Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/oluch/Zaoch_14_usl.doc Дата изменения: Wed Jan 1 16:28:59 2014 Дата индексирования: Thu Feb 27 21:06:24 2014 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: сферическая составляющая галактик

IX Зао?ный конкурс у?ителей математики.
I. Решите зада?и.
?1. Три землекопа, работая одновременно, выкопали за ?ас [pic] траншеи.
Известно, ?то землекопы работают с разной скоростью, при?ем каждый из них
может выкопать такую траншею меньше ?ем за сутки, но за целое ?исло ?асов.
За какое время выкопает траншею каждый из них?
?2. У завхоза было трое одинаковых ?аше?ных весов. В одних потерялась ?асть
деталей и теперь они могут показывать ?то угодно. Любые весы помещаются на
одну ?ашку других весов. За какое наименьшее коли?ество взвешиваний можно
определить неисправные весы?
?3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA'B'C'D' то?ка Е - середина ребра
BB'. Найдите объем тетраэдра ЕАD'C, если AB = 2; AD = 1; AA' = [pic].
?4. У Мудрого У?ителя Фу есть любимый У?еник Ли. Каждый день Фу вкладывает
знания в Ли. Однажды Фу обнаружил, ?то Ли усваивает на занятии не весь
вложенный объем знаний, а только логарифм этого объема (например, если Фу
вкладывает в Ли единицу знаний, то Ли не усваивает ни?его). Основание
логарифма - вели?ина, обратная длине палки (в метрах), с помощью которой Фу
вкладывает знания в Ли. Однажды Император издал указ о гуманизации
образования, в котором повелел укоротить все палки. До какой наименьшей
длины Фу может укоротить палку, ?тобы ею можно было вложить в Ли столько
знаний, ?то Ли их усвоит без остатка?
?5. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = АС) провели биссектрису BD.
Оказалось, ?то ВС = BD + AD. Найдите угол BАC.

II. Методи?еский блок.
В предложенных текстах (?6 - ?8) могут содержаться математи?еские
ошибки (как в 'ответах', так и в 'решениях'). Укажите все ошибки и, если
'решение' неверное, то приведите верное решение.
?6. 'Зада?а'. Существует ли коне?ная геометри?еская прогрессия с
натуральными ?ленами, сумма всех ?ленов которой равна 211?
'Ответ': нет, не существует.
'Решение'. Пусть x - первый ?лен, а q - знаменатель прогрессии, тогда x(1 +
q + q2 + ... + qn) = 211. Так как 211 - простое ?исло, то x = 1. Зна?ит,
q(1 + q + ... + qn - 1) = 210 = 2(3(5(7. Следовательно, в разложении ?исла
q на простые множители могут присутствовать только ?исла 2, 3, 5 и 7 (либо
в первой, либо в нулевой степени.
Пусть q = 2, тогда 1 + 2 + ... + 2n - 1 = 105 ( 2n - 1 = 105 ( 2n =
106, ?то невозможно.
Пусть q = 3, тогда 1 + 3 + ... + 3n - 1 = 70. Так как 34 = 81 > 70, то
достато?но проверить n = 2; 3; 4. Во всех слу?аях равенство неверно.
Пусть q = 5, тогда 1 + 5 + ... + 5n - 1 = 42. Так как 53 = 125 > 42, то
достато?но проверить n = 2 и n = 3. В обоих слу?аях равенство неверно.
Пусть q ( 6, тогда 1 + q + ... + qn - 1 ( 35, но q2 ( 36, поэтому ни
при каких натуральных n, больших двух, неравенство 1 + q + ... + qn - 1 (
35 выполняться не может.
?7. 'Зада?а'. Дан равнобедренный треугольник ABC (AB = BC). На стороне AB
выбирается то?ка K, а на стороне BC - то?ка L так, ?то AK + CL = [pic]AB.
Найдите геометри?еское место середин отрезков KL.
'Решение'. Отметим на AB то?ку M, а на BC - то?ку N так, ?тобы AM = CN
=[pic]AB. Докажем, ?то отрезок MN - искомое ГМТ.
Ясно, ?то L и K лежат по разные стороны от прямой MN и KM = LN. Без
ограни?ения общности с?итаем, ?то K лежит на отрезке BM. Проведем ?ерез K
прямую параллельно BN до пересе?ения с MN в некоторой то?ке D. Стороны
треугольников MKD и ABC параллельны, поэтому MKD - равнобедренный, MK = KD.
Отрезки KD и NL равны и параллельны, зна?ит, KNLD - параллелограмм, и
середина KL лежит на DN.
Обратно, пусть E - то?ка на MN, и, скажем, EN < EM. Отложим на EM
отрезок ED = EN и проведем ?ерез D прямую параллельно BN до пересе?ения с
BM в то?ке K. Тогда, отложив на лу?е NC отрезок NL = DK, полу?им нужный нам
отрезок KL с серединой E.
?8. 'Зада?а'. Вася и Петя закрашивают по о?ереди клетки на доске размером
4(4 так, ?тобы не образовывался квадрат 2(2 из закрашенных клеток. Тот, кто
не сможет сделать о?ередной ход, проигрывает. На?инает Петя. Кто из них
сможет выиграть, как бы ни играл соперник?
'Ответ': Вася.
'Решение'. Как бы не играли Вася и Петя, они обязательно сделают в сумме 12
ходов. Тринадцатый ход должен будет сделать Петя, поэтому он проиграет.

III. Аналити?еский блок.
?9. На уроке была предложена зада?а: 'У Вани есть 6 у?ебников по разным
предметам, один из которых у?ебник алгебры. Он наугад кладет в портфель два
у?ебника. Какова вероятность того, ?то один из них окажется у?ебником
алгебры?
Школьник предложил такое решение: 'Если Ваня положит в портфель только
один у?ебник, то вероятность того, ?то это будет у?ебник алгебры, равна
[pic]. А так как он кладет два у?ебника, то вероятность удваивается,
следовательно, она равна [pic]'.
Разгорелся спор. Одни с?итали предложенное решение, в целом, верным,
хотя и недостато?но обоснованным. Другие утверждали, ?то решение ошибо?но,
хотя и приводит к верному ответу.
1) Приведите разумные аргументы за обе стороны спорящих. На ?ьей Вы
стороне и по?ему?
2) Приведите еще 1 - 2 примера зада? по комбинаторике или теории
вероятностей, в которых верный ответ полу?ается путем неверных или неполных
рассуждений. Объясните, из каких соображений можно либо опровергнуть каждое
из приведенных Вами 'решений', либо довести его до верного.