Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s12/T3-4.ps Дата изменения: Tue Feb 28 14:23:10 2012 Дата индексирования: Mon Feb 4 06:50:51 2013 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: легирование

Листок 4. Универсальные коэффициенты. Фундаментальный
класс. 29 февраля
Задачи 1-5 требуется решить исходя непосредственно из определений, не используя
общих теорем об универсальных коэффициентах.
1. Вычислите группы когомологий двумерных поверхностей с коэффициентами Z.
2. Вычислите группы когомологий двумерных поверхностей с коэффициентами Z p ,
p 6= 2.
3. Докажите, что группа H 1 (X; Z) не имеет кручения.
4. Пусть H i (X; Z) = Z n i T i и H i (X; Z) = Z m i T i , где T i и T i | конечные группы.
Докажите, что m i = n i и T i  = T i 1 .
5. Вычислите группы гомологий и когомологий линзы L(p; q) с коэффициентами
Z p .
* * *
6. Пусть i  : H n (@W n+1 ) ! H n (W n+1 ) | гомоморфизм, индуцированный естествен-
ным включением. Тогда если многообразие W n+1 ориентируемо, а его край @W n+1
связен, то i  = 0 для коэффициентов Z и Z 2 , а если оно неориентируемо, то i  = 0
для коэффициентов Z 2 .
7. Докажите, что если f : @W n+1 !M n | ограничение некоторого непрерывного
отображения F : W n+1 !M n , причём многообразие W n+1 ориентируемо, а его край
@W n+1 связен, то deg f = 0.
8. Докажите, что H k (M n n Int D n )  = H k (M n ) при 1 6 k 6 n 2. (Здесь D n | шар,
расположенный в некоторой карте.)
9. Докажите, что если M n | замкнутое ориентируемое многообразие, то утвер-
ждение задачи 8 остаётся верным и при k = n 1. Существенна ли здесь замкнутость
многообразия M n ? А его ориентируемость?
1