| | |
| 2001
Весенний семестрЛекция 10 февраля
Лектор: Данилов Ю.А.
Тема: Квазикристаллы
Это новый класс твердых тел, полученный при
поиске новых материалов в программе СОИ
(стратегическая оборонная инициатива США).
Экспериментаторам удалось попасть в очень узкую
"температурную щель" и получить материалы с
необычными новыми свойствами. Квазикристаллы обладают
парадоксальной с точки зрения классической
кристаллографии структурой, предсказанной из
теоретических соображений (мозаики Пенроуза).
Теория мозаик Пенроуза позволила отойти от привычных
представлений о федоровских кристаллографических
группах (основанных на периодических заполнениях
пространства).
Наверх Лекция 17 февраля
Лектор: Скворцов В.А.
Тема: Примеры метрических пространств
Математики часто рассматривают множества, между элементами
("точками") которых определено расстояние (метрика).
Такие множества называют метрическими пространствами, если выполнены
следующие аксиомы: расстояние d(x,y) между любыми точками
x и y неотрицательно, причем d (x;y) =0 тогда и только
тогда, когда x=y; метрика симметрична, то есть
d(x,y)=d(y,x); наконец, d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) для любых
трех точек x, y, z (неравенство треугольника).
Существует много разных способов определить расстояние
в разных множествах. Можно измерять расстояние между
кривыми, множествами, функциями,... Например, расстоянием
между двумя определенными на отрезке [0;1] непрерывными
функциями можно назвать максимум модуля разности этих функций
(впрочем, иногда удобнее рассматривать другие определения
расстояния). В теории кодов рассматривают метрику на множестве
слов и применяют ее для автоматического исправления ошибок при
передаче информации.
Многие метрические пространства разительно отличаются от
привычной евклидовской плоскости. Например, для любых точек x, y, z
может выполняться неравенство d(x,y)≤max(d(x,z), d(z,y)).
Такие пространства называют неархимедовыми. В
них все треугольники равнобедренные, а любая внутренняя точка
круга является его центром.
Пример неархимедовой метрики --- p-адическая метрика
d(x,y)=p-k, где p --- простое число, x≠ y ---
рациональные числа, k --- такое целое число, что
x-y=pk(m/n)
и целые числа m и n не делятся на p.
Числа тем ближе друг в смысле p-адической метрики,
чем на большую степень числа p делится их разность. Подобно
тому как снабженное обычной архимедовой метрикой множество
рациональных чисел Q можно пополнить до множества
вещественных чисел, его (Q) можно пополнить и по
p-адической метрике, получив поле p-адических чисел,
которое широко применяют в арифметике и алгебре.
Наверх Лекция 24 февраля
Лектор: Тихомиров В.М.
Тема: Экстремумы функций одной переменной
Есть много важных причин, которые побуждают людей исследовать
задачи на максимум и минимум (экстремальные задачи). Первые
задачи на экстремум были решены в античной древности Евклидом,
Архимедом и другими. В XVII веке выяснилось, что большинство
явлений природы могут быть объяснены с помощью
рассмотрений задач на экстремум.
В том же столетии появились первые общие приемы решения
таких задач. Будет рассказано об этих приемах и на их основе
будут решены некоторые задачи геометрии (Евклида, Кеплера,
Ферма), объяснены некоторые механические и оптические явления,
исследованы некоторые задачи, возникающие в технике.
Наверх Лекция 3 марта
Лектор: Голубев В.И.
Тема: Решение уравнений и неравенств
Будут продемонстрированы малоизвестные, очень эффективные и
доступные широкой аудитории школьников 9--11 классов приемы и
методы решения уравнений и неравенств (в том числе с
параметром). Овладение подобными приемами и методами
позволяет школьнику существенно экономить силы и время на
вступительных экзаменах и тем самым повысить свои шансы.
Наверх Лекция 10 марта
Лектор: Сабитов И.Х.
Тема: Объемы многогранников
С древних времен известна формула Герона
выражающая площадь треугольника S через
длины его сторон.
Лекция посвящена ее обобщению, позволяющему вычислять объем
многогранника по ребрам и диагоналям граней.
Отправной точкой послужит формула, выражающая объем
тетраэдра через длины его ребер. Эту формулу можно найти во всех
солидных справочниках по математике, но мало кто знает
ее историю. На лекции будет рассказано об авторах этой
формулы (Тарталья и Эйлере) и разобраны ее доказательства ---
как оригинальные, так и современные.
Будет введен класс многогранников,
объемы которых можно вычислять, опираясь только на формулу для
объема тетраэдра. В заключение будет сформулирована теорема,
обобщающая формулу объема тетраэдра на
любые многогранники и дающая, как простое следствие,
неизменность объема изгибаемого
многогранника. (Изгибанием называют такую
непрерывную деформацию многогранника, в ходе которой меняется
хотя бы один его двугранный угол, но грани
перемещаются как твердые пластинки, то есть без
какого-то бы ни было изменения их формы.)
Наверх Лекция 17 марта
Лектор: Карпов А.Н.
Тема: Канторово совершенное множество
Один из наиболее замечательных объектов, изучаемых в
математическом анализе --- канторово совершенное множество.
Оно получается выбрасыванием из отрезка [0;1]
бесконечного множества интервалов.
На первом этапе выбрасываем один интервал: (1/3;2/3).
Затем --- два интервала: (1/9;2/9) и (7/9;8/9).
Далее выбрасываем четыре интервала:
(1/27;2/27), (7/27;8/27), (19/27;20/27)
и (25/27;26/27).
Вообще, на каждом следующем этапе мы делим каждый отрезок,
из которых состоит к этому моменту множество, на три равные
части и выбрасываем средние из этих частей.
С помощью канторова множества удается строить удивительные
примеры. Один из них --- канторова лестница. Она является
непрерывной функцией, обладающей на первый взгляд
несовместимыми свойствами: эта функция непрерывна на отрезке
[0;1], постоянна почти во всех его точках, но
не является постоянной функцией.
Другим примером, который будет подробно разобран на лекции,
является следующая задача. Из пункта A в пункт B
одновременно выходят заяц и черепаха. Они движутся по прямой к
пункту B и никогда не стоят на месте (скорость в какой-то
точке может быть равна нулю, но время пребывания в такой точке
также должно быть нулевым). Может ли так быть, чтобы в каждой
точке пути скорость зайца в момент прохождения этой точки была
не меньше, чем скорость черепахи в момент прохождения этой
точки, но черепаха пришла в единицу раньше, чем заяц?
Ответ: такое возможно!
Наверх Лекция 24 марта
Лектор: Мусин О.Р.
Тема: Диаграммы Вороного и триангуляции Делоне
В последние десятилетия в научных и научно-популярных
статьях и книгах все чаще стали появляться имена двух замечательных
отечественных математиков --- Г.Ф. Вороного (1868--1908) и
Б.Н.Делоне (1890--1980). Вклад этих ученых в теорию чисел и
геометрию значителен и хорошо известен специалистам.
Но их имена стали особенно популярными не в среде "чистых"
математиков, а среди исследователей, использующих приложения
геометрии в самых различных областях науки и техники.
Будет рассказано, что такое диаграмма
Вороного и триангуляция Делоне, обсуждены их свойства
и приложения к вычислительной геометрии. Практически все
доказательства проводятся в рамках школьной геометрии. (Редкий
случай, когда можно получать серьезные результаты в современной
науке, используя только элементарную математику!)
Некоторые связанные с темой лекции задач (например, о пустых и
полных окружностях) появлялись на математических олимпиадах школьников.
Целый ряд теорем (о среднем радиусе, о гармоническом индексе, о
минимальной поверхности) был впервые доказан лектором и
опубликован в специальной литературе. Будут сформулированы
некоторые нерешенные математические проблемы. Возможно, кому-то
из слушателей когда-нибудь удастся их решить.
Наверх Лекция 31 марта
Лектор: Ширмин Г.И.
Тема: Динамическая астрономия
Динамическая астрономия --- это раздел астрономии, занимающийся
иссследованием движений небесных тел (поступательных,
вращательных). Из методов динамической астрономии, которые
позволяют определять орбиты небесных тел по даннным
астрономических наблюдений, возникла почти вся прикладная и
вычислительная математика.
Основные вопросы, которые будут обсуждены на лекции, таковы:
возникновение динамической астрономии,
астрометрия как наблюдательно-экспериментальная база динамической астрономии,
небесная механика как совокупность теоретических методов исследования движений небесных тел,
определение орбит, вычисление эфемерид,
прогнозирование движений небесных тел,
устойчивость солнечной системы, астероидная опасность,
проверка всемирности закона всемирного тяготения.
Наверх Лекция 14 апреля
Лектор: Конягин С.В.
Тема: Проверка простоты чисел и малая теорема Ферма
Задача определения того, является ли данное большое целое число
простым, всегда привлекала внимание математиков. Долгое время считалось,
что она имеет лишь теоретический интерес. Однако несколько
десятков лет назад стало ясно, что построение больших простых чисел важно
для защиты информации. В лекции будет рассказано:
- 1) как можно проверить, что большое число является составным,
не найдя при этом ни одного его собственного делителя;
- 2) как проверить, что большое число является простым, затратив не слишком много времени;
- 3) кому и зачем нужны большие простые числа?
Наверх Лекция 21 апреля
Лектор: Заславский А.А.
Тема: Теорема Понселе
Теорема Понселе --- одна из самых сложных и красивых теорем
элементарной геометрии. Она утверждает, что если некоторый
n-угольник вписан в окружность и описан около другой
окружности, то можно зафиксировать эти окружности и
"вращать" между ними многоугольник так, что его врешины лежать
на одной окружности, а стороны касаться меньшей (форма
многоугольника при этом может меняться и довольно существенно).
Оказывается, такой "вращающийся" многоугольник (его
естественно назвать многоугольноком Понселе)
обладает многими интересными свойствами: например, его центр
тяжести описывает окружность, а центр тяжести точек касания его
сторон со вписанной окружностью неподвижен.
А.А. Заславский расскажет о результатах, полученных им в
соавторстве с Г.Р. Челноковым. Некоторые из них можно
доказать элементарными средствами. Для доказательства других
приходится привлекать значительно более мощный и сложный аппарат
алгебраической геометрии.
Наверх Лекция 28 апреля
Лектор: Алексеев В.Б.
Тема: Теорема Абеля в задачах и решениях
В 1976 году издательство "Наука" выпустило книгу
В.Б. Алексеева "Теорема Абеля в задачах и решениях".
Книга рассказывает о группах перестановок,
комплексных числах, римановых поверхностях алгебраических
функций. Дан вывод формул Кардано для решения уравнений
третьей степени, формул Феррари для уравнений четвертой степени,
а также доказано, что уравнение пятой степени
неразрешимо в радикалах.
В 2001 году издательство МЦНМО переиздало эту книгу, являющуюся
одной из лучших популярных книг по математике, созданных в
XX веке. И хотя книга настолько содержательна, что трудно
рекомендовать эту книгу школьнику младше 10 класса, но любому,
кто собирается сколько-нибудь серьезно заняться математикой,
эта книга в высшей степени полезна.
Наверх |
