74. Докажите, отлично от

75. 76. 77.

78.

79. 80. 81. 82.

что если функция непрерывна в некоторой точке, то в достаточно малой окрестточки она ограничена. что если функция непрерывна в некоторой точке, и ее значение в этой точке нуля, то в достаточно малой окрестности этой точки функция сохраняет знак. Теорема о корне. Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и имеет на его концах разные знаки. Тогда ( [a; b])(f () = 0). Таким образом, . На этом основан метод интервалов (обобщенный, а не только для рациональных функций) 8 - 2x - x 8 - 2x - x x -1 . Решите неравенство: а) 13 - x x - 1; б) x + 10 2x + 9 Теорема о корне "узаконивает"графические соображения, применяемые при исследовании квадратного трехчлена и подобных задачах. Докажите, что квадратный трехчлен ax2 +bx+c, для которого a+b+c > 0, а a-b+c > 0, имеет два действительных корня. При каких значениях параметра a число 3 заключено между корнями уравнения x2 - (2a + 1)x + 4 - a = 0? Теорема о корне позволяет также со сколь угодно высокой точностью приближенно находить корни уравнения. Для этого надо каким угодно образом отыскать отрезок, на концах которого функция в левой части уравнение принимает значения разных знаков, а затем делить отрезок пополам нужное число раз. Иногда математики называют это вслед за артиллеристами "методом вилки". а) Докажите, что уравнение x3 - 5x + 2 имеет три действительных корня. б) Докажите, что неравенство x3 - 5x + 2 > 0 выполняется при всех x > 2 Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении. Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на концах отрезка разные значения A и B . Тогда (С [A; B ]([B ; A]))( [a; b])(f ( ) = C ). Верно ли обратное: если (С [f (a); f (b)]([f (b; f (a)]))( [a; b])(f () = C ), то функция непрерывна на отрезке [a; b]? Верно ли предыдущее утверждение для монотонной функции? Докажите, что территорию Кремля можно разделить на две равновеликие части, проведя прямую: а) строго по меридиану; б) через вход в "Польскую моду". Монах с 8 часов утра до 8 часов вечера поднимался на священную гору. Ночь он провел в молитвах, а на следующий день спускался с горы с 8 утра до 8 вечера по той же дороге. Скорость его оба раза вовсе не была постоянной, иногда он отдыхал, мог и возвращаться за забытой на предыдущем привале вещью. Докажите, что в каком-то месте дороге он в первый и во второй день был ровно в одно и то же время.
если на интервале функция непрерывна и не обращается в нуль, то она сохраняет на нем постоянный знак
2 2 2 2

Глобальные свойства непрерывных функций Теорема о промежуточном значении

10-В класс

1 февраля 2011 г.

83. Решите неравенство: а) (x + 3) 12 - |x| 0; б) 1 - 1 - 4x < 3; в) 6 - 1 x + x 1 ; x 2 3 2 2 г) (x + 3) (x + 3)(1 + 2x - 4x - 5). 84. Докажите, что многочлен нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень. 85. Определите знак c, если a + b + c < 0 и уравнение ax2 + bx + c = 0 не имеет корней.
2

Домашнее задание




86. Найдите все значения a, при которых корни x1 и x2 уравнения x2 - 2(a - 1)x + 2a + 1 = 0 удовлетворяют условию -4 < x1 < 0 < x2 < 4. 87. Найдите методом вилки с точностью до 0,2 ближайший к нулю корень уравнения x2 + 4x + 3 = 0. 88. Докажите, что существует прямая линия, одновременно делящая на две равновеликие части и территорию Кремля, и дачу Евгения Иваныча. 89. Докажите, что территорию Кремля можно разбить на 4 равновеликие части двумя взаимно перпендикулярными прямыми. 90. Поезд движется прямолинейно из А в В, его скорость непостоянна, но меняется по заранее известному закону. К полу на шарнире прикреплен стержень, который может наклоняться вперед и назад вплоть до касания с полом. Докажите, что существует такое начальное положение стержня, при котором он так и не прикоснется к полу.

Чем отрезок отличается от интервала

91. 92.

93. 94. 95. 96. 97.

. Функция, непрерывная на отрезке, ограничена. Всякая ли функция, непрерывная на интервале, ограничена? Какое место в доказательстве теоремы неверно для интервала? Пусть функция непрерывна на интервале и ограничена на нем. Как и всякое ограниченное множество, область ее значений имеет точную нижнюю и верхнюю грани. Обязательно ли функция их достигает? Теорема Вейерштрасса об экстремальных значениях. Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своих точных нижней и верхней граней, т.е. ( [a; b])(f () = inf f ([a; b])) и ( [a; b])(f () = sup f ([a; b])). Приведите пример ограниченной функции, не достигающей своих точных верхней и нижней граней: а) заданной на [0; 1]; б) непрерывной на R. . Функция y = f (x) называется равномерно непрерывной на множестве M , если ( > 0)( = ())((|x1 - x2| < ) (|f (x1) - f (x2)| < )). Напишите определение функции, непрерывной на множестве M . Найдите отличие. Сформулируйте определение функции, не являющейся равномерно непрерывной на множестве M . 1 а) Докажите, что функция y = x на интервале (0; 1) непрерывной является, а равномерно непрерывной нет. б) Приведите пример функции, являющейся непрерывной, но не являющейся равномерно непрерывной на R; на луче [0; +). Является ли равномерно непрерывной на множестве неотрицательных чисел функция y = x? Теорема Кантора. Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на этом отрезке. Заметим, что доказательства и теоремы Кантора, и первой теоремы Вейерштрасса (а из нее вытекает и вторая) опираются на возможность выделить в последовательности точек отрезка сходящуюся подпоследовательность (т.е. на отрезка), а также на сходимость этой последовательности к точке отрезка (т.е. на его ) Как видно из этих примеров, сочетание этих двух свойств продуктивно. . Замкнутое ограниченное множество называется компактом.
Теорема Вейерштрасса об ограниченности функции, непрерывной на отрезке
Определение ограниченность замкнутость Определение