| | |
| 2003
Весенний семестрЛекция 15 февраля
Лектор: Мощевитин Н.Г.
Тема: Теорема Минковского о выпуклом теле, диофантовы приближения и возвращаемость
Теорема Минковского о выпуклом теле гласит:
всякое выпуклое симметричное относительно начала
координат подмножество плоскости, площадь которого больше 4,
содержит хотя бы одну точку с целыми координатами, отличную от
начала координат. Эта одна из основополагающих теорем
геометрии чисел имеет много применений в теории
диофантовых приближений — науке о том, как действительные
числа приближаются рациональными. Будет доказан один
несложный результат из этой теории — теорема Дирихле о
приближении. Будет рассказано, почему эта теорема
является простейшей формой теоремы Анри Пуанкаре о
возвращаемости траекторий. Будет разъяснён парадокс Цермело:
газ, выпущенный в комнате из бутылки, обязательно через
некоторое время вернётся обратно в эту бутылку.
Наверх Лекция 22 февраля
Лектор: Мякишев А.Г.
Тема: Точка пересечения медиан треугольника
Будут рассмотрены некоторые свойства точки пересечения медиан
треугольника: как классические, так и недавно обнаруженные.
- Точка пересечения медиан (центроид) — это центр тяжести треугольника.
(Другими словами, сумма векторов, соединяющих точку пересечения
медиан с вершинами треугольника, равна нулевому вектору.)
- Сумма квадратов расстояний от этой точки минимизирует сумму
квадратов расстояний до вершин треугольника, а точка
Лемуана (точка, изогонально
сопряжённая точке пересечения медиан, то есть точка пересечения
прямых, симметричных медианам относительно соответствующих
биссектрисс треугольника) минимизирует сумму квадратов
расстояний до сторон.
- Две замечательные прямые, содержащие центроид:
прямая Эйлера (прямая, проходящая
через центр описанной окружности, точку пересечения высот и
центр окружности девяти точек) и прямая, проходящая через центр
вписанной окружности и точку Нагеля
(точка пересечения прямых, соединяющих точки касания
вневписанных окружностей треугольника с противоположными им
вершинами треугольника).
- Если на сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты
соответственно точки C', A' и B' так, что отрезки AA',
BB' и CC' пересекаются в одной точке, то сумма векторов
AA'+BB'+CC' равна нулевому вектору тогда и
только тогда, когда A', B' и C' — середины сторон
треугольника. (Доказательство использует теорему Чевы и
теорему Паппа о центрах тяжести: пусть на сторонах (или их продолжениях)
треугольника АВС взяты такие точки А', В' и С'
соответственно, что АС':ВС'=ВА':СА'=СВ':АВ', тогда
центры тяжести треугольников АВС и А'В'С' совпадают.
Верно и обратное.)
- Центры окружностей, описанных около шести треугольников, на
которые медианы разбивают данный треугольник, лежат на одной
окружности — окружности Ламойена (Floor van Lamoen).
Рассмотреть центры этих шести окружностей придумал в 1998 году
Кимберлинг (C. Kimberling), а существование окружности доказал
Ламойен в 2002 году.
- Если точка P пересечения чевиан AA', BB' и CC'
треугольника ABC не является ни его центром тяжести, ни
ортоцентром, то центры окружностей, описанных около шести
треугольников AB'P, PB'C, CPA', A'PB, BPC' и C'PA,
на которые чевианы разбивают данный треугольник, не лежат
на одной окружности. Последнее утверждение было доказано
лектором в 2002 году. Журнал "Mathematical
Monthly" сообщил в 2002 году, что редакция тоже располагает
доказательством обратного утверждения, предложенным Питером Ву
(Peter Woo, доказательство ещё не опубликовано).
Наверх Лекция 1 марта
Лектор: Галкина Т.А.
Тема: Видимое движение звёзд и Солнца
В настоящее время астрономические знания не являются
столь необходимыми для человека, как много веков назад: чтобы
ориентироваться в пространстве и во времени, нам ни к чему
длительные наблюдения за светилами, достаточно посмотреть на
часы, календарь, географическую карту или даже
спросить о своём местоположении у спутника Земли.
Тем не менее, мы не можем не замечать Солнце, Луну или звёздное
небо. Хотелось бы, чтобы каждый образованный человек не только
наблюдал ежедневно происходящие у нас "над головой"
явления, но и понимал их причины. Вы узнаете ответы на
следующие вопросы.
- Как ориентироваться по звёздному небу?
- Почему звезды восходят и заходят?
- Каков вид звёздного неба на разных географических широтах,
в разное время года, на разных планетах?
- Всегда ли Полярная звезда была и будет полярной?
(Прецессия земной оси.)
- Почему происходит смена сезонов года, как меняются
сезоны на других планетах?
- Почему Солнце движется не так, как все звезды?
- Что такое пояс зодиака, в чем отличие "зодиакальных
созвездий" от "знаков зодиака"?
Наверх Лекция 15 марта
Лектор: Латышев В.Н
Тема: Системы нелинейных алгебраических уравнений
Карл Фридрих Гаусс считал математику царицей всех наук; развитие
науки подтверждает это высказывание. Царицей математики Гаусс
называл арифметику. Многие склонны рассматривать
математику как "науку об уравнениях". Есть основания и
для такой точки зрения.
Левые части уравнений могут быть весьма сложными функциями.
Но в эффективных вычислениях чаще всего левые части — полиномы
(многочлены) от нескольких неизвестных. Такие уравнения
называют алгебраическими.
В школьном курсе изучают системы линейных уравнений от двух
и трёх переменных. Их решают методом Гаусса исключения неизвестных.
Для решения системы алгебраических уравнений от одной
переменной необходимо найти наибольший общий делитель левых
частей уравнений и найти его корни. Наибольший общий делитель
ищут при помощи алгоритма Евклида.
На первый взгляд алгоритм Евклида и метод Гаусса имеют различную природу.
На лекции будет изложен современный метод решения систем
нелинейных алгебраических уравнений, основанный на базисе
Грёбнера полиномиального идеала. Алгоритм Евклида и метод
Гаусса — частные случаи метода Грёбнера.
Наверх Лекция 29 марта
Лектор: Смирнов С.Г.
Тема: Прогулки по замкнутым поверхностям
Изучение замкнутых поверхностей началось в XVIII веке с теоремы Эйлера:
В-Р+Г=2 для всякого выпуклого многогранника, где В,
Р и Г — количества вершин, рёбер и граней
соответственно. Для невыпуклой многогранной поверхности
эйлерова характеристика В-Р+Г может принимать совсем другие
значения. Таким образом, получаем топологический инвариант,
который позволяет доказать, например, что тор не гомеоморфен
кренделю. Но различить таким образом тор и бутылку Клейна не
удаётся. Различить их позволяет то, что тор ориентируем, а
бутылка Клейна — нет. В конце XIX века Пуанкаре
раскласифицировал замкнутые поверхностей. Одновременно Хивуд
связал эйлерову характеристику (В-Р+Г) с наименьшим числом
цветов, необходимых для раскраски любой карты на данной
поверхности (кроме сферы, и это привело к знаменитой задаче
четырёх красок). В XX веке топологи стали изучать поверхности и
с некоторых других точек зрения: какие являются
границами неких тел, а какие нет; какие можно расположить в
пространстве без самопересечений, а какие непременно
самопересекаются.
Наверх Лекция 5 апреля
Лектор: Сергеев И.Н.
Тема: Избранные задачи олимпиад мехмата
Одиннадцатый год подряд мехмат проводит математическую олимпиаду
для 8—10 классов. Участвуют в олимпиаде не только москвичи, но
и ребята из Подмосковья — все, кто может и хочет приехать в МГУ.
Задачи олимпиад красивы и поучительны. По своему стилю они
несколько отличаются от задач московской городской олимпиады:
чуть более близки к школьной программе. Вот примеры
задач, которые будут рассмотрены на лекции.
Две плоскости делят поверхность куба на четыре части одинаковой
площади. Докажите, что куб они делят на четыре части
одинакового объёма.
Прямая, заданная уравнением y=kx+b, пересекает гиперболу
xy=1 в точках A и B, а прямая, заданная уравнением
x=ky+c, пересекает эту гиперболу в точках C и D. Докажите, что
точки A, B, C и D лежат на одной окружности.
Докажите, что если m и n — целые числа, а число
m^2+mn+9n^2 делится на 35^2, то каждое из чисел m и n
делится на 35.
Наверх Лекция 12 апреля
Лектор: Шарыгин И.Ф.
Тема: Геометрические этюды
На лекции будут рассмотрены некоторые классические
теоремы и факты из планиметрии, например, теорема Морлея (точки
пересечения триссектрис углов треугольника являются вершинами
правильного треугольника) и теорема Фейербаха (вписанная окружность
касается окружности девяти точек, проходящей через середины сторон
треугольника, основания высот и середины отрезков, соединяющих точку
пересечения высот с вершинами). Будут предложены
простые и малоизвестные доказательства, обходящиеся без вычислений.
Будут обсуждены вариации и обобщения теоремы Бретшнейдера
(для любого четырёхугольника $ABCD$ выполнено соотношение
AC2BD2=
AB2CD2+BC2DA2-
2AB BC CD DA cos(ABC+CDA)), теоремы Крелля (если
a и b, c и d, e и
f — длины противоположных рёбер тетраэдра, то площадь
треугольниками со сторонами, численно равными ab, cd, ef, равна
6VR, где V — объём исходного тетраэдра, R — радиус его
описанной сферы), формулы Эйлера для площади педального треугольника
(вершины педального треугольника~— основания перпендикуляров,
опущенных из некоторой точки X на стороны данного треугольника ABC),
а также тот факт, что множество точек X, для которых
площадь педального треугольника равна фиксированному числу,—
одна или две окружности, концентрические описанной окружности
треугольника ABC.
Наверх Лекция 19 апреля
Лектор: Разумовская И.В.
Тема: Тепловое движение в твёрдых телах и жидкостях
Энергия связи между частицами в конденсированных системах —
твёрдых телах и жидкостях — велика по сравнению со средней
энергией теплового движения. Поэтому возбуждения разной природы
носят коллективной характер, распространяются по всему телу:
достаточно одной частице сдвинуться из положения равновесия —
и сдвигаются соседние частицы, по телу бежит упругая волна.
Проще всего рассмотреть тепловое движение в кристаллах —
твёрдых телах с дальним порядком в расположении частиц. Тепловое
движение в кристалле принципиально отличается от теплового
движения в газе и представляет собой набор огромного числа
упругих (продолных и поперечных) волн. Обычно можно считать, что
действующая на каждую частицу сила прямо пропорциональна
смещениям частиц из положения равновесия. Такое приближение
называют гармоническим, и оно соответствует гармоническим
колебаниям, распространяющимся по всему кристаллу и не
взаимодействующим между собой. При этом каждая частица
колеблется под влиянием всех колебаний сразу — "пляшет",
как поплавок на воде. Длины волн колебаний меняются в
широких пределах — от нескольких межатомных расстояний до
величины, близкой к размеру всего кристалла; соответственно и
частота колебаний меняется от частот порядка 1013 до
небольших. За счёт случайного распределения кинетической
энергии частиц они получают иногда возможность преодолеть
потенциальный барьер и перескочить в иное положение равновесие;
так происходит процесс самодиффузии.
Если рассмотреть какую-то плоскость в кристалле, в которой
частицы расположены периодически, то положения равновесия
соответствуют минимумам потенциальной энергии. Откладывая
координаты частиц по осям абсцисс и ординат, а потенциальную
энергию — по оси аппликат, мы получим потенциальный рельеф с
долинами, вершинами и перевалами сложной конфигурации. Движение
частицы напоминает движение точки, катящейся по этому
"горному рельефу".
Теория теплового движение помогает объяснять многие свойства
конденсированных систем: зависимость электропроводности металлов
от температуры, теплопроводность диэлектриков, тепловое
расширение.
Наконец, описание теплового движения частиц можно проводить,
привлекая представления о фононах — квантах тепловых колебаний
твёрдого тела.
Наверх Лекция 26 апреля
Лектор: Сперантов В.В.
Тема: Интерференция
Можно ли свет погасить светом? Оказывается, в некоторой
точке — можно, но при этом в другом месте обязательно
произойдёт усиление света. Во всех случаях, когда при встрече
двух волн в некоторых точках происходит усиление или ослабление
колебания, говорят об интерференции волн.
Интерферируют волны любой природы: волны на воде, звуковые
волны, волны на скрипичной струне, радиоволны, видимый свет,
рентгеновские и гамма-излучения.
Изучая законы интерференции, физики получили законы
распространения волн и научились с помощью волн передавать
информацию.
Наблюдение за интерференцией привело к созданию современных
телескопов, способных исследовать излучение удалённых звёзд и
галактик, и микроскопов, измеряющих длины с точностью до одной
миллионной доли метра, а также изучать структуры кристаллов и
получать спектральные "портреты" атомов.
Наверх Лекция 17 мая
Лектор: Жан-Кристофф Новелли, Флоран Ивер
Тема: Математика жонглирования
Для изучения жонглирования будут построены конечные автоматы
(знание теории автоматов не предполагается, нужные понятия
будут разъяснены на лекции). Будет получена формула для
количества возможных фигур жонглирования. Слушателю полезно (но
не обязательно) знакомство с перестановками и биномиальными
коэффициентами. Мы приглашаем на эту лекцию не
только школьников 9—11 классов, но и многих других:
лекция будет сопровождена жонглированием с пятью предметами,
поясняющим теоретические изыскания.
Переводить на русский язык и комментировать будет
профессор Алексей Брониславович Сосинский.
Наверх |
