Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/s43/math/uroki/2009_2010/9mat_0910/spec/67_top_lect.pdf Дата изменения: Sun Sep 2 21:13:23 2012 Дата индексирования: Tue Feb 5 06:30:35 2013 Кодировка: Windows-1251

Гимназия 1543, 9-В класс, 13 марта.
Топология действительных чисел.
Непрерывность действительной прямой.
Утверждение.

Пусть A и B два непустых подмножества множества действительных чисел R. Пусть при этом любая точка A не превосходит ни одну из точек B (говорят, что множество A лежит левее множества B ). Тогда найд?тся точка c такая, что для любых a A, b B выполнено a c b (говорят, что точка c разделяет A и B ). Вышеизложенное утверждение называется и является одним из важнейших свойств множества действительных чисел. Оно отличает действительные числа, например, от рациональных. Рассмотрим некоторые полезные его следствия. (Принцип Архимеда) Пусть a и b действительные положительные числа. Тогда найд?тся такое натуральное n, что an > b. Пусть для некоторой пары a, b принцип Архимеда не выполнен. Тогда для любого n N an b. b Перепишем это неравенство в виде: n a . Пусть A = N, B множество чисел, не меньших любого натурального числа. b A, очевидно, непусто. B непусто, так как содержит . Значит есть число c, разделяющее N и B . При этом существует a натуральное число, большее, например, (c - 1). Прибавим к этому числу 1. Получим тоже натуральное число, уже большее c. Противоречие. (Принцип вложенных отрезков) Пусть Xi = [ai , bi ], i N последовательность вложенных отрезков (Xi+1 Xi ). Тогда i Xi непусто. =1 В качестве множества A возьм?м множество левых концов отрезков, в качестве множества B возьм?м множество правых концов отрезков. Разделяющее их число c будет общим для всех отрезков Xi . (О существовании точной грани) Пусть непустое множество B ограничено снизу. Тогда множество A всех чисел, ограничивающих B снизу, имеет наибольший элемент (точную нижнюю грань). Получим из принципа вложенных отрезков и принципа Архимеда. X1 возьм?м так, чтобы левый конец принадлежал A, а правый B . Xk+1 получим из Xk делением его пополам, взяв середину Xk левым или правым концом |X1 | Xk+1 в зависимости от того, принадлежит ли она A или нет. Получим систему вложенных отрезков, |Xk | = k-1 . Она имеет 2 общую точку, единственную по принципу Архимеда. Эта точка, очевидно, и будет точной нижней гранью. Совершенно аналогично определяется точная верхняя грань и доказывается е? существование. Понятия точной верхней и нижней грани носят специальные названия: супремум (sup) и инфимум (inf ). Заметим, кстати, что аксиома непрерывности легко доказывается, если постулировать существование точной грани. Действительно, множество нижних граней B содержит A, поэтому точная нижняя грань A разделяет A и B . Таким образом мы получили:
аксиомой непрерывности Теорема. Доказательство. Теорема. Доказательство. Теорема. Доказательство.

Следующие свойства действительных чисел эквивалентны: 1) Аксиома непрерывности; 2) Принцип Архимеда и принцип вложенных отрезков; 3) Существование точной грани. Начн?м Пусть множества кается с , множества
Классификация точек действительной прямой.
окрестностью

Утверждение.

(x - , x + ) Проколотой AR A A x A
Пример.

с очень важного определения: числа x радиуса > 0 (или -окрестностью) назов?м интервал . будем называть такой же интервал, только без самой точки x. некоторое подмножество действительной прямой. Будем говорить, что точка x , если некоторая е? окрестность полностью лежит в A. Если некоторая окрестность точки x вообще не пересето точка называется множества A. Все остальные точки называются .
окрестностью внутренняя точка внешней точкой граничными точками

Рассмотрим отрезок [-1, 1]. Очевидно, любая точка x такая, что |x| < 1, является внутренней (достаточно рассмотреть, например, (1 - |x|)-окрестность). Любая точка x, удовлетворяющая неравенству |x| > 1, будет внешней. А вот -1 и 1 ни к тому, ни к другому типу не относятся. Любая их окрестность содержит точки отрезка, но не лежит в н?м полностью. Множество внутренних точек множества A называется его и обозначается Int A. Множество внешних точек множества A называется его и обозначается Ext A. Множество граничных точек множества A называется его и обозначается A. ? Объединение Int A и A называется A и обозначается A. Некоторые множества не содержат ни одной граничной точки (совпадает со своей внутренностью). Такие множества называются . Есть и другая крайность: множество содержит все свои граничные точки (совпадает со своим замыканием). Такое множество называется .
внутренностью внешностью границей замыканием открытыми замкнутым Обозначения.

Интервал (-1, 1) является открытым не замкнутым множеством. Отрезок [-1, 1] является замкнутым не открытым множеством.

Пример.


Полуинтервал [-1, 1) не является ни замкнутым, ни открытым. Прямая R и пустое множество являются (единственными) открытозамкнутыми множествами. Есть и другая не менее часто используемая классификация точек прямой относительно множества A: внешние, предельные и изолированные точки. Точка x множества A называется , если какая-то из е? проколотых окрестностей с A не пересекается. Если же любая проколотая окрестость точки x (уже не обязятельно принадлежащей A) пересекается с A, то точка x называется предельной точкой множества A.
изолированной

Рассмотрим множество . Классифицируем точки прямой относительно A. . . . Предельные для точки: . Изолированные точки: 1. (Основное свойство открытых множеств) Объединение любой системы открытых множеств открыто. Пересечение любой конечной системы открытых множеств открыто. Утверждение про пересечение тривиально: любая общая точка системы, внутренняя для каждого из множеств, является внутренней точкой пересечения системы (для каждого из множеств есть окрестность, лежащая в н?м; окрестность минимального радиуса лежит в пересечении). Заметим, что так как все множества открыты, то любая их общая точка является внутренней для каждого из множеств системы. Значит, все точки пересечения внутренние для этого пересечения. Утверждение про объединение не менее тривиально: любая точка объединения есть внутренняя точка одного из множеств системы. У не? есть окрестность, лежащая целиком в этом множестве, а, следовательно, и в объединении множеств системы.
A = [-1, 0) {1} Ext A = (-, -1) (0, 1) (1, +) Int A = (-1, 0) A = {-1, 0, 1} A [-1, 0]
Теорема. Доказательство.

Пример.