| | |
| 2002
Осенний семестрЛекция 5 октября
Лектор: Дьяченко А.И.
Тема: Магнитные полюсы Земли
Данная лекция бедет адресована школьникам 7—8 классов.
Географические полюса нашей планеты располагаются в Арктике
и Антарктиде, и глобус продырявлен в этих полюсах металлической
осью. А куда мы в конце концов придём, если будем по компасу
точно на север? На северный географический полюс? Нет,
магнитный северный полюс не совпадает с географическим.
И в разные годы стрелка компаса приведёт нас в разные места:
магнитные полюсы, в отличие от географических, не стоят на месте!
Будет рассказано о магнитном поле Земли, об истории изучения
магнитных полюсов, а также об истории перемещения полюсов
и нынешнем их движении.
Лекция 5 октября
Лектор: Долбилин Н.П.
Тема: "Игра " хаос" и фракталы"
Место проведения: Главное здание МГУ, аудитория 16-24.
Время проведения:18:00
Данная лекция бедет адресована школьникам 9—11 классов.
Хотя первые " фрактальные" объекты (например, кривая Пеано, заметающая
весь квадрат, или совершенное канторово множество) появились в математике
ещё в XIX веке, понятия " фрактал", " хаос", " множества Жюлиа"
и " множество Мандельброта" привлекли к себе внимание широкой публики
лишь в последние 10—20 лет. Это произошло благодаря тому, что была создана
коллекция совершенно необычных прелестных образов. За их внешней
привлекательностью стоит очень красивая математика. Будет рассказано:
- об игре " хаос", с помощью которой можно рисовать на экране
компьютера изящные фракталы;
- о численности популяции и теореме Шарковского;
- о множествах Жюлиа и множестве Мандельброта (для понимания этой
части лекции нужно знать, что такое комплексные числа).
После лекции будет показан видеофильм о множествах Жюлиа
и Мандельброта.
Заинтересовавшиеся слушатели могут подробнее ознакомиться
с фракталами по статье А. В. Жукова " Фракталы" в энциклопедии
" Аванта+", статьям Н. П. Долбилина
" Игра " хаос" и фракталы" (" Квант", 4, 1997)
и " Самоподобные мозаики" (" Квант", 2,
1998), а также по книгам Х.-О. Пайтген,
П. Х. Рихтер " Красота фракталов. Образы комплексных
динамических систем" (" Мир", 1993), Р. М. Кроновер
" Фракталы и хаос в динамических системах" ("
Постмаркет", 2000), Б. Мандельброт " Фрактальная
геометрия природы" (Московский институт компьютерных
исследований, 2002).
Наверх Лекция 12 октября
Лектор: Кушниренко А.Г.
Тема: Индуктивные функции на пространстве последовательностей, однопроходные алгоритмы и параллельные вычисления
Функцию на пространстве конечных числовых последовательностей называют
индуктивной, если значение функции на последовательности
длины K+1 можно вычислить, зная значение функции на из первых K числах
и последнее число. Например, функция " сумма элементов
последовательности" является индуктивной: чтобы получить сумму
последовательности из K+1 числа, нужно к сумме первых K чисел
прибавить последнее.
Любую индуктивную функцию можно вычислить за " один проход",
перебирая элементы последовательности от начала к концу один раз. Для
функции " сумма элементов последовательности" это делается так:
" сумма" первого элемента последовательности равна ему самому,
сумма первых двух — первому плюс второй,
сумма первых трёх — ранее вычисленной сумме первых двух элементов
плюс третий элемент и т. д.
Функция " число элементов, равных нулю" является индуктивной, а функция
" число элементов, равных максимальному элементу" — нет. Последнюю
функцию можно вычислить за два прохода: на первом мы находим максимальное
число $M$, а на втором подсчитываем число элементов, равных $M$.
Если элементы последовательности записаны на магнитной ленте или
магнитном диске, то при вычислении значения функции основное время
тратится на перебор элементов и предпочтительнее вычислять
значение функции за один проход.
В первой части лекции будет рассказано о " минимальном индуктивном
расширении заданной функции" — наиболее экономном способе вычислить
значение любой функции за один проход. Такой способ всегда существует
и почти единственен.
Если мы интересуемся не минимизацией работы по вычислению некоторого одного
значения функции, а минимизацией времени этого вычисления, то можно
попробовать " распараллелить работу". Например, если человек складывает
или умножает два числа за 10 секунд, то на сложение 2000 чисел он потратит
более пяти с половиной часов, а на вычисление значения многочлена
степени 1000 — более 11 часов. Тысяча человек смогли бы провести подобные
вычисления гораздо быстрее. (Подумайте, как 1000 человек могли бы
организовать работу по быстрому вычислению суммы 2000 чисел.) Во второй
части лекции будет рассказано, как 1000 человек могли бы быстро вычислить
значение многочлена степени 2000. В заключение будет обсуждена задача
быстрого параллельного сложения " в столбик" многозначных двоичных
чисел.
Наверх Лекция 19 октября
Лектор: Данилов Ю.А.
Тема: Маятник
Теория математического и физического маятников была построена
Христианом Гюйгенсом (1629—1695) и Галилео Галилеем
(1564—1642) на основе закона сохранения энергии и использования
связи между движениям тел по наклонной плоскости и колебаниями
маятника. Собственно говоря, закон сохранения энергии был
выведен Гюйгенсом при анализе колебаний маятника. Исследования
Гюйгенса намного переросло изучение частной механической
системы, какой является маятник.
Маятниковые часы Христиана Гюйгенса. Решение им проблемы
изохронных колебаний маятника: создание часов с равномерным
ходом.
Маятник служит для точного измерения ускорения свободного
падения g. Гравиметрическая разведка и обратная задача теории
потенциала: определение контуров скрытого под землёй рудного
тела по измерениям g.
Проверка пропорциональности инертной и тяжёлой
масс Бесселем (1784—1846) с помощью маятника. Равенство
инерциальной и тяжёлой масс как постулат общей теории
относительности Эйнштейна (1879—1955).
Гармонические колебания в механических системах и электрических
контурах с ёмкостью и индуктивностью.
Наверх Лекция 26 октября
Лектор: Спивак А.В.
Тема: Цепи и антицепи
Из любых ли пяти выписанных в ряд различных чисел можно
выбрать три, стоящие в этом ряду в порядке убывания или в
порядке возрастания? А из девяти — четыре?
Можно ли разместить на прямой 7 отрезков так, чтобы из любых
трёх некоторые два пересекались и не было бы ни одной
точки, принадлежащей сразу четырём отрезкам?
Сколь много подмножеств данного n-элементных множеств можно
выбрать так, чтобы любые два из них пересекались?
Король пригласил на пир всех знакомых людоедов. Среди
них есть людоеды, которые хотят съесть других людоедов. (Если
людоед A хочет съесть людоеда B, то это не значит, что
людоед B хочет съесть людоеда A.) Известно, что
наидлиннейшая цепочка, в которой каждый людоед хочет съесть
следующего, состоит из шести людоедов. Сможет ли король так
рассадить людоедов за шесть столов, чтобы ни за каким столом
никто не хотел съесть никого из сидящих за тем же столом?
С таких задач начнётся рассказ о частично упорядоченных
множествах. Затем будет доказана теорема Дилуорса
(если наибольшее количество элементов антицепи конечного
частично упорядоченного множества равно n, то его можно
разбить на n цепей), рассказан алгоритм Форда-Фалкерсона
поиска максимального потока в транспортной сети, доказаны
теорема о деревенской свадьбе и теорема о максимальном потоке и
минимальном разрезе, а также теорема Холла о различных
представителях.
Наверх Лекция 2 ноября
Лектор: Мищенко А.С.
Тема: Математика и генетика
Революция в молекулярной биологии, связанная с развитием методов
чтения ДНК, привела к пониманию того факта, что генетика
не может обойтись без математического анализа
последовательностей нуклеиновых кислот и белков.
(Для прочтения, расшифровки и предсказания их функций, в
частности, для расшифровки генома человека.) Возникла новая
дисциплина — компьютерная генетика.
Ещё в 1989 году один из разработчиков математических методов
генетики М.С. Уотермен писал, что одной из нерешённых проблем
является создание программного обеспечения: ведь для
биолога важно работать с данными на привычном языке.
До тех пор, пока это не сделано, пользователи
вынуждены писать громоздкие промежуточные процедуры, связывающие
программы анализа и базы данных. Объём генетической информации
катастрофически возрастает, а хорошее программное обеспечение ещё
не создано. Тем не менее, в ближайшем будущем ожидается
создание единой международной базы генетических данных и системы
их обработки.
В лекции на различных примерах будет рассказано, какие типичные
математические задачи возникают при исследовании генетической
информации.
Наверх Лекция 16 ноября
Лектор: Калинин Д.А.
Тема: Три доказательства теоремы Фейербаха
Доказанная в 1822 году теорема Карла Вильгельма Фейербаха
(1800—1834) утверждает, что окружность девяти
точек (окружность, проходящая через середины сторон,
основания высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с
вершинами) касается вписанной окружности треугольника и трёх его
вневписанных окружностей. Эта теорема — один из самых красивых
фактов элементарной геометрии. На лекции будет рассказано о трёх
разных подходах к доказательству этой теоремы:
- как частный случай обобщения теоремы Птолемея;
- как частный случай " леммы о сегменте";
- доказательство с помощью инверсии.
Для понимания лекции полезно знать теорему Эйлера
об окружности девяти точек, теорему Птолемея (сумма
произведений противоположных сторон четырёхугольника
равна произведению его диагоналей тогда и только тогда, когда
этот четырёхугольник вписан в окружность), а также
определение и круговое свойство инверсии (окружность,
проходящая через центр инверсии, переходит в прямую, а не
проходящая — в окружность).
Наверх Лекция 23 ноября
Лектор: Гордин Р.К.
Тема: Некоторые задачи планиметрии
Будет рассказано о некоторых методах решения
планиметрических задач: вспомогательные построения, площади,
вспомогательная окружность, геометрические места точек, подсчёт
углов, геометрические преобразования.
В качестве примеров будут рассмотрены красивые (и не обязательно
трудные) задачи, в разное время предлагавшиеся на математических
олимпиадах, а также такие классические задачи, как задача
Архимеда о вписанной в сегмент ломаной, задача Ферма о точке,
сумма расстояний от которой до вершин треугольника минимальна,
задача Фаньяно о треугольнике наименьшего периметра, вписанном в
данный треугольник.
Наверх Лекция 30 ноября
Лектор: Гусейн-Заде С.М.
Тема: Разборчивая невеста
Примерно 40 лет тому назад М. Гарднер придумал такую задачу:
" В некотором царстве, в некотором государстве пришло время
принцессе выбирать себе жениха. В назначенный день явились 1000
царевичей и королевичей. Их построили в очередь в случайном
порядке и стали по одному приглашать к принцессе. Про любых
двух претендентов принцесса, познакомившись с ними, может
сказать, какой из них лучше. Познакомившись с претендентом,
принцесса может либо принять предложение (и тогда выбор сделан
навсегда), либо отвергнуть его (и тогда претендент потерян:
царевичи и королевичи гордые и не возвращаются). Какой
стратегии должна придерживаться принцесса, чтобы с наибольшей
вероятностью выбрать лучшего?"
В 1965 году её формулировку и решение рассказал на своём
семинаре Е.Б. Дынкин. Но его метод был необобщаем на другие
варианты задачи: например, когда целью является выбор не
наилучшего, а одного из трёх лучших. В таком виде задача была
решена лектором при помощи метода, который легко переносится и
на ряд близких задач.
Так из полушуточной задачи вырос новый раздел математики —
теория оптимальной остановки случайных процессов.
Наверх Лекция 7 декабря
Лектор: Райгородский А.М.
Тема: Хроматические числа
В сороковые годы XX века известными математиками П. Эрдёшом и
Г. Хадвигером была поставлена одна из самых коротко
формулируемых и в то же время одна из самых ярких и трудных
задач комбинаторной геометрии — задача о нахождении
хроматического числа H(Rn) евклидова пространства $\R^n$,
то есть минимального числа цветов, в которые можно так
раскрасить точки пространства, чтобы точки, отстоящие друг от
друга на расстояние 1, оказались раскрашенными в разные цвета.
Эта задача до сих пор не решена даже для n=2, то есть для
евклидовой плоскости, хотя простотой и естественностью своей
постановки она сразу привлекла внимание всех математиков.
К настоящему времени разработано много интересных и остроумных
подходов к её — пока частичному — решению.
Кроме доказательств и формулировок многих теорем, на лекции
будет рассказана история проблемы и некоторые нерешённые
задачи, которые в будущем могли бы стать для кого-то из
слушателей темами для исследований.
Наверх Лекция 14 декабря
Лектор: Арнольд В.И.
Тема: Динамическая система Ферма-Эйлера и статистика случайных точек на окружности
Динамическая система Ферма действует на множестве вычетов по
модулю n как умножение на постоянную, взаимно простую с
модулем (например, на 2 для нечётного n).
Эйлер предложил ограничить эту динамику на множество
вычетов, взаимно простых с n, и это позволило ему обобщить
малую теорему Ферма (утверждающую, что an-1= p mod n
для любого простого n и любого не делящегося
на n целого a).
Удивительным свойством динамики Ферма-Эйлера является
равенство периодов всех циклов этой динамической системы,
являющейся перестановкой, диаграмма Юнга которой — всегда прямоугольник.
Будет рассказано об удивительных свойствах этих прямоугольников,
функции T(n), выражающей период динамики Ферма-Эйлера, и
площади S(n) этого прямоугольника (которая растёт, как
заметил Гаусс, в среднем как cn, где постоянная
c=6/pi2=1/Z(2) есть вероятность взаимной
простоты случайно взятых целых чисел, pi — отношение длины
окружности к её диаметру (pi ~ 3,1415), а Z(x) —
функция Римана).
В основном эти свойства открыты экспериментально, но некоторые
из них уже доказаны (хотя недоказанных больше). Вот
"физический" смысл некоторых из этих свойств.
Случайно выбранные T элементов m-элементного множества как
правило различны, если T>b\√m, и как правило не все
различны, если T>b√m ("задаче о днях рождения T
человек" соответствует m=365).
Если бы случайной была орбита из T вычетов динамики
Ферма-Эйлера, то рос бы период как квадратный корень из n.
Наблюдаемый линейный рост периода означает неслучайность,
проявляющуюся в расталкиваниии элементов орбиты, не желающих
иметь близких соседей в своей геометрической прогрессии вычетов.
Подобное расталкивание (измеряемое мерой хаотичности,
характеризующей средние расстояния между соседними элементами)
наблюдается не только для геометрических прогрессий, но и для
распределения простых чисел (также выглядящего хаотическим, как
и распределение вычетов геометрической прогрессии), и даже для
распределения вычетов многих арифметических прогрессий.
Из недоказанных гипотез, рядом с которыми проходит это
исследование, упомяну бесконечность множества простых чисел q,
для которых 2q+1 тоже простое. (Как, просты, например, 3 и 7,
5 и 11, 23 и 47.)
Наверх Лекция 21 декабря
Лектор: Кохась К.П.
Тема: Ладейные числа и многочлены
Для произвольной клетчатой фигуры ("доски") и натурального
числа k обозначим через rk количество способов
разместить на доске k не бьющих одна другую ладей.
Ладейный многочлен — это производящая функция последовательности
r0, r1, r2...,
то есть многочлен r0+r1x+
r2x2+...
На лекции будет рассказано о свойствах ладейных чисел и ладейных
многочленов, в частности, доказаны неравенства
18,480r12 < r92 и
rk-1rk+1 < rk2.
Будет доказано, что если степень ладейного многочлена равна n,
то у него
n вещественных неотрицательных корней. Будут рассмотрены
и другие
любопытные вопросы. Например, cуществуют ли
доски, на которые можно поставить 5 не бьющих одна другую ладей
ровно 2003 способами? Cуществуют ли две разные доски,
ладейные многочлены которых одинаковы?
Наверх |
