Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s11/ryzhov-prob2.pdf Дата изменения: Tue May 17 14:18:18 2011 Дата индексирования: Mon Feb 4 15:22:07 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http www.starlab.ru showpost.php p 208281

Пусть f непрерывная функция на отрезке I , отображающая его в себя. Через D, D1 , D2 , . . . будем обозначать отрезки, лежащие в I , а через порядок Шарковского на N. Занятие посвящено доказательству следующей теоремы:

Задачи к спецкурсу Ренормализация и универсальность Фейгенбаума, 14 февраля 2011 г.

Теорема 0.1. (i) Если f обладает точкой (наименьшего возможного) периода a и b a, то f обладает точкой (наименьшего возможного) периода b. (ii) Для каждого непустого начального отрезка M порядка Шарковского существует функция f , для которой совокупность периодов всех ее периодических точек совпадает с M .

1. Пусть точка x имеет период n при действии отображения f . Каков е? период при действии отображения f k ? 2. Пусть (x1 , . . . , xn ) самый короткий из циклов неч?тной длины, большей 1. Обозначим через y1 , . . . , yn упорядоченные по возрастанию точки x1 , . . . , xn . a) Существует такое i { 1, . . . , n - 1 }, что отрезок D = [yi , yi+1 ] накрывает себя. b) D f (D) f 2 (D) ћ ћ ћ f k (D) . . . . c) f k (D) (k n - 2) содержит не меньше, чем k + 2 точки набора y1 , . . . , yn . d) Существует j , такое что yj и f (yj ) лежат по одну сторону от середины отрезка D. e) Найд?тся отрезок E = [yk , yk+1 ], не совпадающий с D, но накрывающий D. f ) Если E f n-3 (D), то f имеет цикл неч?тной длины, большей 1 и меньшей n (что противоречит условию). g) Отрезок f k (D) содержит (при k n - 2) ровно k + 2 точки набора y1 , . . . , yn . h) При фиксированном n функция f может переставлять точки y1 , . . . , yn только одним из двух возможных способов. i) Функция f имеет цикл любой ч?тной длины и любой неч?тной длины, большей n. 3. a) Пусть точка x имеет период n при действии отображения f k . Верно ли, что она имеет период nk при действии f ? b) Докажите, что утверждение предыдущего пункта верно при условии, что каждый простой делитель k делит число n. 4. Пусть n натуральное число, c неч?тное, большее 1, d ч?тное. Докажите, что если f имеет точку периода 2n c, то f имеет точку периода 2n d. Множество всех периодов точек под действием f будем обозначать Per f . 5. Пусть дана функция f c Per f = P . Постройте функцию g, для которой Per g = 2P { 1 }. 6. Приведите пример функции: a) имеющей точку периода 9, но не имеющей точки периода 7; b) имеющей точки периодов 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, но не имеющей точек других периодов; c) имеющей точку периода 6, но не имеющей точек неч?тных периодов, больших единицы. 7. a) Пусть точка имеет период 27 под действием f 4 . Докажите, что она имеет период 27, 54 или 108 под действием f . b) Если f имеет точку периода 100, то она имеет точку периода 108. 8. Пусть n натуральное число, c > 1 и d > c неч?тные числа. Докажите если 2n c Per f , то 2n d Per f . 9. Пусть f имеет цикл (x1 , . . . , xn ) ч?тной длины, y1 , . . . , yn те же точки, упорядоченные по возрастанию. a) Утверждения задач 2a)-2c) справедливы и в этом случае. b) Если утверждение задачи 2d) не выполняется, то функция имеет цикл длины 2. c) Если утверждение задачи 2d) выполняется, то функция имеет цикл неч?тной длины, большей 1 (а значит, и цикл длины 2). 10. Докажите, что если 2n Per f , где n 1, то 2n-1 Per f . 11. Завершите доказательство теоремы.

1