Conférence "Algorithmique et Arithmétique"
avec applications Þ la cryptographie

Informations Générales

Le laboratoire franco-russe Poncelet organise un colloque « ArithmÈtique et gÈomÈtrie » du 17 au 19 mai 2010.

Avec le dÈveloppement fulgurant des moyens de calculs et des communications numÈriques, l'algorithmique permet de mettre en rapport des questions importantes dans de nombreuses branches des mathÈmatiques, notamment la thÈorie des nombres avec des applications et des avancÈes technologiques immÈdiatement mises Þ la disposition du grand public. Pour preuve, on peut citer la cryptographie, la science du secret, qui est devenue aujourd'hui un sujet incontournable et dont l'une des principales problÈmatiques consiste Þ dÈvelopper des algorithmes pour rÈsoudre efficacement des questions naturelles en arithmÈtique (comme la factorisation, ou le logarithme discret). Il serait malgrÈ tout trÕs rÈducteur de limiter l'algorithmique de la thÈorie des nombres aux seules applications Þ la cryptographie. Une Ètude sommaire de n'importe quel logiciel de calcul formel spÈcialisÈ en arithmÈtique (comme Pari, Magma, Sage) montre une rÈelle volontÈ de rendre possible la manipulation sur machine d'un trÕs grand nombre d'objets (parfois trÕs abstraits) issus de la thÈorie des nombres : corps de nombres, nombres p-adiques, groupes de Galois, schÈmas, formes modulaires, etc. Disposer de tels outils est bien sØr un atout essentiel pour le mathÈmaticien thÈoricien puisque ceux-ci lui permettent par exemple de formuler et de tester simplement des conjectures.

Le but de la confÈrence est, comme son titre l'indique, de donner un aperÃu de la place de l'algorithmique dans la recherche actuelle en arithmÈtique. Comme bien sØr, il n'est pas possible en une semaine de traiter tous les aspects de la thÈmatique, nous avons dÈcidÈ de nous limiter aux deux sujets suivants.

• La factorisation d'entiers et le problÕme du logarithme discret (sur le groupe multiplicatif des corps finis et le groupe des points rationnels d'une jacobienne de courbe algÈbrique).
• La thÈorie de Galois. On abordera en particulier des mÈthodes effectives de calcul de groupes de Galois de polynÒmes irrÈductibles sur Q (ou ce qui revient au mÉme de corps de nombres), le problÕme de Galois inverse, et l'Ètude des reprÈsentations galoisiennes p-adiques, et notamment des liens qu'entretiennent celles-ci avec les formes modulaires ou la cohomologie des variÈtÈs.

Pour chacun des deux sujets, nous prÈvoyons un ou plusieurs exposÈs introductifs ÈtalÈs sur une demi-journÈe ou une journÈe entiÕre. Suivront ensuite une sÈrie d'exposÈs plus courts destinÈs Þ prÈsenter certains travaux rÈcents.

Le colloque a beneficié du support de la Foundation EADS, la Fondation Russe pour des Recherches Fondamentales, Centre National de la Recherche Scientifique. Il est organisé dans le cadre de l'année croisée France-Russie.