На главную страницу НМУ
И.А.Богаевский
Критические точки и группы, порожденные отражениями
Цель курса -- рассказать о связи классификации простых
критических точек голоморфных функций и списком конечных групп
движений евклидова пространства, порожденных отражениями. Имеется
в виду классификация ростков функций относительно биголоморфных
замен координат. Например, функции x2 и -x2
-- эквивалентны, а x2 и x3 -- нет.
Простота означает, что рассматривается лишь дискретная часть
классификации (пока нет непрерывных инвариантов). Оказывается,
что простые критические точки образуют серии A, D и E, которые
также появляются при классификации конечных групп, порожденных
отражениями, а также простых алгебр Ли. По всем этим объектам
строятся системы корней, которые описываются диаграммами
Дынкина. Об этой загадочной связи классификаций объектов
различной математической природы и предполагается рассказать в
курсе.
Приблизительный план
- Группы Кокстера и Вейля движений евклидова пространства.
Системы корней. Диаграммы Дынкина. Кольца инвариантов и теорема
Шевалле. Дискриминанты.
- Дискретная часть классификации критических точек голоморфных
функций (ADE-классификация) -- основные идеи доказательства.
Появление непрерывных инвариантов у изолированных критических
точек и окаймляющие особенности P8, X9 и
J10. Неизолированные окаймляющие критические точки.
- Теорема Милнора о гомотопическом типе неособого слоя ростка
голоморфной функции. Исчезающие гомологии и число Милнора
изолированной критической точки. Матрица пересечений исчезающих
циклов. Исчезающие циклы простых особенностей образуют систему
корней.
- Операторы Пикара--Лефшеца в гомологиях неособого слоя.
Операторы монодромии и вариации. Группы монодромии простых
критических точек и группы Вейля серий A, D и E.
- Версальные деформации и бифуркационные диаграммы нулей.
Совпадение бифуркационных диаграмм простых критических точек с
дискриминантами соответствующих групп Вейля серий A, D и E.
Отображение периодов. Применение: эквивариантная лемма Морса и
перестройки волновых фронтов как сечений дискриминанта. Группы кос
и топологическая структура дополнений к бифуркационным диаграммам.
- Связь простых критических точек с бинарными группами
многогранников и алгебрами Ли. Теорема Клейна о реализации простых
критических точек функций соотношениями между инвариантами
бинарных группами многогранников. Полупростые алгебры Ли и их
системы корней. Конструкция Брискорна особенности гиперповерхности
по полупростой алгебре Ли.
