Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/mmks/dec09/mokin.doc Дата изменения: Fri Dec 25 16:25:40 2009 Дата индексирования: Tue Oct 2 04:27:08 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: закон вина

Пересечение конусов.

В. Мокин
Физико-технический лицей ?1, г. Саратов

Научный руководитель О. Ю. Дмитриев
Саратовский государственный университет,
Центр дополнительного образования «Поиск»

Некоторые геометрические места точек в пространстве являются
пересечениями двух круговых конусов. В общем случае такое пересечение может
быть устроено довольно сложно. Представляет интерес, когда это пересечение
является объединением нескольких плоских кривых.

Теорема 1. Пусть [pic] и [pic] - параллельные плоскости. Пусть S и T -
цилиндры с непараллельными осями, каждый из которых касается обеих
плоскостей [pic] и [pic]. Тогда эти цилиндры пересекаются по объединению
двух эллипсов.
Более того, касательные к этим эллипсам в их общей точке X -
биссектрисы угла между образующими цилиндров, проходящими через X.

Теорема 2. Пусть [pic] и [pic] - непараллельные плоскости. Пусть S и T
- два конуса c несовпадающими вершинами и непараллельными осями, каждый из
которых касается обеих плоскостей [pic] и [pic], и находящиеся в двух
четвертях между [pic] и [pic]. Тогда эти конусы пересекаются по объединению
двух коник.
Более того, касательные к этим коникам в их общей точке X -
биссектрисы угла между образующими конусов, проходящими через X.

Доказательство теоремы 1. Оси цилиндров S и T лежат в средней плоскости
[pic] между [pic] и [pic] и не параллельны. Значит, они пересекаются.
Обозначим через O их пересечение. Сфера с центром в O и касающаяся [pic] и
[pic] вписана в оба цилиндра. Обозначим эту сферу через ?. Сечение цилиндра
S плоскостью [pic] - объединение двух прямых, параллельных оси цилиндра S.
Сечение цилиндра T плоскостью [pic] - объединение двух прямых, параллельных
оси цилиндра T. Эти четыре прямые образуют параллелограмм ABCD. ABCD описан
около [pic]. [pic]
Значит ABCD - ромб. Тогда BD и AC - биссектрисы угла между осями цилиндров.
Обозначим через [pic] и [pic] плоскости, перпендикулярные плоскости [pic] и
содержащие AC и BD соответственно. ABCD симметричен относительно AC,
значит, S и T симметричны относительно [pic]. Тогда [pic] является
эллипсом. Обозначим этот эллипс через [pic]. [pic]. Аналогичный эллипс
[pic] можно построить для [pic]. Обозначим через l перпендикуляр из O к
[pic], а через X и Y точки касания ? плоскостей [pic] и [pic]. Т.к. ?
вписана в S, то [pic]. Тогда [pic]. Пусть есть точка [pic], [pic]. Проведем
через K плоскость [pic] параллельную [pic]. Если [pic] не равна [pic] и
[pic], то [pic] пересекает [pic] по 4 точкам не равным K. Но с другой
стороны, [pic] - объединение двух прямых, и [pic] - объединение двух
прямых. Значит, [pic] содержит не более четырех точек. Противоречие. Если
же [pic] равна [pic] или [pic], то [pic] пересекает [pic] по точке не
равной K. Но с другой стороны, [pic] - прямая, и [pic] - прямая. Значит,
[pic] содержит не более одной точки. Противоречие. Значит, [pic]. Т.к.
[pic] и [pic] касаются плоскости [pic], то касательные к первому и второму
эллипсу в точке X являются пересечениями [pic] с плоскостями [pic] и [pic]
соответственно. Но [pic]. Значит касательные к [pic] и [pic] в точке X
параллельны AC и BD соответственно, а образующие цилиндров S и T,
проходящие через X, параллельны осям цилиндров S и T. BD и AC - биссектрисы
угла между осями цилиндров. Значит, касательные к эллипсам в точке X -
биссектрисы угла между образующими цилиндров, проходящими через X.
Аналогично для Y. Теорема 2 доказана.

Прежде чем доказывать теорему 2, сформулируем теорему, доказанную в
2007 году Ф. Ниловым.
Пусть две параболы пересекаются в четырех точках. В образованный ими
криволинейный четырехугольник можно вписать окружность тогда и только
тогда, когда его диагонали перпендикулярны.
[pic]

Доказательство теоремы 2. Обозначим вершины S и T через A и B
соответственно. Оси конусов S и T лежат в биссекторе угла между [pic] и
[pic] и не параллельны. Значит, они пересекаются. Обозначим через O их
пересечение. Сфера с центром в O и касающаяся [pic] и [pic] вписана в оба
цилиндра. Обозначим эту сферу через ?. Пусть она касается [pic] и [pic] в
точках C и D соответственно. Применим проективное преобразование,
переводящее прямую AB в бесконечно-удаленную, а сферу ? - в сферу. Такое
преобразование существует, т.к. прямая AB не пересекает ?. При этом
преобразовании S и T перейдут в цилиндры. По теореме 1, эти цилиндры
пересекаются по объединению двух эллипсов, а также, касательные к этим
эллипсам в их общей точке X - биссектрисы угла между образующими
цилиндров, проходящими через X. Значит, конусы пересекаются по объединению
двух коник, а также, двойное отношение касательных к этим коникам в их
общей точке X и образующих коник, проходящих через X равно -1, т.к. двойное
отношение сохраняется при проективном преобразовании. Обозначим плоскости
этих коник через [pic] и [pic], а коники через [pic] и [pic] так, что
[pic], а [pic]. [pic] и [pic] касаются плоскостей [pic] и [pic] в точках C
и D и находятся в том же угле между [pic] и [pic], что и конусы. Рассмотрим
плоскость [pic], параллельную [pic] и пересекающую отрезок CD. Существуют
точки E, F, G и H такие, что [pic] и [pic]. Точки C, D, E и F находятся на
одной компоненте связанности [pic], причем идут в следующем порядке: C, E,
D, F. Поэтому отрезки CD и EF пересекаются. Аналогично, отрезки CD и GH
пересекаются. Но прямые CD, EF и GH пересекаются в точке пересечения
плоскостей [pic], [pic] и [pic]. Поэтому отрезки EF и GH пересекаются.
Сечениями конусов S и T плоскостью [pic] будут две параболы, которые
касаются в двух точках сечения сферы ? плоскостью [pic]. Тогда, по
теореме Нилова [pic], диагонали EF и GH параболического четырехугольника
EGFH перпендикулярны. Касательная к [pic] в точке C - это пересечение
плоскостей [pic] и [pic]. А к [pic] - пересечение плоскостей [pic] и [pic].
Но [pic] параллельно [pic], поэтому касательные к коникам в точке C
параллельны EF и GH соответственно, т.е. перпендикулярны между собой.
Двойное отношение касательных к [pic] и [pic] в C и образующих коник,
проходящих через C равно -1, но касательные к [pic] и [pic] C
перпендикулярны, значит, они являются биссектрисами угла между образующими
конусов S и T в точке C. Аналогично для точки D. Теорема 1 доказана. [pic]

Литература.

1. Ф.Нилов. Параболические многоугольники.
http://arxiv.org/abs/0803.0072v1.