| | |
| 2000
Осенний семестрЛекция 7 октября
Лектор: Сосинский А.Б.
Тема: Узлы и косы
Узел можно представлять себе как тонкую запутанную веревку в
пространстве, концы которой соединены. Простейший ---
тривиальный --- узел вы видите на рисунке 1. На
рисунках 2 и 3 изображены нетривиальные узлы --- соответственно,
трилистник и восьмерка.
Развязать узел --- значит деформировать его, не разрывая, в
тривиальный узел. Например, узел рисунка 4 развязать можно, а
восьмерку или трилистник --- нельзя.
Косой из n нитей называют набор из n попарно непересекающихся
"восходящих" ломаных в пространстве, соединяющих точки
A1, ... ,An с точками
B1, ... ,Bn (в
произвольном порядке). Пример косы из трех нитей показан на
рисунке 5.
По материалам данной лекции написана брошюра.
Наверх Лекция 14 октября
Лектор: Богатый С.А.
Тема: Теорема Шарковского
Пусть f(x)=1-x. Тогда f(f(x))=1-(1-x)=x, причем
f(1/2)=1/2 и f(x)≠ x при x≠ 1/2. Точку 1/2 называют
неподвижной точкой отображения x→1-x (или точкой
периода 1), а все остальные точки --- точками периода 2.
Вообще, для функции f(x) можно рассмотреть ее итерации
f(f(x)), f(f(f(x))), f(f(f(f(x)))),... и спросить себя,
существуют ли числа x, для которых, например, f(f(f(x)))=x и
f(x)≠ x (точки периода 3). Теорема украинца
Шарковского (1964) утверждает, что если упорядочить натуральный
ряд некоторым специальным образом (как именно --- объяснено
ниже), то для любого натурального числа n, для любого
натурального числа m, расположенного в рассматриваемом
упорядочении правее, чем n, и для любого непрерывного
отображения f прямой в себя, обладающего точкой периода n,
отображение f будет обладать и точкой периода m.
Упорядочение натурального ряда, используемое в теореме
Шарковского, устроено так: сначала идут нечетные числа 3,5,7,9,...;
затем нечетные числа, умноженные на два: 6, 10, 14, 18, ...;
затем нечетные числа, умноженные на четыре: 12, 20, 28, 36, ...;
затем нечетные числа, умноженные на восемь: 24, 40, 56, 72, ...; ...; ..., наконец, степени двойки:
1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.
Доказательство теоремы опирается на
теорему о среднем значении непрерывной функции и состоит в
поиске замкнутых путей в ориентированном графе.
Наверх Лекция 21 октября
Лектор: Шень А.Х.
Тема: Математическая индукция
Индукция --- метод доказательства, при котором
мы доказываем по очереди утверждения некоторой
цепочки, начиная с некоторого первого (базы индукции)
и используя для доказательства следующего утверждения
уже доказанные к этому моменту утверждения (индукционный переход).
Лекция начнется с примеров использования индукции для
решения некоторых задач. Затем мы обсудим принцип
индукции и его связь с принципом наименьшего числа
(который состоит в том, что всякое непустое множество
натуральных чисел имеет наименьший элемент). В
заключение мы рассмотрим понятие вполне упорядоченного
множества, которое позволяет обобщить принцип индукции.
Наверх Лекция 28 октября
Лектор: Винберг Э.Б.
Тема: Симметрия многочленов
Как плоские фигуры или пространственные тела, многочлены могут
быть симметричны. Тип симметрии какого-либо объекта определяется
набором (группой) преобразований, которые его сохраняют.
Например, так называемые симметрические многочлены --- это
многочлены, не меняющиеся ни при какой перестановке
переменных. Всякий симметрический многочлен от двух переменных
x, y можно представить в виде многочлена от x+y и xy, а
всякий симметрический многочлен от трех переменных x, y,
z --- в виде многочлена от x+y+z, xy+yz+zx и xyz.
Многочлен x2+y2+z2 не меняется не только при
перестановках переменных, но и при любых вращениях пространства.
Можно доказать, что всякий многочлен с такой симметрией
представим в виде многочлена от x2+y2+z2.
В лекции будет рассказано о том, как описывать многочлены с
данным типом симметрии, какие проблемы здесь возникают (например,
14-я проблема Гильберта) и для чего это нужно.
По материалам данной лекции написана брошюра.
Наверх Лекция 4 ноября
Лектор: Гусейн-Заде С.М.
Тема: Можно ли причесать ежа?
Можно ли сдвинуть блин на сковородке так, чтобы никакая его
точка не осталась на месте? Почему нельзя причесать ежа?
На эти и на многие другие вопросы можно ответить, пользуясь
индексом вращения --- одним из важных понятий топологии.
Любую определенную на отрезке непрерывную функцию
можно непрерывно продеформировать в любую другую
(определенную на том же отрезке) непрерывную функцию.
Оказывается, если множество аргументов и множество
значений отображения --- окружности, то аналогичное
утверждение не имеет места. Более того, непрерывному отображению
окружности в окружность можно сопоставить целое число --- индекс
вращения. Если индексы вращения двух отображений различны, то
отображения негомотопны, т.е. их нельзя продеформировать одно
в другое. Если же индексы равны, то можно. Индексу вращения
и некоторым его приложениям посвящена эта лекция.
Наверх Лекция 11 ноября
Лектор: Сурдин В.Г.
Тема: Динамика звездных систем
Лекция будет состоять из двух частей. Первая посвящена
изучению звездных систем, состоящих из математических
(идеальных) звезд --- точек, взаимодействующих по законам
Ньютона и не меняющих свои массы.
Вторая часть посвящена физическим (реальным) звездам,
способным изменять форму, размер и массу.
Эта задача более сложна и требует современных
высокоскоростных компьютеров для изучения эволюции звездных
систем.
План лекции:
- I. Математические звезды: одна звезда и ее свита;
двойные и кратные звезды;
одна среди равных (звезда в галактике);
звездные скопления;
звездные ассоциации.
- II. Физические звезды:
звезда меняет массу (аккреция и звездный ветер);
звезды обмениваются массой (тесные двойные системы);
звезда меняет форму (приливные деформации);
звезда, окруженная диском;
звездный мир в компьютере.
По материалам данной лекции написана брошюра.
Наверх Лекция 18 ноября
Лектор: Смуров М.В.
Тема: Почему похожи теоремы о вписанном и описанном четырехугольниках?
Четырехугольник является вписанным (описанным) тогда и только
тогда, когда суммы величин (длин) его противоположных углов
(сторон) равны. Прояснить связь этих теорем евклидовой
геометрии поможет сферическая геометрия. Оказывается, хотя
сумма углов сферического четырехугольника больше 360°,
признак вписанности в окружность тот же самый: суммы
противоположных углов должны совпадать.
А теорема об описанном четырехугольнике в сферической геометрии
является прямым следствием теоремы о вписанном
четырехугольнике. Точнее, эти две теоремы двойственны. Что
означает последнее слово, вы узнаете на лекции. Будут приведены
и другие примеры двойственных утверждений.
Наверх Лекция 25 ноября
Лектор: Чубариков В.Н.
Тема: Простые числа
С простыми числами связаны многие теоремы и проблемы арифметики,
столетиями не поддающиеся решению. В последнее время большие
простые числа нашли неожиданные и разнообразные применения.
Будут даны некоторые критерии простоты чисел и доказан постулат
Бертрана. Предполагается упомянуть об асимптотическом законе
распределения простых чисел, о методе решета и проблеме
Гольдбаха.
Наверх Лекция 2 декабря
Лектор: Арнольд В.И.
Тема: Цепные дроби
Цепная дробь --- это выражение вида
Теория цепных дробей связана с
теорией приближения вещественных чисел рациональными числами, с
теорией динамических систем, а также со многими другими
разделами математики.
На лекции будет рассказано о связи цепных дробей
с геометрией выпуклых многоугольников. Из этой связи следует, например, что
цепная дробь периодична в тех и только тех случаях, когда выражаемое ею
число является корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами.
Будет рассказано также о том, насколько часто среди элементов a1, a2,
a3,... цепной дроби, выражающей произвольное вещественное чило,
встречается единица (двойка, тройка,...). Оказывается,
почти для всех вещественных чисел доля единиц больше доли двоек, которая
больше доли троек, и т.д.
По материалам данной лекции написана брошюра.
Наверх Лекция 9 декабря
Лектор: Михалев А.В.
Тема: Теория групп в математике
На лекции будет рассказано о возникновении понятия группы в
математике, об элементах теории групп и о применении теории
групп в алгебре, теории чисел, геометрии и естествознании.
Наверх Лекция 16 декабря
Лектор: Сабитов И.Х.
Тема: Суммы углов, площади и деформации замкнутых ломаных
Многоугольниками называют замкнутые ломаные без
самопересечений. Для многоугольников в школьном курсе геометрии
изучают такие характеристики, как сумма углов и площадь.
Будет рассказано, как определить суммы углов и площади
для замкнутых ломаных с произвольными самопересечениями, как их
вычислять и как они меняются при деформации ломаной.
Будет рассмотрен и ряд других задач геометрии замкнутых ломаных.
Наверх Лекция 23 декабря
Лектор: Зильберман А.Р.
Тема: Обращенная тепловая машина
Материал этой лекции будет понятен десятиклассникам и
одиннадцатиклассникам --- всем, кто хоть что-то знает про
принципы работы тепловых машин (а тем, кто ничего об этом не
знает, есть смысл немного подготовиться --- почитать учебник
Ландсберга или любой учебник по термодинамике для 10 класса).
Мы обсудим обратимые и необратимые процессы,
проводимые с разреженными газами, поговорим о циклических
процессах и об их использовании в тепловых машинах. Далее
разговор пойдет про "обращенный" цикл --- его часто
называют "холодильным". Мы разберемся с тем, как можно
затратить 100 Джоулей работы и получить при этом 1000 Джоулей
тепла, обсудим вопрос о том, может ли тепло перетекать от
холодного тела к горячему, постараемся понять, как этот сложный
вопрос решает холодильник, поговорим о теоремах Карно, выясним,
почему самый лучший на свете цикл Карно никто не применяет на
практике, а также обсудим многие другие вопросы.
Наверх |
